專題02全等三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律圖形的全等掌握全等圖形定義（完全重合），能識別全等圖形高頻考法：結(jié)合三角形、四邊形判斷全等；易錯點：忽略“對應(yīng)元素”全等三角形的概念與性質(zhì)掌握全等三角形定義、對應(yīng)元素，能找對應(yīng)關(guān)系，用性質(zhì)求邊、角值高頻考法：結(jié)合公共邊/角找對應(yīng)邊/角；易錯點：對應(yīng)頂點順序混淆全等三角形的判定方法選擇熟記SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知條件選定理，排除SSA陷阱高頻考法：“2邊+角”定SAS、“2角+邊”定ASA/AAS；易錯點：誤用SSA垂直平分線的性質(zhì)掌握垂直平分線上點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，能用性質(zhì)推邊等，結(jié)合三角形求線段高頻考法：利用性質(zhì)證等腰三角形；易錯點：忽略“線段兩端”條件角平分線的性質(zhì)掌握角平分線上點到角兩邊距離相等的性質(zhì)，能用性質(zhì)推垂線段相等，證邊/角等高頻考法：結(jié)合垂直條件證線段相等；易錯點：混淆“距離”（需垂直）三角形全等的證明掌握證明步驟（標(biāo)條件→找對應(yīng)→用定理），能寫規(guī)范證明過程，解決多步證全等問題重點題型；高頻考法：含公共邊/對頂角/中線的證明；易錯點：步驟跳步、條件遺漏動點問題中的全等三角形理解動點“變與不變量”，分類討論，列方程并檢驗范圍高頻考法：易錯點：漏分類、不驗t范圍全等三角形模型——倍長中線模型掌握模型核心（延長中線至等長，構(gòu)全等），能補中線輔助線，證線段和差高頻考法：已知中線，證AB=CD；易錯點：延長方向錯、不找對應(yīng)關(guān)系全等三角形的模型——半角模型掌握模型特征（大角含半角，如90°含45°），能旋轉(zhuǎn)構(gòu)全等，證線段關(guān)系高頻考法：正方形/等腰直角三角形中用半角；易錯點：旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊找錯全等三角形的模型——一線三等角模型掌握模型特征（同一直線3個等角，如3個直角），能證“角角邊”全等，求線段長高頻考法：直角坐標(biāo)系中一線三垂直；易錯點：忽略“等角”條件全等三角形的模型——截長補短模型掌握模型方法（截長/補短構(gòu)全等），能添加截/補輔助線，證線段和差（如AB=CD+EF）高頻考法：證“線段和=第三邊”；易錯點：截/補位置錯、輔助線描述不清全等三角形的模型——手拉手模型掌握模型特征，能找全等三角形，證邊/角等高頻考法：等邊/等腰直角三角形手拉手；易錯點：混淆“拉手邊”（如AB與AD）垂直平分線的證明掌握證明方法（證“垂直+平分”或用逆定理），能選合適方法，結(jié)合全等證垂直平分高頻考法：用全等推“垂直+平分”；易錯點：只證垂直/平分，漏其一尺規(guī)作圖會作全等三角形、角平分線、垂直平分線，能描述作圖步驟并保留痕跡，結(jié)合性質(zhì)驗證高頻考法：作角平分線/垂直平分線；易錯點：作圖痕跡不完整、步驟描述錯知識點01全等三角形定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。要點詮釋：1.對應(yīng)頂點，對應(yīng)邊，對應(yīng)角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應(yīng)頂點，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角。在寫兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣容易找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角。如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應(yīng)頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應(yīng)角。2.找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對應(yīng)角；（5）有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應(yīng)邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應(yīng)邊（或角），等等.知識點02全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等；②全等三角形的周長相等，面積相等；③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．知識點03全等三角形的判定全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.全等三角形判定3——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.知識點04判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.題型一圖形的全等解｜題｜技｜巧常見的全等圖形（如四邊形、矩形、菱形、圓）的判定，核心邏輯仍是“對應(yīng)元素相等+圖形特有的性質(zhì)”：四邊形全等：需滿足“四邊對應(yīng)相等+四角對應(yīng)相等”（因四邊形具有不穩(wěn)定性，僅邊或角相等不夠）；矩形全等：矩形對邊相等、四角都是直角，因此判定條件可簡化為“一組鄰邊對應(yīng)相等”（因鄰邊確定后，四邊和四角都確定）；菱形全等：菱形四邊相等、對角相等，因此判定條件可簡化為“一組鄰角對應(yīng)相等”或“一條對角線對應(yīng)相等”；圓全等：圓的大小由半徑?jīng)Q定，因此“半徑相等的圓全等”?！镜淅?】．下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A． B． C． D．【典例2】．（2021八年級上·河南駐馬店·期中）如示例圖將4×4的棋盤沿格線劃分成兩個全等的圖形，請再用另外3種方法將4×4的棋盤沿格線劃分成兩個全等圖形（約定分割線必須經(jīng)過網(wǎng)格線）．【變式1】2025年國際籃聯(lián)亞洲杯在沙特阿拉伯吉達舉行，中國男籃獲得亞軍，女籃獲得季軍．下列與體育賽事相關(guān)的圖標(biāo)中，是由同一種全等圖形組合而成的是（

）A． B． C． D．【變式2】下列各組圖形中，不是全等圖形的是（）A． B．C． D．題型二全等三角形的概念與性質(zhì)【典例1】（1920八年級上·浙江杭州·期末）下列命題是真命題的是（

）A．兩個等邊三角形一定全等 B．形狀相同的兩個三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個三角形全等【典例2】（2223八年級上·浙江寧波·期中）如圖，△ABC≌△DEF,BC=7,EC=4，則CF的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．7【變式1】（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式2】（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，△ABC≌△A′B′C′，若BC題型三全等三角形的判定方法選擇解｜題｜技｜巧1.先定類型：直角三角形優(yōu)先用HL（需斜邊+一條直角邊對應(yīng)相等）；普通三角形按已知條件選。2按已知元素選定理：3邊相等→SSS；2邊+夾角相等→SAS（SSA不行）；2角+邊相等→夾邊用ASA，對邊用AAS；1邊1角→先補1個相等元素（如公共角、中線得等邊），再按上述選。3.關(guān)鍵提醒：挖隱含條件（公共邊/角、對頂角、垂直/中線性質(zhì)）；避開SSA、對應(yīng)關(guān)系錯這兩個坑?！镜淅?】（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，這一做法用到三角形全等的判定定方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【變式1】（1920八年級上·河北石家莊·期中）如圖，AC與BD相交于點O，OA=OD，OB=OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【變式2】如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶上（）

A．① B．② C．③ D．①和③【變式3】如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA題型四垂直平分線的性質(zhì)【典例1】（2223八年級上·浙江臺州·期中）如圖，A，B，C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在（

）A．AC，BC兩邊中線的交點處B．AC，BC兩邊垂直平分線的交點處C．AC，BC兩邊高線的交點處D．∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【變式1】如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，DH⊥BC于點H，交BE于點G．以下結(jié)論：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BFA．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【變式2】（2425八年級上·浙江·期中）如圖，△ABC的周長為20，AC的垂直平分線交BC于點D、垂足為E，若AE=3，則△ABD的周長是（

）A．17 B．15 C．14 D．12【變式3】（2223八年級上·浙江溫州·期中）如圖，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，交BC于點D，交AC于點E，若BC=8cm，AB=5cm，則△ABD的周長為題型五角平分線的性質(zhì)【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點D，E，再分別以點D，E為圓心，以大于12DE的長度為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線AF交BC于點G，若AB=12，CG=3，則△ABGA．12 B．18 C．24 D．36【變式1】如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是15、20、10，其三條角平分線交于點O，并將△ABC分為三個三角形，則S△ABO:S【變式2】如圖，E為∠BAC平分線AP上一點，AB=4，△ABE的面積為12，則點E到直線AC的距離為．【變式3】如圖，在△ABC中，O為∠ABC，∠ACB的平分線的交點，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D,E,F．(1)OD與OE是否相等，請說明理由；(2)若△ABC的周長是40，且OF=6，求△ABC的面積．題型六三角形全等的證明【典例1】如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，

(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若∠A=60°，∠B=80°，求∠F的度數(shù)．【變式1】（2324八年級上·浙江溫州·期中）已知：如圖，點E，F(xiàn)在CD上，AC=BD且AC∥BD，CF=DE．求證：【變式2】（1920八年級上·浙江杭州·期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，且AD=AC，AG平分∠CAB交BC于點G，過點D作BC的平行線交AG于點F，連接CF并延長交AB于點E．求證：(1)△ACF≌△ADF；(2)CF=CG；(3)CE⊥AB．【變式3】（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE=CF,AC∥DE,∠A=∠D．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)若BF=30,EC=10，求BE的長．【變式4】（2425八年級上·浙江臺州·期中）如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于點證明：在△ADO和△AEO中，∠ADO=∠AEO∴△ADO≌△AEO（依據(jù)①：）∴OE=OD（依據(jù)②：）……任務(wù)：(1)小聰同學(xué)的證明過程中依據(jù)①是，依據(jù)②是；(2)按小聰同學(xué)的思路將證明過程補充完整；(3)圖中共有對全等三角形．題型七動點問題中的全等三角形解｜題｜技｜巧1.定變量與不變量：設(shè)時間t（或其他變量）表動點形成的線段，標(biāo)記公共邊、固定角等不變量；2.分類討對應(yīng)：按動點位置（如不同邊上）、頂點對應(yīng)關(guān)系，分情況，避免漏解；3.列方程驗范圍：用全等判定（SAS/ASA等）列等式，解后檢驗t是否符合運動范圍（如時間非負、線段不超原長）；4.避坑：不用SSA，不丟分類情況?！镜淅?】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直線l經(jīng)過點C且與邊AB相交，動點P從點A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動；動點Q從點B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和點Q的運動速度分別為1cm/s和2cm/s，兩點同時出發(fā)并開始計時，當(dāng)點P到達終點B時計時結(jié)束．在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設(shè)運動時間為t秒，則當(dāng)t=時，【變式1】（2223八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，BC=5cm，點D在線段AC上，且CD=1cm，動點P從BA的延長線上距A點5cm的點E出發(fā)，以每秒2cm(1)直接用含有t的代數(shù)式表示PE=______cm；(2)在運動過程中，是否存在在某個時刻，使△ABC與以A，D，P為頂點的三角形全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【變式2】（2021八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t．（1）CM=，AE:CG=；（2）當(dāng)t取何值時，△DFE和△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若BD:DC=119:126，S△AED=28cm【變式3】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊(1)如圖①，當(dāng)t=________時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；(2)如圖②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好題型八全等三角形模型——倍長中線模型基｜本｜模｜型AABDCE已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E，使ED＝AD，連接BE．結(jié)論1：△ACD≌△EBD．AABDCFE已知：在△ABC中，點D是BC邊的中點，點E是AB邊上一點，連接ED，延長ED到點F，使DF＝DE，連接CF．結(jié)論2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，點D是BC邊的中點，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，結(jié)論3：易證：△CDE≌△BDF（SAS）結(jié)｜論｜推｜導(dǎo)結(jié)論1：△ACD≌△EBD．證明：∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．結(jié)論2：△BDE≌△CDF．證明：∵點D是BC邊的中點，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．解｜題｜技｜巧遇到中點或中線，則考慮使用“倍長中線模型”，即延長中線，使所延長部分與中線相等，然后連接相應(yīng)的頂點，構(gòu)造出全等三角形．【典例1】閱讀下列材料，然后解決問題：和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用，截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題．（1）如圖1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC，邊CD上的兩點，且∠EAF=12（3）問題拓展：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，點D是△ABC外角平分線上一點，DE⊥AC交CA延長線于點E，F(xiàn)是AC上一點，且DF=DB．求證：ACAE=12【變式1】（2425七年級下·陜西西安·期中）問題提出：（1）小明和小亮在一次學(xué)習(xí)中遇到了以下問題，如圖①，AD是△ABC的中線，若AB=4，AC=6，求BC和AD的取值范圍．他們利用所學(xué)知識很快計算出了BC的取值范圍，請你也算一算【探究方法】（2）他們遇到的困難是怎么也算不出AD的取值范圍，于是他們求助于學(xué)習(xí)小組的同學(xué)，討論后發(fā)現(xiàn)：延長AD至點E，使DE=AD，連接BE．可證出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長與AD轉(zhuǎn)化到△ABE中，進而求出AD的取值范圍______；【遷移應(yīng)用】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，點E在BC的延長線上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求證：AE=2AD；（4）思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90【變式2】（2425八年級上·北京·期中）老師在某節(jié)數(shù)學(xué)課上提出了如下問題：在△ABC中，AB=8，AC=6，求邊BC上的中線AD的取值范圍．某小組經(jīng)過組內(nèi)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長中線AD至點Q，使得DQ=AD；②連接BQ，把AB,AC,2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系，可得2<AQ<14．請根據(jù)該小組的方法思考，回答下列問題：(1)直接寫出AD的取值范圍是___________；(2)解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”等字樣，可以考慮“倍長中線”，通過構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，用等式表示EF和AD的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式3】（2425八年級上·湖北孝感·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）選擇：由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（

）A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）填空：求得AD的取值范圍是__________．【方法感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．題型九全等三角形的模型——半角模型基｜本｜模｜型ABABCDEF已知：△ABC是等邊三角形，D為△ABC外一點，∠BDC＝120°，BD＝CD，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，∠EDF＝60°．結(jié)論1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．ADADBECF已知：四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，∠EAF＝45°．結(jié)論2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．ABABCED已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D，E在BC上，∠DAE＝45°．結(jié)論3：DE2＝BD2＋CE2．結(jié)｜論｜推｜導(dǎo)結(jié)論1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．證明：延長AC到點G，使CG＝BE，連接DG．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．ABCDEFG∵∠BDC＝120°，BD＝ABCDEFG∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．結(jié)論2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．證明：延長CB到點G，使BG＝DF，連接AG．ADBECFG∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠ADBECFG∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．∴∠AFD＝∠AFE．ABCEDF∵EG＝BE＋BG，∴EFABCEDF結(jié)論3：DE2＝BD2＋CE2．證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ACF，連接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2＋CE2＝BD2＋CE2，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．解｜題｜技｜巧對于半角模型，一般情況下都需要做輔助線（延長或旋轉(zhuǎn)），構(gòu)造全等，通過等量代換得到相關(guān)的結(jié)論．【典例1】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD，線段EF，BE（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=1（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，且∠EAF=1【變式1】（2324八年級上·山東臨沂·期中）【基本模型】（1）如圖1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC邊上，F(xiàn)在CD邊上時，請你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【模型運用】（2）如圖2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC的延長線上，F(xiàn)在CD的延長線上時，請你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式2】閱讀理解半角模型：半角模型是指有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角兩邊相等，通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的本質(zhì)．

【問題背景】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為解決此問題可以用如下方法：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是______________．【探索延伸】如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF=1【結(jié)論運用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角∠EOF為70°，則此時兩艦艇之間的距離為__________海里．

題型十全等三角形的模型——一線三等角模型基｜本｜模｜型AABDPC123已知：點P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．結(jié)論1：△CAP≌△PBD．1123DPCBA已知：點P在AB的延長線上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．結(jié)論2：△APC≌△BDP．結(jié)｜論｜推｜導(dǎo)結(jié)論1：△CAP≌△PBD．證明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．結(jié)論2：△APC≌△BDP．證明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．解｜題｜技｜巧在一條線段上出現(xiàn)三個相等的角，且有一組邊相等時，則考慮使用一線三等角全等模型．找準(zhǔn)三個等角，再根據(jù)平角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進行等角代換，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)解題．一線三等角模型常以等腰三角形、等邊三角形、四邊形（正方形或矩形）為背景，在幾何綜合題中考查．【典例1】【材料閱讀】小芳在學(xué)習(xí)完全等三角形后，她嘗試用三種不同方式擺放一副三角板．如圖：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相應(yīng)的問題．【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個三角板互不重疊地擺放在一起，當(dāng)頂點B擺放在線段DF上時，過點A作AM⊥DF，垂足為M，過點C作CN⊥DF，垂足為N．(1)圖1中，AM=2，CN=7，求MN的長．請補充小芳的過程．∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，……（補充小芳的過程）(2)【類比】如圖2，將兩個三角板疊放在一起，當(dāng)頂點B在線段DE上且頂點A在線段EF上時，過點C作CP⊥DE，垂足為P，猜想AE，PE，CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展】如圖3，將兩個三角板疊放在一起，當(dāng)頂點A在線段DE上且頂點B在線段EF上時，若AE=7，BE=1，連接CE，請直接寫出△ACE的面積．【變式1】（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式2】（1）如圖，在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．【積累經(jīng)驗】①如圖1，當(dāng)α=90°時，直接寫出線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是_______．【類比遷移】②如圖2，當(dāng)0°<α<180°時，①中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由．【拓展應(yīng)用】（2）如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G，G是DE的中點嗎?請說明理由．題型十一全等三角形的模型——截長補短模型解｜題｜技｜巧截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長:指在長線段中截取一段等于已知線段:補短:指將短線段延長,延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程,截長補短法(往往需證2次全等)。①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.【典例1】閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在ΔABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C．求證：小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE=AB，連接DE，可以得到全等三角形，進而解決問題方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE=BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進而解決問題(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC=AB+BD(2)根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法，解決下面的問題：如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，求證：BE=CE+CD【變式1】【綜合與實踐題】【問題情境】補短法在解決線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用，具體的做法是將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題．例：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中點，BE平分∠ABC，試判斷BC，CD，小穎的方法：如圖②，延長BE、CD的相交于點F，構(gòu)造△ABE≌△DFE和等腰三角形BCF即可判斷．【問題解決】（1）按照小穎的方法，判斷BC，CD，AB之間的等量關(guān)系，并說明理由．【自主探究】（2）如圖③，在△ABC中，D是BC的中點，點E在AC上，連接BE交AD于點F，AE=EF，試說明：AC=BF．【拓展延伸】（3）如圖④，在四邊形ABDC中，AB∥CD，AB=5，CD=1.6，點F在AE上且滿足∠DFE=∠BAE，S△ABE【變式2】閱讀下列材料，然后解決問題：截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題．(1)如圖1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是______．(2)解決問題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E，題型十二全等三角形的模型——手拉手模型基｜本｜模｜型AADEBCO已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE相交于O，連接OA．結(jié)論1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，結(jié)論2：∠BOC＝∠BAC，結(jié)論3：OA平分∠BOE．結(jié)｜論｜推｜導(dǎo)結(jié)論1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．結(jié)論2：∠BOC＝∠BAC．證明：設(shè)OB與AC相交于點F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．結(jié)論3：OA平分∠BOE．證明：過點A分別做BD，CE的垂線，垂足為G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD＝S△ACE，∵BD＝CE，∴AG＝AH，∴OA平分∠BOE．解｜題｜技｜巧如果題目中出現(xiàn)兩個等腰三角形，可以考慮連接對應(yīng)的頂點，用旋轉(zhuǎn)全等模型；如果只出現(xiàn)一個等腰三角形，可以用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．【典例1】【綜合與實踐】星光中學(xué)八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂角頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個等腰三角形頂角的變化過程中，始終存在一對全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)稱此模型為“手拉手模型”．請你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．

(1)如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則∠BDC=°；(2)如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α90°<α<180°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），并說明理由；(3)如圖3，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF交于點D，連接CE，連接AD并延長交CE于點G，直接寫出∠CDG的度數(shù)．【變式1】問題提出（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB>AD），將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，連接BD、CD．當(dāng)點E落在AB邊上且D、E、C三點共線時，在這個“手拉手”模型中，和△ABD全等的三角形是_______，∠BDC的度數(shù)為____________；（2）如圖2，已知等邊三角形ABC，AB=5，P是其外一點，且∠APB=120°，PC=7，求四邊形APBC的周長；問題解決（3）某市園林綠化部門在某小區(qū)門口的空地上新建一個家門口的“口袋公園”，設(shè)計形狀大致為三角形ABE，如圖3所示，AB段臨街道有足夠長度，D是小道AE上某小區(qū)的入口（點D不在點E處），且AD=200米，設(shè)計人員準(zhǔn)備將公園分成△ABD，△BDE兩大部分，C是△ADB內(nèi)一標(biāo)志點，此處將栽植一棵風(fēng)景大樹，設(shè)計∠ADC=∠CAB=45°，AC⊥BC，△ADB內(nèi)部種植三種不同類的草坪，平均每平方米約6元，留出適當(dāng)大小的△BDE區(qū)域作為休閑健身區(qū)，其內(nèi)安裝健身器材需38000元，請你預(yù)算滿足上述條件的建設(shè)費用大致需多少元？（不考慮其他花費）題型十三垂直平分線的證明【典例1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：AD垂直平分線段EF．【變式1】（2324八年級上·浙江杭州·期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：(1)△ABC≌△ADC；(2)AC垂直平分BD．【變式2】（2324八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點(1)求證：△CDE≌△FAE；(2)連接BE，當(dāng)BE⊥CF時，CD=3，AB=2，求BC的長．【變式3】（2425八年級上·山東日照·期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB，BC于點M，D，邊AC的垂直平分線分別交AC，BC于點N，E，(1)若BC=12，求△ADE的周長．(2)試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由．題型十四尺規(guī)作圖【典例1】如圖，已知△ABC，用尺規(guī)作△DEF，使△ABC≌△DEF．【變式1】如圖，被墨跡污染了，請你重新作一個△A1B

【變式2】已知直線l及其兩側(cè)兩點A，B，如圖．

(1)在直線l上求一點P，使PA=PB；(2)在直線l上求一點Q，使直線l平分∠AQB．(以上兩小題保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法)【變式3】如圖，已知∠AOB=90°，點E、F位于∠AOB的內(nèi)部．請利用尺規(guī)作圖在∠AOB的內(nèi)部畫一點P，使點P到點E、F的距離相等，且到∠AOB的兩邊距離相等．【變式4】如圖，已知△ABC，∠A=60°，(1)在AC邊上求作一點P，使∠PBC=45°．(2)在BP上求作一點M，使得AM平分∠BAC．（保留作圖痕跡，不寫作法）期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（2223八年級上·浙江杭州·期中）如圖在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線交于點P，連結(jié)BP，CP，若∠A=50°，則∠BPC=（）A．100° B．95° C．90° D．50°2．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS3．（2425八年級上浙江紹興·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，將Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF，DE交BC于G4．（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖：△ABC≌△DEF，BC=7，EC=4，那么CF的長為．5．（2223八年級上·浙江·期中）如圖，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以y厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時，y的值為．6．（2021八年級上·浙江寧波·期中）如圖正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAC+∠ACD=°．7．（2122八年級上·浙江溫州·期中）如圖，點A、F、C、D在同一條直線上，AF=CD,AB=DE,∠A=∠D，線段BC與線段EF交于點H．(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)求證：FH=CH．期中重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（2324八年級上·浙江湖州·期中）如圖，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于點B，AD⊥CD于點D，E、F分別是CB、CD上的點，且∠EAF=70°，下列結(jié)論中①DF=BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③2．（2425八年級上·浙江寧波·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于點D，CE平分∠ACB交AB于點E，AD、CE交于點F．①∠AFC