第23頁（共23頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之排列與組合一．選擇題（共8小題）1．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232 B．252 C．472 D．4842．某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰．那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（）A．360 B．520 C．600 D．7203．用0，1，2，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A．243 B．252 C．261 D．2794．6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序有（）A．240種 B．360種 C．480種 D．720種5．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．30種6．七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙，丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排法有（）A．240種 B．192種 C．120種 D．96種7．一排9個座位坐了3個三口之家．若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（）A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!8．某人設(shè)計一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（i＝1，2，…6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有（）A．22種 B．24種 C．25種 D．36種二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，小明、小紅分別從街道的E、F處出發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則（）A．小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3 B．小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35 C．若小明不經(jīng)過F處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32 D．若小明先到F處與小紅會合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為18（多選）10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到A，B，C，D四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）A．所有可能的安排方法有64種 B．若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種 C．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種 D．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種（多選）11．下列等式中，正確的是（）A．AnB．rCC．CnD．C（多選）12．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的是（）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為45 B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為A54CC．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為（C53C21+C5D．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C31C42A三．填空題（共4小題）13．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色．要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）16．有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項(xiàng)目，且不重復(fù)．若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測試一人．則不同的安排方式共有種（用數(shù)字作答）．四．解答題（共4小題）17．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)．18．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（1）6個不同的小球放入4個不同的盒子；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．19．將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個編號為1，2，3，4的盒子中．（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？20．從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)．每位女同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為45，每位男同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為3（Ⅰ）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；（Ⅱ）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗(yàn)的概率．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之排列與組合（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCBCCBCC二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABDACDABDAD一．選擇題（共8小題）1．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232 B．252 C．472 D．484【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】C【分析】不考慮特殊情況，共有C163種取法，其中每一種卡片各取三張，有4C【解答】解：由題意，不考慮特殊情況，共有C163種取法，其中每一種卡片各取三張，有4C故所求的取法共有C163-4C43故選：C．【點(diǎn)評】本題考查組合知識，考查排除法求解計數(shù)問題，屬于中檔題．2．某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰．那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（）A．360 B．520 C．600 D．720【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論，①只有甲乙其中一人參加，②甲乙兩人都參加，由排列、組合計算可得其符合條件的情況數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論，若只有甲乙其中一人參加，有C21?C53?A44＝480種情況；若甲乙兩人都參加，有C22?C52?A44＝240種情況，其中甲乙相鄰的有C22?C52?A33?A22＝120種情況；則不同的發(fā)言順序種數(shù)480+240﹣120＝600種，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查組合的應(yīng)用，要靈活運(yùn)用各種特殊方法，如捆綁法、插空法．3．用0，1，2，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A．243 B．252 C．261 D．279【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】B【分析】求出所有三位數(shù)的個數(shù)，減去沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)即可．【解答】解：用0，1，2，…，9十個數(shù)字，所有三位數(shù)個數(shù)為：900，其中沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)百位數(shù)從非0的9個數(shù)字中選取一位，十位數(shù)從余下的9個數(shù)字中選一個，個位數(shù)再從余下的8個中選一個，所以共有：9×9×8＝648，所以可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為：900﹣648＝252．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查排列組合以及簡單計數(shù)原理的應(yīng)用，利用間接法求解是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．4．6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序有（）A．240種 B．360種 C．480種 D．720種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】C【分析】直接從中間的4個演講的位置，選1個給甲，其余全排列即可．【解答】解：因?yàn)?位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，甲先安排在除開始與結(jié)尾的位置還有C41個選擇，剩余的元素與位置進(jìn)行全排列有A55，所以甲只能在中間的4個位置，所故選：C．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合以及簡單的計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力．5．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．30種【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】計算題．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩步，①先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，進(jìn)而由事件間的相互關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分兩步分析：，①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C42C42＝36，②兩人所選兩門都相同的有為C42＝6種，都不同的種數(shù)為C42＝6，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有36﹣6﹣6＝24種，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查組合公式的運(yùn)用，解題時注意事件之間的關(guān)系，選用直接法或間接法．6．七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙，丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排法有（）A．240種 B．192種 C．120種 D．96種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】B【分析】利用甲必須站正中間，先安排甲，甲的兩邊，每邊三人，不妨令乙丙在甲左邊，求出此種情況下的站法，再乘以2即可得到所有的站法總數(shù)．【解答】解：不妨令乙丙在甲左側(cè)，先排乙、丙兩人，有A22種站法，再取一人站左側(cè)有C41×A22種站法，余下三人站右側(cè)，有A33種站法，考慮到乙丙在右側(cè)的站法，故總的站法總數(shù)是2×A22×C41×A22×A33＝192，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題中所研究的事件，并正確確定安排的先后順序，此類排列問題一般是誰最特殊先安排誰，俗稱特殊元素特殊位置優(yōu)先的原則．7．一排9個座位坐了3個三口之家．若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（）A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】C【分析】完成任務(wù)可分為兩步，第一步，三口之家內(nèi)部排序，第二步，三家排序，由分步計數(shù)原理計數(shù)公式，將兩步結(jié)果相乘即可【解答】解：第一步，分別將三口之家“捆綁”起來，共有3！×3！×3！種排法；第二步，將三個整體排列順序，共有3！種排法故不同的作法種數(shù)為3！×3！×3！×3?。?!4故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了分步計數(shù)原理及其應(yīng)用，排列數(shù)及排列數(shù)公式的應(yīng)用，捆綁法計數(shù)的技巧，屬基礎(chǔ)題8．某人設(shè)計一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（i＝1，2，…6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有（）A．22種 B．24種 C．25種 D．36種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【答案】C【分析】拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4種組合，前四種組合又可以排列出A33種結(jié)果，由此利用分類計數(shù)原理能得到結(jié)果．【解答】解：由題意知正方形ABCD（邊長為3個單位）的周長是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6種組合，前三種組合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33＝6種結(jié)果，3，3，6；5，5，2；有6種結(jié)果，4，4，4；有1種結(jié)果．根據(jù)分類計數(shù)原理知共有24+1＝25種結(jié)果，故選：C．【點(diǎn)評】排列與組合問題要區(qū)分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，小明、小紅分別從街道的E、F處出發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則（）A．小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3 B．小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35 C．若小明不經(jīng)過F處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32 D．若小明先到F處與小紅會合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為18【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；分類法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】分析可知，當(dāng)縱向的路徑確定后，橫向的路徑也是確定的，故只需要確定縱向的路徑的種數(shù)，同時注意到不能后退，從而結(jié)合圖象，分類討論求各選項(xiàng)的路徑數(shù)．【解答】解：如圖，小紅到老年公寓的最短路徑有：F→D→G，F(xiàn)→B→C→G，F(xiàn)→A→G，共3條，故A正確；由小紅到老年公寓的最短路徑可知，當(dāng)縱向的路徑確定后，橫向的路徑也是確定的，從左向右分別標(biāo)為1，2，3，4，5，小明確定出最短路徑有三條縱向的路徑可以選擇，①若三條縱向的路徑標(biāo)號相同，共5種，②若三條縱向的路徑標(biāo)號兩條相同，共有C52×2③若三條縱向的路徑標(biāo)號各不相同，共有C53故小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35種，故B正確；同理，由E到F的最短路徑共有3+C3故若小明先到F處與小紅會合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3×6＝18，故D正確；故若小明不經(jīng)過F處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35﹣18＝17種，故C錯誤；故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了分步乘法原理與分類加法原理，考查了排列組合的應(yīng)用，是中檔題．（多選）10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到A，B，C，D四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）A．所有可能的安排方法有64種 B．若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種 C．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種 D．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種【考點(diǎn)】簡單排列問題．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步計數(shù)原理計算出答案；B選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，再安排三名專家，利用分步計數(shù)原理計算出答案；C選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，再進(jìn)行全排列得到C正確；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，計算出每所醫(yī)院去一人，甲去A醫(yī)院的安排方法，從而計算出答案．【解答】解：A選項(xiàng)，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有43＝64種，A正確；B選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，有C4再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有C3則不同的安排方法有6×6＝36種，B錯誤；C選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，有C4再將三名專家和三所醫(yī)院進(jìn)行全排列，有A3則不同的安排方法有4×6＝24種，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去A醫(yī)院，從B，C，D所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進(jìn)行全排列，共有C3故不同的安排方法有24﹣6＝18種，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）11．下列等式中，正確的是（）A．AnB．rCC．CnD．C【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式；排列及排列數(shù)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用組合數(shù)公式Cnm+1+C【解答】解：∵Anm+mAnm-1=∵rCnr=rn!r!(∵Cnm-1∵m+1n-mCn故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與證明的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．（多選）12．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的是（）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為45 B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為A54CC．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為（C53C21+C5D．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C31C42A【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；分析法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)排列組合知識分別進(jìn)行計算可得正確選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，A正確；對于B，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有C52A44對于C，分2步分析：需要先將5人分為3組，有（C52C2則有（C52C21A2對于D，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出1人開車，②從丙，丁，戊中選出2人開車，則有C31C42A33+C故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為472．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用間接法，先選取沒有條件限制的，再排除有條件限制的，問題得以解決．【解答】解：由題意，不考慮特殊情況，共有C163種取法，其中每一種卡片各取三張，有4兩張紅色卡片，共有C4故所求的取法共有C163-4C43-C4故答案為：472．【點(diǎn)評】本題考查了組合知識，考查排除法求解計數(shù)問題，屬于中檔題．14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色．要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有390種（用數(shù)字作答）．【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意選出的顏色只能是2種或3種，然后分別求出涂色方法數(shù)即可．【解答】解：用2色涂格子有C62×2用3色涂格子，第一步選色有C63，第二步涂色，從左至右，第一空3種，第二空第三空分兩種情況，一是與第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）＝18種，所以涂色方法18×C6故總共有390種方法．故答案為：390【點(diǎn)評】本題考查組合及組合數(shù)公式，考查分類討論思想，是基礎(chǔ)題．15．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有72種．（以數(shù)字作答）【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】計算題；壓軸題；分類討論．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分類型，選3種顏色時，就是②④同色，③⑤同色；4種顏色全用，只能②④或③⑤用一種顏色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由題意，選用3種顏色時：涂色方法C43?A33＝24種4色全用時涂色方法：C21?A44＝48種所以不同的著色方法共有72種．故答案為：72【點(diǎn)評】本題考查組合及組合數(shù)公式，考查分類討論思想，避免重復(fù)和遺漏情況，是中檔題．16．有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項(xiàng)目，且不重復(fù)．若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測試一人．則不同的安排方式共有264種（用數(shù)字作答）．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】法一：先安排上午的測試方法，有A44種，再安排下午的測試方式，由于上午的測試結(jié)果對下午有影響，故需要選定一位同學(xué)進(jìn)行分類討論，得出下午的測試種數(shù)，再利用分步原理計算出結(jié)果法二：假定沒有限制條件，無論是上午或者下午5個項(xiàng)目都可以選．組合總數(shù)為：4×5×4×4＝320．再考慮限制條件：上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目．在總組合為320種的組合中，上午為握力的種類有32種；同樣下午為臺階的組合有32種．最后還要考慮那去掉的64種中重復(fù)去掉的，如A同學(xué)的一種組合，上午握力，下午臺階（這種是被去掉了2次），A同學(xué)上午臺階，下午握力（也被去掉了2次），這樣的情況還要考慮B．C．D三位，所以要回加2×4＝8．進(jìn)而可得答案．【解答】解：解法一：先安排4位同學(xué)參加上午的“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“臺階”測試，共有A44種不同安排方式；接下來安排下午的“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”測試，假設(shè)A、B、C同學(xué)上午分別安排的是“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”測試，若D同學(xué)選擇“握力”測試，安排A、B、C同學(xué)分別交叉測試，有2種；若D同學(xué)選擇“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”測試中的1種，有A31種方式，安排A、B、C同學(xué)進(jìn)行測試有3種；根據(jù)計數(shù)原理共有安排方式的種數(shù)為A44（2+A31×3）＝264，故答案為264解法二：假定沒有這個限制條件：上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目．無論是上午或者下午5個項(xiàng)目都可以選．上午每人有五種選法，下午每人僅有四種選法，上午的測試種數(shù)是4×5＝20，下午的測試種數(shù)是4×4＝16故我們可以很輕松的得出組合的總數(shù)：4×5×4×4＝320．再考慮這個限制條件：上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目．在總組合為320種的組合中，上午為握力的種類是總數(shù)的110，32種；同樣下午為臺階的組合也是總數(shù)的110，32種．所以320﹣32﹣32＝但是最后還要考慮那去掉的64種中重復(fù)去掉的，好像A同學(xué)的一種組合，上午握力，下午臺階（這種是被去掉了2次），A同學(xué)上午臺階，下午握力（也被去掉了2次），這樣的情況還要B．C．D三位，所以要回加2×4＝8．所以最后的計算結(jié)果是4×5×4×4﹣32﹣32+8＝264．答案：264．【點(diǎn)評】本題主要考查了排列與組合的相關(guān)知識點(diǎn)，突出對分類討論思想和數(shù)學(xué)思維能力的考查，屬較難題．四．解答題（共4小題）17．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)字0不能排在首位，末位是0時又是偶數(shù)，所以針對于0進(jìn)行討論，當(dāng)末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進(jìn)行排列，當(dāng)末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個．根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．（Ⅱ）十位上的數(shù)為0，1，2，分類討論即可得出結(jié)論；（Ⅲ）1和3兩個奇數(shù)夾著0時，把這三個元素看作一個整體，和另外兩個偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A33種結(jié)果，1和3兩個奇數(shù)夾著2時，注意0不能放在首位，當(dāng)1和3兩個奇數(shù)夾著【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)分類計數(shù)原理知，當(dāng)末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進(jìn)行排列有A42當(dāng)末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個共有A21根據(jù)分類計數(shù)原理知共有12+18＝30種結(jié)果；（Ⅱ）十位上的數(shù)為0時，有4×3＝12個，十位上的數(shù)為1時，有3×2＝6個，十位上的數(shù)為2時，有2×1＝2個，共有20個；（Ⅲ）1和3兩個奇數(shù)夾著0時，把這三個元素看作一個整體，和另外兩個偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A331和3兩個奇數(shù)夾著2時，同前面類似，只是注意0不能放在首位，共有2C21當(dāng)1和3兩個奇數(shù)夾著4時，也有同樣多的結(jié)果，共有2C21根據(jù)分類加法原理得到共有12+8+8＝28種結(jié)果．【點(diǎn)評】對于復(fù)雜一點(diǎn)的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類．18．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（1）6個不同的小球放入4個不同的盒子；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個小球都有4種可能，利用乘法原理可得結(jié)論；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，先把6個小球分組，有兩種分法，再放入4個不同的盒子，即可得到結(jié)論；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，利用插空法；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，先把6個小球分組，有3種分法，再放入3個不同的盒子，即可得到不同的放法．【解答】解：（1）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個小球都有4種可能，利用乘法原理可得不同的方法有46＝4096；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，先把6個小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個不同的盒子，故不同的方法共有（C62C（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，不同的方法共有C（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，先把6個小球分組，有3種分法：3、2、1；2、2、2；4、1、1，再放入3個不同的盒子，故不同的方法共有（C63C【點(diǎn)評】本題考查排列組合知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19．將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個編號為1，2，3，4的盒子中．（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？【考點(diǎn)】其他組合形式及計算．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）24，（2）144，（3）8．【分析】（1）根據(jù)題意，原問題等價于每個盒子放入一個小球，由排列數(shù)公式計算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4個小球分為2﹣1﹣1的三組，②將4個小盒中任選3個，放入三組小球，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，②列舉其他三個編號與盒子的編號不同的小球的放法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，若每盒至多一球，即每個盒子放入一個小球，有A44（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4個小球分為3組，其中1組2個小球，另外2組各有1個小球，有C42②，將4個小盒中任選3個，放入三組小球，有C43則有6×24＝144種不同的放法；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C41=4種情況，假設(shè)4②，其余三個球的放法為（2，3，1），（3，1，2），共2種，則有恰好有一個球的編號與盒子的編號相同放法有4×2＝8種．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)．每位女同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為45，每位男同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為3（Ⅰ）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；（Ⅱ）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗(yàn)的概率．【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式；互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10位同學(xué)中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)，滿足條件的事件是選出的3位同學(xué)中至少有一位男同學(xué)，它的對立事件是選出的3位同學(xué)中沒有男同學(xué)，根據(jù)對立事件的概率公式得到結(jié)果．（2）由題意知本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)，10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中表示再從另外的八人中選一人，通過測驗(yàn)與被選中時相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)共有C103種結(jié)果，滿足條件的事件是選出的3位同學(xué)中至少有一位男同學(xué)，它的對立事件是選出的3位同學(xué)中沒有男同學(xué)共有C63種結(jié)果，∴根據(jù)古典概型的公式得到隨機(jī)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為1-C（Ⅱ）∵由題意知本題是一個古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn)共有C103種結(jié)果，10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中表示再從另外的八人中選一人，共有C81種結(jié)果，∴10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中的概率是C∴甲、乙被選中且能通過測驗(yàn)的概率為C8【點(diǎn)評】本小題主要考查組合，概率等基本概念，相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件的概率加法公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】互斥事件的概率加法公式：在一個隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨(dú)立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．3．排列及排列數(shù)公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．定義（1）排列：一般地，從n個不同的元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號An2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝4．簡單排列問題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直