北京市豐臺(tái)二中2025年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A.26 B.39C.104 D.523．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.4．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.5．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.67．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，8．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.9．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（）A. B.C. D.10．已知全集，，（）A. B.C. D.11．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________14．動(dòng)點(diǎn)M在圓上移動(dòng)，則M與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)__________.15．已知函數(shù)，若，則________.16．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）證明：無(wú)論取何值，總有；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù)在時(shí)有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和.20．（12分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取了名學(xué)生，成績(jī)分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，例如：表中物理成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的共有（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)且物理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的共有8人，已知與均為A等級(jí)的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率21．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，老師們立即開(kāi)展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測(cè)試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級(jí)學(xué)生這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)，并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫(xiě)下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)總計(jì)45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再?gòu)倪@5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知直線與圓.（1）當(dāng)直線l恰好平分圓C的周長(zhǎng)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，求m的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A3、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A4、B【解析】把直線的方程化簡(jiǎn)，再利用平行線間距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B5、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線有可能平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，可能相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選:D.6、A【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.7、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.8、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.9、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切，所以.故選：D10、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C11、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A12、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2514、##【解析】設(shè)，中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，即，因?yàn)樵趫A上，代入得故答案為：.15、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵16、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可得出結(jié)論；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無(wú)論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無(wú)解，因此，不存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得.19、（1）（2）所有項(xiàng)的系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為【解析】(1)寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出其第4項(xiàng)系數(shù)和倒數(shù)第4項(xiàng)系數(shù)，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展開(kāi)項(xiàng)系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和為2m.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，∴展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，∴，即.【小問(wèn)2詳解】令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)與均為A等級(jí)的概率是0.07，求得值，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％求得值，最后利用抽取的總?cè)藬?shù)求出值即可；（2）根據(jù)，，，寫(xiě)出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問(wèn)2詳解】由，，，可知，則試驗(yàn)的樣本空間，共9個(gè)樣本點(diǎn)其中包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，故所求概率21、（1）表格見(jiàn)解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)51520總計(jì)202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”【小問(wèn)2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的抽3人，記為：a，b，