2025年下學期10月高二聯(lián)考數(shù)學本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算和乘方運算法則求得復數(shù)z,進而可得z在復平面內(nèi)對應的點的坐標，即可得出結(jié)論.【詳解】因所以z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-3,4),位于第二象限.2.在空間直角坐標系Oxyz中，點M(1,-2,3)關(guān)于平面yOz的對稱點為()A.(-1,-2,-3)B.(1,-2,-3)C.(-1,-2,3)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于誰對稱誰不變這一結(jié)論直接寫結(jié)論即可.【詳解】點M(1,-2,3)關(guān)于平面yOz的對稱點為(-1,-2,3),3.國慶8天小長假過后，某同學統(tǒng)計了該年級3個班級的同學在假期旅游去過的城市個數(shù)分別為12,15,18,則這三個數(shù)據(jù)的方差為()A.3B.4C.5【解析】【分析】先求這三個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方程的公式即可求得結(jié)果.4.兩條平行直線l?:x-y+2=0與l?:x-y-1=0之間的距離為()A.1【解析】【分析】根據(jù)距離公式可求距離，從而可得正確的選項.【詳解】由距離公式可得兩條平行線之間的距離為A.m=4,n=1B.m=3,n=2C.m=4,n=2D.m=3,n=1【答案】AB【解析】【分析】A選項可由e?=e?判斷；其余選項均可設e?=xe?+ye?,,利用坐標運算得出方程組，根據(jù)其解的情況來判斷.所以e,e?,e?不能構(gòu)成空間向量的一組基底，故A符合題意；則當m=4,n=2時，方程組為解得當m=3,n=1時，方程組無解，故e,e?,e?不共面，,則【解析】的值.【詳解】由二倍角的余弦公式可長均為上底面圓半徑的2倍，則該圓臺的表面積為()A.13πB.22π【解析】【分析】由題意可設圓臺O?O2的上、下底面圓的半徑分別為r,2r,則其母線長為2r,可求得高，進而計到球的半徑為2r,結(jié)合球的體積可求得r,進而求得圓臺的表面積即可.【詳解】由題意設圓臺0?O?的上、下底面圓的半徑分別為r,2r,則其母線長為2r,所以下底面圓心到上底面圓周上任意一點的距離為√2+72=√(3n)2+r2=2r又因為下底面圓的半徑也等于2r,所以下底面圓心正好就是已知球的球心0,所以球O的半徑為2r.已知該球的體積為,由球的體積公式得,解得r=1.8.已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且過點,Q為C上一動點，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目條件求橢圓C的方程，進而由橢圓的定義及兩點間線段最短求兩線段長度之和的最大值【詳解】設C半焦距為c,因為F(1,0),故c=1.又C過點所以C的方程為由于兩點之間線段最短，所以PQ|≤|PF'+|QF'|.當且僅當P,F',Q在一條直線上時，等號成立.故選：D【答案】BD【解析】【分析】舉反例可判斷A;由基本不等式可判斷BC;由基本不等式結(jié)合對數(shù)的運算可得D.【詳解】對于A,當a=b=1時，a2-b=0,則a2-b>0不成立，故A錯誤；對于B,,當且僅當a=b=1時取等號，故對于C,當且僅當,即a=b=1時等對于D,log?a+log?b=log?ab,因為2=a+b≥2√ab,當且僅當a=b=1時等號成立，所以ab≤1,于是log?ab≤log?1=0,即log?a+log?b≤0,故D正確.10.已知平行六面體ABCD-A?B?C?D?的各個面均為菱形，設AB=a,AD=b,AAB.AC?·BD?=0【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到la|=|b|=||=1,且a,b,c兩兩之間的夾角均為.對選項A,計算(ā+c).(b+c)即可判斷A正確；對選項B,計算AC?·BD?=2,即可判斷B錯誤；對選項C,計算 AC|2=|a+b+c2=6,即可判斷C正確；對選項D,分別計算cos∠B?AD?和,即可判斷 【詳解】由已知得la|=|5|=|c|=1,且a,b,c兩兩之間的夾角均為對選項A,,故A正確；對選項B,AC?BD?=(a+b+c)·(-a+b+c)=-a·a+b·b+c·c+2b·c=-1故B錯誤；對選項C,AC|2=|a+b+P=1a2+1b2+1c2+2a-b+2ac+26c對選項D,故∠B?AD?<a,b,故D正確.11.若曲線E的方程為x2+y2=2|x|+2|y,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線E圍成圖形的面積為2π+4B.若曲線E與直線y=x+m有公共點，則-4≤m≤4D.若圓x2+y2=r2(r>0)能完全包圍曲線E,【解析】進而得到對應曲線，結(jié)合曲線逐項判斷即可.【詳解】由x2+y2=2|x|+2|,得(x|-1)2+(y|-1)2=2,易知曲線E位于四個象限的圖象分別是以選項A:曲圍成的圖形由一個邊長為2√2的正方形和四個半徑均為√2的半圓組成)選項B:若直線y=x+m與曲線E在第四象限相切，則m<-2,,(提示：直線y=x+m與曲線E在第四象限相切，即直線y=x+m與圓心為C?(1,-1),半徑為√2的圓在第四象限相切)得m=-4,由對稱性可得直線y=x+m與曲線E在第二象限相切時，m=4,數(shù)形結(jié)合可知若曲線E與直線y=x+m有公共點，則-4≤m≤4,故B正確；選項C:連接C?C?,則曲線E上任意兩點之間距離的最大值為|C?C?|+2√2=4√2,故C正確；選項D:若圓x2+y2=r2(r>0)能完全包圍曲線E,則r的最小值為2√2,D正確.12.已知中心在坐標原點的橢圓，其兩個頂點分別為直線2x+3y=4與x軸和V軸的交點，則該橢圓的離心率為·【答案】【解析】【分析】由題設求出橢圓的兩個頂點得到a,b,再結(jié)合a2=b2+c2和離心率定義即可求解.【詳解】對直線2x+3y=4,令x=0→,y=0→x=2,所以直線2x+3y=4經(jīng)過橢圓的兩個頂點故所以該橢圓的離心率為故答案為：13.已知集合,B={yly=5*+1},則A∩(C&B)=(用區(qū)間的形式表示).【解析】【分析】解分式不等式得到集合A,由指數(shù)函數(shù)的值域得到集合B,然后由集合的運算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知故B={yly≤1},所以A∩(CB)=[0,1],14.空間內(nèi)不共面的三條直線l,m,n滿足l⊥m,1In,且lnm=A,lnn=B,記C∈n,D∈m,已知AB·CD=-4,AD·BC=2,∠BAC=∠DAC,【解析】由AB·CD=-4可得AB·AC=AB·A由AD·BC=2可得AC·AD=AB·即,解得AD=1,四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。【解析】AC⊥平面BDE,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可證AC⊥BD;與平面EAC的法向量，根據(jù)向量夾角公式可得.【小問1詳解】設AC∩BD=0,連接OE,過D向OE作垂線，垂足為H,所以DH⊥平面EAC,因為ACc平面EAC,所以DH⊥AC,因為DE⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以DEIAC,因為DHnDE=D,DH,DEc平面BDE,所以AC⊥平面BDE,【小問2詳解】因為AD⊥CD,結(jié)合(1)可知底面為正方形，以D為原點，DA,DC,DE所在直線分別為X,y,Z軸，建立空間直角坐標系，則A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),B(2AC=(-2,2,0),AE=(-2,0,2),BF=(0,-2,1),FE=(-2,設平面EAC的一個法向量為n=(x,y,z),設平面BEF的一個法向量為m=(x?,yo,z?),設平面BEF與平面EAC的夾角為θ,則即平面BEF與平面EAC的夾角的余弦值為17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2bcosA+ccosA+acosC=0.(2)若AB=AC=2√3,D,E是邊BC上異于端點的動點，且,求DE的最小值.【答案】【解析】【分析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；(2)由正弦定理求出DE的表達式，利用三角函數(shù)的最值得解.【小問1詳解】由正弦定理可得2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0,所以2sinBcosA+sin(A+C)=2sinBcosA+sinB=0,因為sinB≠0,所以因為A∈(0,π),所以【小問2詳解】由題意可得,設∠ADE=α,由,所以當即時，DE取得最小值為2.A,M,N,設平面α與DH,BF分別交于P,Q兩點.DD(1)求點G到平面α的距離；(2)求|DP|,并證明：PQ//平面ABCD;(3)求直線PF與平面EBC所成角的正弦值.【答案】(1)(2),證明見解析【解析】【分析】(1)建立如圖所示空間直角坐標系，利用等體積法求出距離；(2)利用直線的方向向量與平面的法向量垂直即可得證；(3)根據(jù)直線與平面所成角的向量公式求解即可.【小問1詳解】則D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,2),F(2,2,2),G(0,2,2),H(0,0,2).【小問2詳解】點P在棱DH上，設P(0,0,zp).所以(-2,0,zp)=s(-1,2,2)+t( 解得,則PQ=(2,2,0), 平面ABCD的一個法向量為k=(0,0,1),又直線PQ不在平面ABCD內(nèi)，所以PQ//平面ABCD.【小問3詳解】設平面EBC的法向量為n=(x,y,z),,解得y=z,x=0,設直線PF與平面EBC所成角為4.AP=2AE,PA=AB=BC=2,CD=為線段CD上一動點.(1)證明：PA⊥平面ABCD;(2)已知E,A,B,C四點均在球O的球面上.(ii)若直線OF與平面PBD所成角的正弦值為,求DF的長度.【答案】(1)證明見解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理可證明BE⊥BC,由線面垂直性質(zhì)定理可證明PA⊥BC,再根據(jù)線面垂直判(2)(i)方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標表示以及共線定理可證明C,E,O三點共MN⊥平面ABC,再