平差習(xí)題庫經(jīng)典問題與詳細答案解析——數(shù)學(xué)平差法學(xué)習(xí)寶典一、引言在測量學(xué)以及許多相關(guān)工程領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)平差法是一項至關(guān)重要的基礎(chǔ)理論與技術(shù)。通過平差計算，可以對測量數(shù)據(jù)進行處理和優(yōu)化，提高測量結(jié)果的精度和可靠性。然而，對于很多學(xué)習(xí)者來說，平差法的概念和計算過程較為復(fù)雜，理解和掌握起來存在一定的難度。本文將精心挑選平差習(xí)題庫中的經(jīng)典問題，并給出詳細的答案解析，旨在為學(xué)習(xí)者打造一本實用的數(shù)學(xué)平差法學(xué)習(xí)寶典，幫助大家更好地理解和運用這一重要知識。二、數(shù)學(xué)平差法基礎(chǔ)概念回顧（一）平差的定義平差，簡單來說，就是對一系列帶有誤差的觀測值進行處理，通過一定的數(shù)學(xué)方法，合理地分配誤差，求出最可靠的未知量估值，并評定測量結(jié)果的精度。（二）平差的基本原理平差的基本原理主要基于最小二乘原理，即要求觀測值的改正數(shù)的平方和達到最小。在不同的平差模型中，根據(jù)具體的條件和要求，通過建立相應(yīng)的函數(shù)模型和隨機模型，運用最小二乘原理來求解未知參數(shù)。（三）平差的分類常見的平差方法包括條件平差、間接平差、附有參數(shù)的條件平差和附有限制條件的間接平差等。不同的平差方法適用于不同的測量場景和問題。三、經(jīng)典問題與詳細答案解析（一）條件平差問題1.問題描述在一個三角形中，對三個內(nèi)角進行了觀測，觀測值分別為$L_1=59^{\circ}59'30''$，$L_2=60^{\circ}00'10''$，$L_3=60^{\circ}00'20''$。已知三角形內(nèi)角和理論值為$180^{\circ}$，試進行條件平差，求出各內(nèi)角的平差值。2.答案解析-第一步：列出條件方程根據(jù)三角形內(nèi)角和的理論值，可列出條件方程：$v_1+v_2+v_3+w=0$，其中$w=L_1+L_2+L_3-180^{\circ}$。將觀測值代入可得：$w=(59^{\circ}59'30''+60^{\circ}00'10''+60^{\circ}00'20'')-180^{\circ}=-0^{\circ}00'00''+30''+10''+20''=60''$。-第二步：組成法方程條件平差的法方程為$k\cdotr+w=0$，其中$r$為多余觀測數(shù)，這里$r=1$，系數(shù)矩陣$N_{aa}=1$。所以法方程為$k+60=0$，解得$k=-60$。-第三步：計算改正數(shù)根據(jù)改正數(shù)計算公式$v_i=a_ik$（這里$a_i=1$，$i=1,2,3$），可得$v_1=v_2=v_3=-60''=-1'$。-第四步：計算平差值平差值$\hat{L}_i=L_i+v_i$，則$\hat{L}_1=59^{\circ}59'30''-1'=59^{\circ}58'30''$，$\hat{L}_2=60^{\circ}00'10''-1'=59^{\circ}59'10''$，$\hat{L}_3=60^{\circ}00'20''-1'=59^{\circ}59'20''$。經(jīng)檢驗，$\hat{L}_1+\hat{L}_2+\hat{L}_3=180^{\circ}$，滿足三角形內(nèi)角和的理論條件。（二）間接平差問題1.問題描述在水準測量中，有$A$、$B$、$C$三個水準點，已知$H_A=100.000m$，觀測了兩條高差$h_1$（$A$到$B$）和$h_2$（$B$到$C$），觀測值分別為$h_1=2.002m$，$h_2=3.003m$。設(shè)$B$點高程為未知參數(shù)$x$，試進行間接平差，求出$B$、$C$點的高程平差值。2.答案解析-第一步：列出誤差方程設(shè)$B$點高程為$x$，則誤差方程為：$v_1=x-(H_A+h_1)$，$v_2=(H_A+h_1+h_2)-(x+h_2)$。將$H_A=100.000m$，$h_1=2.002m$，$h_2=3.003m$代入可得：$v_1=x-(100.000+2.002)=x-102.002$，$v_2=(100.000+2.002+3.003)-(x+3.003)=102.002-x$。-第二步：組成法方程法方程為$N_{xx}\hat{x}=W_x$，其中$N_{xx}=\sum_{i=1}^{2}a_i^2$，$W_x=\sum_{i=1}^{2}a_il_i$。這里$a_1=1$，$a_2=-1$，$l_1=-102.002$，$l_2=102.002$。$N_{xx}=1^2+(-1)^2=2$，$W_x=1\times(-102.002)+(-1)\times102.002=-204.004$。解得$\hat{x}=\frac{W_x}{N_{xx}}=\frac{-204.004}{2}=102.002m$。-第三步：計算平差值$B$點高程平差值$\hat{H}_B=\hat{x}=102.002m$。$C$點高程平差值$\hat{H}_C=\hat{H}_B+h_2=102.002+3.003=105.005m$。（三）附有參數(shù)的條件平差問題1.問題描述在一個四邊形中，對四個內(nèi)角進行了觀測，觀測值分別為$L_1$，$L_2$，$L_3$，$L_4$，同時設(shè)四邊形的一個內(nèi)角為未知參數(shù)$x$。已知四邊形內(nèi)角和理論值為$360^{\circ}$，試列出附有參數(shù)的條件方程。2.答案解析設(shè)$L_1$對應(yīng)的內(nèi)角為未知參數(shù)$x$，則條件方程為：$v_1+v_2+v_3+v_4-x+w=0$，其中$w=L_1+L_2+L_3+L_4-360^{\circ}$。這里的條件方程既包含了觀測值的改正數(shù)$v_i$，又包含了未知參數(shù)$x$，體現(xiàn)了附有參數(shù)的條件平差的特點。在實際計算中，后續(xù)還需要根據(jù)最小二乘原理組成法方程，求解未知參數(shù)和改正數(shù)，進而得到觀測值的平差值。（四）附有限制條件的間接平差問題1.問題描述在一個測量網(wǎng)中，有多個觀測值和多個未知參數(shù)，同時存在一個限制條件。例如，已知兩個未知參數(shù)$x_1$和$x_2$滿足$x_1+x_2=5$，觀測了若干個與$x_1$、$x_2$相關(guān)的量，試簡述附有限制條件的間接平差的解題步驟。2.答案解析-第一步：列出誤差方程根據(jù)觀測值和未知參數(shù)的關(guān)系，列出誤差方程$V=B\hat{X}-L$，其中$V$為觀測值的改正數(shù)向量，$B$為系數(shù)矩陣，$\hat{X}$為未知參數(shù)向量，$L$為觀測值向量。-第二步：列出限制條件方程如本題中的限制條件方程為$C\hat{X}-W_x=0$，這里$C=(1,1)$，$W_x=5$。-第三步：組成法方程引入聯(lián)系數(shù)向量$K_s$，組成增廣法方程：$\begin{bmatrix}N_{xx}&C^T\\C&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat{X}\\K_s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}W_x\\0\end{bmatrix}$，其中$N_{