數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專升本2025年重點(diǎn)題型練習(xí)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)\(f(x)=\frac{\ln(1-x)}{x}\)的定義域是(A)\((-1,1)\)(B)\((-1,1]\)(C)\((-1,0)\cup(0,1)\)(D)\((-1,0)\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x(\sqrt{1+x}-1)}\)的值等于(A)1(B)2(C)3(D)03.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，則\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值是(A)1(B)2(C)3(D)44.若\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，且\(\lim_{h\to0}\frac{f(2h)-f(0)}{h}=3\)，則\(f'(0)\)等于(A)3(B)\(\frac{3}{2}\)(C)\(\frac{2}{3}\)(D)65.函數(shù)\(y=x^3-ax\)在\(x=1\)處取得極值，則常數(shù)\(a\)的值為(A)1(B)2(C)-1(D)-2二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.設(shè)\(f(x)=e^{2x}+\lnx\)，則\(f'(x)=\)。7.若\(f(x)\)是可導(dǎo)函數(shù)，且\(f(1)=1\)，\(f'(1)=2\)，則\(\lim_{x\to1}\frac{f^2(x)-1}{x-1}\)的值等于。8.討論函數(shù)\(f(x)=\int_0^xt^2\sint\,dt\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。9.廣義積分\(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2+a^2}\,dx\)（其中\(zhòng)(a>0\)）收斂，且其值為。10.設(shè)向量\(\mathbf{a}=(1,2,-1)\)，\(\mathbf=(2,-3,t)\)，若\(\mathbf{a}\parallel\mathbf\)，則\(t\)的值等于。三、計(jì)算題：本大題共5小題，共50分。11.(本小題滿分8分)計(jì)算不定積分\(\intx\lnx\,dx\)。12.(本小題滿分8分)計(jì)算定積分\(\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)。13.(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+b\)，已知\(f(x)\)在\(x=-1\)處取得極小值，且\(f(1)=0\)。求\(f(x)\)的表達(dá)式，并指出\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。14.(本小題滿分10分)求函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的駐點(diǎn)，并判斷這些駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)還是鞍點(diǎn)。15.(本小題滿分14分)解線性方程組：\[\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\\2x_1-x_2+x_3=-2\\-x_1+x_2+2x_3=3\end{cases}\]四、證明題：本大題共1小題，共10分。16.(本小題滿分10分)證明：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(a\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的任一子數(shù)列也收斂于\(a\)。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(B)3.(D)4.(B)5.(B)二、填空題6.\(2e^{2x}+\frac{1}{x}\)7.48.連續(xù)且可導(dǎo)。解析：\(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0\)，故連續(xù)。\(f'(x)=x^2\sinx\)，\(\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}x^2\sinx=0=f'(0)\)，故可導(dǎo)。9.\(\frac{1}{a}\arctan\frac{1}{a}\)10.-4三、計(jì)算題11.解：令\(u=\lnx\)，\(dv=xdx\)，則\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{x^2}{2}\)。原式\(=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}+C\)。12.解：令\(x=\tant\)，\(dx=\sec^2tdt\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(t=0\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(t=\frac{\pi}{4}\)。原式\(=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tant}{\sqrt{1+\tan^2t}}\sec^2tdt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tant}{\sect}\sec^2tdt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sint\sectdt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sintdt=-\cost\big|_0^{\frac{\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\)。13.解：\(f'(x)=2x+a\)。由題意，\(f'(-1)=0\)，得\(a=-2\)。又\(f(1)=1^2+a\cdot1+b=0\)，代入\(a=-2\)，得\(1-2+b=0\)，解得\(b=1\)。所以\(f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\)。由\(f'(x)=2(x-1)\)，當(dāng)\(x<1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。故\(f(x)\)在\((-∞,1]\)上單調(diào)遞減，在\([1,+∞)\)上單調(diào)遞增。14.解：令\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x-2=0\)，得\(x=1\)。令\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y+4=0\)，得\(y=-2\)。得駐點(diǎn)\((1,-2)\)。\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=2\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0\)。\(A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2\)，\(B=\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0\)，\(C=\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=2\)。\(AC-B^2=2\cdot2-0^2=4>0\)，且\(A=2>0\)。故駐點(diǎn)\((1,-2)\)是極小值點(diǎn)。15.解：寫出增廣矩陣：\[\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&-1&1&-2\\-1&1&2&3\end{pmatrix}\]對(duì)矩陣進(jìn)行行變換：\[\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-4\\-1&1&2&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-4\\0&3&1&4\end{pmatrix}\xrightarrow{\frac{1}{-5}r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&1&-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\0&3&1&4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-2r_2}\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{5}&\frac{-3}{5}\\0&1&-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\0&3&1&4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-3r_2}\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{5}&\frac{-3}{5}\\0&1&-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\0&0&\frac{14}{5}&\frac{8}{5}\end{pmatrix}\xrightarrow{\frac{5}{14}r_3}\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{5}&\frac{-3}{5}\\0&1&-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\0&0&1&\frac{4}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-\frac{1}{5}r_3}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{-1}{7}\\0&1&-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\0&0&1&\frac{4}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+\frac{3}{5}r_3}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{-1}{7}\\0&1&0&\frac{4}{7}\\0&0&1&\frac{4}{7}\end{pmatrix}\]得方程組解為\(x_1=-\frac{1}{7}\)，\(x_2=\frac{4}{7}\)，\(x_3=\frac{4}{7}\)。四、證明題16.證明：設(shè)數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(a\)，即\(\lim_{n\to\infty}a_n=a\)。任取數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n_k}\}\)是\(\{a_n\}\)的一個(gè)子數(shù)列，其中\(zhòng)(n_1<n_2