陜西省漢中市漢臺區(qū)2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設(shè)拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標(biāo)為，則的最小值為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的兩焦點分別為，，P為橢圓上一點，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.5．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°6．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.7．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.308．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.9．已知，若對于且都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知是兩個數(shù)1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.11．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.12．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.14．函數(shù)的圖象在點處的切線的方程是______.15．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率16．?dāng)?shù)據(jù)6，8，9，10，7的方差為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時兩圓外切？（2）m取何值時兩圓內(nèi)切？（3）當(dāng)m=45時，求兩圓公共弦所在直線的方程和公共弦的長18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值19．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的個數(shù)22．（10分）如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面PAD；（2）若M是BP的中點，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.2、D【解析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即，，當(dāng)時，，所以故選：D3、B【解析】設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當(dāng)D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B4、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B5、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.7、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.8、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域為：對求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A9、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實數(shù)取值范圍為.故選：D10、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為是兩個數(shù)1，9的等比中項，所以，所以，當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.11、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A12、C【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，則，即有，所以圓與圓外切.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設(shè)動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：14、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點斜式方程求得答案.【詳解】因為，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.15、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點到直線的距離為，，求出的值，進而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過兩點(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題16、2【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設(shè)，平均值為，∴方差.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）直線方程為4x+3y-23=0，弦長為【解析】（1）先把兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當(dāng)m=45時，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長試題解析：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當(dāng)m=45時，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為d==2，可得弦長為考點：1．兩圓相切的位置關(guān)系；2．兩圓相交的公共弦問題18、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，即可得解；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再和端點值比較即可得解.【詳解】（1）由題意，，因為曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，所以，，又當(dāng)時，y＝f(x)有極值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.19、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程20、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標(biāo)，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設(shè)直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設(shè)直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系（2）涉及到直線方程時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分21、（1）f(x)的最大值為7，最小值為－33；（2）見解析.【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，列表求其單調(diào)性即可；(2)求出函數(shù)f(x)的極值即可.【小問1詳解】023+-+f(－2)＝－33↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33；【小問2詳解】02+-+↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗當(dāng)a＜－1或a＞7時，方程有一個根；當(dāng)a＝－1或7時，方程有兩個根；當(dāng)－1＜a＜7時，方程有三個根.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)條件先證明，再根據(jù)線面平行的判