2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（北京卷）

試卷總評(píng)

試卷結(jié)構(gòu)完全符合北京中考傳統(tǒng)：滿分100分，120分鐘，28道題分為選擇、填空

和解答三部分。這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)既保證了覆蓋面，又能體現(xiàn)區(qū)分度。從內(nèi)容分布來(lái)看，試

卷全面覆蓋了課標(biāo)要求的四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)（如第2題數(shù)軸、第5題一元二次方程）、

圖形與幾何（如第7題尺規(guī)作圖、第20題三角形證明）、統(tǒng)計(jì)與概率（如第4題概率計(jì)

算、第12題統(tǒng)計(jì)推斷）、綜合與實(shí)踐（如第16題銷售模型、第25題工藝培訓(xùn)）。特別

是最后三道壓軸題，分別考察了實(shí)際應(yīng)用、函數(shù)綜合和幾何變換，層次分明。從《義務(wù)

教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心素養(yǎng)導(dǎo)向、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、命題原則等角度分析。

命題依據(jù)與能力考察

1、緊密貼合課表要求

試卷全面考查“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，以及“發(fā)現(xiàn)與提出

問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力”

2、結(jié)構(gòu)合理，層級(jí)分明

選擇題（1-8）→填空題（9-16）→解答題（17-28），難度逐級(jí)遞進(jìn)?；A(chǔ)題占比約

60%（如第1、3、4、12題）；中檔題強(qiáng)調(diào)思維（如第7題尺規(guī)作圖與全等、第21題函

數(shù)約束分析）；壓軸題突出綜合能力（第27題幾何變換、第28題新定義與分類討論）

3、強(qiáng)化應(yīng)用導(dǎo)向

情境多樣化：科技前沿（第6題天問(wèn)二號(hào)探測(cè)距離）；

傳統(tǒng)文化（第22題北京風(fēng)箏制作技藝的幾何模型）；

生產(chǎn)實(shí)踐（第16題設(shè)備利潤(rùn)優(yōu)化、第25題工藝培訓(xùn)數(shù)據(jù)模擬）。

跨學(xué)科融合（第14題結(jié)合地理知識(shí)（太陽(yáng)高度角與平行線性質(zhì)），體

現(xiàn)“數(shù)學(xué)+”理念。

傳統(tǒng)文化載體：

4、體現(xiàn)北京特色，導(dǎo)向教學(xué)改革

第22題以“京燕風(fēng)箏”為背景，融合比例、代數(shù)方程，弘揚(yáng)非遺文化。

教學(xué)導(dǎo)向明確：

弱化機(jī)械記憶，強(qiáng)調(diào)理解應(yīng)用（如第23題通過(guò)折線圖、方差分析運(yùn)動(dòng)員實(shí)力）；

重視數(shù)據(jù)處理能力（第25題根據(jù)模擬曲線預(yù)測(cè)工藝水平）。

試卷以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為綱，緊扣“四基四能”、核心素養(yǎng)，結(jié)構(gòu)科學(xué)、情境豐

富、創(chuàng)新性強(qiáng)?；A(chǔ)題保障公平性，壓軸題突出選拔功能，尤其重視真實(shí)問(wèn)題解

決與邏輯推理（如第27、28題）。試題融入科技、非遺等時(shí)代元素，體現(xiàn)“立德

樹(shù)人”導(dǎo)向，對(duì)教學(xué)具有積極引導(dǎo)作用：避免題海戰(zhàn)術(shù)，轉(zhuǎn)向深度思考與實(shí)際應(yīng)

用。

題型新變化

動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)融合（強(qiáng)化直觀想象）

幾何圖形（如矩形、三角形）在坐標(biāo)系中動(dòng)態(tài)變化，需分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程中面積、角度、

線段關(guān)系的臨界狀態(tài)。要求結(jié)合函數(shù)性質(zhì)（增減性、對(duì)稱性）與幾何特征綜合推理。

跨學(xué)科真實(shí)情境建模（強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)）

情境復(fù)雜度提升（如第22題需同時(shí)處理頭部、胸腹、尾部高的比例與竹條長(zhǎng)度約束），

需提取多重等量關(guān)系。

數(shù)據(jù)鏈分析題（強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)思想）

數(shù)據(jù)以多階段函數(shù)鏈呈現(xiàn)（模擬天數(shù)T→試制日x→合格品數(shù)y）。需從離散數(shù)據(jù)

點(diǎn)擬合曲線趨勢(shì)，進(jìn)行預(yù)測(cè)決策（如優(yōu)化模擬天數(shù)）。

考點(diǎn)分布及題型

題號(hào)分?jǐn)?shù)題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)

軸對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形識(shí)別，尺

1、3、

規(guī)作圖與全等三角形證明，平行

7、14、選擇題3道

線性質(zhì)+三角形內(nèi)角和，正方形

15、29填空題2道圖形性質(zhì)

性質(zhì)+解直角三角形，圓的切線

20、解答題3道

性質(zhì)+相似三角形證明，旋轉(zhuǎn)構(gòu)

24、27

圖+平行四邊形證明

2、6、選擇題2道數(shù)軸上的不等式判斷，科學(xué)計(jì)數(shù)

9、10、18填空題2道數(shù)與式法實(shí)際應(yīng)用，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分

17、19解答題2道式化簡(jiǎn)求值

選擇題1道

4、12、簡(jiǎn)單概率計(jì)算，樣本估計(jì)總體，

9填空題1道概率

23數(shù)據(jù)分析（折線圖、方差、決策）

解答題1道

選擇題1道一元二次方程根的判別式，分式

5、11、

15填空題1道方程與不等式方程求解，解一元一次不等式

18、22

解答題2道組，一元一次方程應(yīng)用

132填空題1道命題與證明舉反例證偽命題。

反比例函數(shù)與矩形動(dòng)態(tài)重疊分

8、16、選擇題1道

析，分段函數(shù)最值決策，一次函

21、20填空題1道函數(shù)

數(shù)解析式與參數(shù)范圍約束，拋物

25、26解答題3道

線性質(zhì)與動(dòng)態(tài)參數(shù)分析

新定義“關(guān)聯(lián)角度”（圓與直線動(dòng)

287解答題1道圖形與坐標(biāo)

態(tài)）

備考指津

動(dòng)態(tài)幾何（必考?。?/p>

重點(diǎn)題型：函數(shù)與幾何綜合（如反比例函數(shù)+矩形運(yùn)動(dòng)、拋物線動(dòng)態(tài)分析）。

突破方法：用幾何畫(huà)板模擬動(dòng)點(diǎn)軌跡，理解臨界狀態(tài)（如面積最大/最小時(shí)的點(diǎn)位）。

掌握分類討論模板（例：第26題中分a>0和a<0畫(huà)圖）。

跨學(xué)科應(yīng)用（占比上升）

高頻場(chǎng)景：航天（科學(xué)計(jì)數(shù)法）、地理（太陽(yáng)高度角）、非遺（傳統(tǒng)工藝模型）。

關(guān)鍵能力：從題干提取等量關(guān)系（如第22題風(fēng)箏的“頭部高：胸腹高：尾部高

=1:2:1”）。

數(shù)據(jù)鏈分析（易錯(cuò)！）

典型題：利潤(rùn)優(yōu)化（第16題）。

應(yīng)對(duì)策略：訓(xùn)練多階段數(shù)據(jù)擬合（表格→散點(diǎn)圖→趨勢(shì)線→預(yù)測(cè)決策）。

真題解讀

2025年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

姓名_______準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)

考生須知

1．本試卷共6頁(yè)，共兩部分，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．

2．在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)．

3．試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．

4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．

5．考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．

1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形

沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．

據(jù)此即可求解．

【詳解】解：A、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意，

故選：D．

2．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)1B．a(chǎn)b0C．a(chǎn)b>0D．a(chǎn)b

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、絕對(duì)值的幾何意義

【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對(duì)值的意義，利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，

正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

先由數(shù)軸得，2a10b1，且ba，再逐項(xiàng)分析即可．

【詳解】解：由數(shù)軸得，2a10b1，且ba

∴a+b<0，ab0，

故A，B，C均錯(cuò)誤，不符合題意，D正確，符合題意，

故選：D．

3．若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x，則x的值為（）

A．60B．90C．120D．150

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角和問(wèn)題

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即n2180，其中n為邊數(shù)，利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊

形的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x，

∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：x621806120，

故選：C．

4．一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)

摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（）

1115

A．B．C．D．

6326

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率

【分析】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可

能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．

【詳解】解：∵袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

11

∴摸出的球是白球的概率是．

3216

故選：A．

5．若關(guān)于x的一元二次方程ax22x10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．4B．1C．1D．4

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到0，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由題意，得：Δ224a0，

解得：a1；

故選C．

6．2025年5月29日，行星探測(cè)工程天問(wèn)二號(hào)探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開(kāi)啟對(duì)近地小行星

2016HO3的探測(cè)與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地

點(diǎn)距離約為4105km，則該小行星與地球的最近距離約為（）

A．1.8105kmB．1.8106kmC．1.8107kmD．1.81010km

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．根據(jù)題意，小行星與地球的最近距離為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的

45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離已知為4105km，直接計(jì)算兩者的乘積并用科學(xué)記數(shù)法表示即可．

【詳解】解：月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為4105km，小行星的距離是該值的45倍，即：

4541051801051.8107km．

故選：C

7．如圖，MON100，點(diǎn)A在射線OM上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線ON于點(diǎn)B．若分

別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在MON內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接AC，則OAC的大小為（）

A．80B．100C．110D．120

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

連接AB,AC,BC，則由作圖可得OAOB,ACBCAB，那么VABC為等邊三角形，可證明

OAC≌OBCSSS，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解OAC．

【詳解】解：如圖，連接AB,AC,BC，

由作圖可得，OAOB,ACBCAB，

∴VABC為等邊三角形，

∴ACB60，

∵OCOC，

∴OAC≌OBCSSS，

1111

∴12ACB6030，34AOB10050，

2222

∴OAC180131803050100，

故選：B．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OACB是矩形，函數(shù)

1

yx0的圖象與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N（M，N不重合）．給出下面四個(gè)結(jié)論：

x

①△COM與CON的面積一定相等；

②△MON與△MCN的面積可能相等；

③△MON一定是銳角三角形；

④△MON可能是等邊三角形．

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與幾何綜合、已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函

數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)k的意義即可判斷①②，根據(jù)等邊三角形和反

比例函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷④，根據(jù)M,N是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，可得OMN或ONM為鈍角，即

可判斷③，即可求解．

【詳解】解：∵四邊形OACB是矩形，

∴SOBCSAOC

1

又∵M(jìn),N是反比例函數(shù)yx0圖象上的動(dòng)點(diǎn)，BNy軸，MAx軸，

x

1

∴SS

OBNOAM2

∴SOBCSOBNSAOCSAOM，即△COM與CON的面積一定相等；故①正確，

1

由①可得SS

OBNOAM2

當(dāng)△MON與△MCN的面積相等時(shí)，如圖，連接AB，BM

1

∴SSSSS矩形SS

NCMOAMMONOBN2OACBABOBOM

∴N在直線BM上，則M,N重合，

∴△MON與△MCN的面積不可能相等，故②不正確，

∵等邊三角形和反比例函數(shù)都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)NOM60且對(duì)稱軸都為直線yx，△MON可能是等邊

三角形，故④正確,

如圖

當(dāng)M,N在yx的同側(cè)時(shí)，△MON可能是鈍角三角形，故③錯(cuò)誤

綜上，①④正確、②③錯(cuò)誤.

故選：B．

二、填空題（共16分，每題2分）

9．若3x3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．

【答案】x1

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是

解題的關(guān)鍵．

此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”得到不等式求解．

【詳解】解：∵3x3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴3x30，

解得：x1，

故答案為：x1．

10．分解因式：7m228．

【答案】7m2m2

【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

原式提取7，再利用平方差公式分解即可．

【詳解】解：7m228

7m24

7m2m2，

故答案為：7m2m2．

21

11．方程0的解為．

x6x

【答案】x2

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程（化為一元一次）

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可得到答案．

21

【詳解】解：0

x6x

去分母得：2xx60，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x6，

系數(shù)化為1得：x2，

檢驗(yàn)，當(dāng)x2時(shí)，xx622680，

∴x2是原方程的解，

故答案為：x2．

12．某地區(qū)七年級(jí)共有2000名男生．為了解這些男生的體重指數(shù)（BMI）分布情況，從中隨機(jī)抽取了100

名男生，測(cè)得他們的BMI數(shù)據(jù)（單位：kg/m2），并根據(jù)七年級(jí)男生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)整理如下：

等級(jí)低體重正常超重肥胖

BMI≤15.415.5~22.122.2~24.9≥25.0

人數(shù)675154

根據(jù)以上信息，估計(jì)該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)是．

【答案】1500

【知識(shí)點(diǎn)】由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量

【分析】本題考查了由樣本估計(jì)總體，用2000乘以樣本中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)所占的比例即可得解，熟

練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用解此題的關(guān)鍵．

75

【詳解】解：由題意可得：該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)是20001500人，

100

故答案為：1500．

13．能說(shuō)明命題“若a24b2，則a2b”是假命題的一組實(shí)數(shù)a，b的值為a，b．

【答案】3（答案不唯一）1（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題真假、舉例說(shuō)明假（真）命題

【分析】本題主要考查了命題與定理、反證法等知識(shí)點(diǎn)，掌握判斷一個(gè)命題是假命題的時(shí)候可以舉出反例

是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)舉反例的方法找到a，b滿足a24b2，但是不滿足a2b即可解答．

【詳解】解：當(dāng)a3，b1時(shí)，a24b2，但是a2b．

故答案為：3，1（答案不唯一）．

14．如圖，O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，

DOBFOB23.5．夏至日正午時(shí)，太陽(yáng)光線GD所在直線經(jīng)過(guò)地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽(yáng)高度角IFH

（即平行于GD的光線HF與O的切線FI所成的銳角）的大小為°．

【答案】43

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，讀懂題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)FI

與OG交于點(diǎn)K，先由三角形內(nèi)角和定理求出OKF43，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：如圖，設(shè)FI與OG交于點(diǎn)K，

∵DOBFOB23.5，

∴KOFDOBFOB23.523.547，

在OFK中，F(xiàn)OKOFKOKF180，OFK90，

∴OKF43，

∵FHOG，

∴IFHOKF43，

故答案為：43．

15．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，CFBE，垂足為F．若AB1，EBC30，則△ABF

的面積為．

3

【答案】/0.375

8

【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、求平行線間的距離、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)F分別作FMBC,FNAB，垂足為M，N，連接AM，則FMC90，先根據(jù)平

3

行線間的距離處處相等得出FNBM，繼而得出SS，通過(guò)解直角三角形得出BMBCCM，

ABFABM4

即可求解．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F分別作FMBC,FNAB，垂足為M，N，連接AM，則FMC90，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴ABC90，

∴∠ABC∠FMC，

∴AB∥FM，

∴FNBM，

11

∵SABFN,SABBM,

ABF2ABM2

∴SABFSABM，

∵CFBE，垂足為F，AB1BC，EBC30，

11

∴BFC90,BCF60,CFBC，

22

∴CFM90BCF30，

11

∴CMCF，

24

3

∴BMBCCM，

4

133

∴SS1，

ABFABM248

3

故答案為：．

8

16．某企業(yè)研發(fā)并生產(chǎn)了一種新設(shè)備，計(jì)劃分配給A，B，C，D四家經(jīng)銷商銷售．當(dāng)一家經(jīng)銷商將分配到

的n臺(tái)設(shè)備全部售出后，企業(yè)從該經(jīng)銷商處獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

n1n2n3n4n5n6…

A4060

B30557590100105

C204060708090…

D14386286110134…

（1）如果企業(yè)將5臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商銷售，且每家經(jīng)銷商至少分配到1臺(tái)設(shè)備，為使5臺(tái)設(shè)備都

售出后企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，應(yīng)向經(jīng)銷商分配2臺(tái)設(shè)備（填“A”“B”“C”或“D”）；

（2）如果企業(yè)將6臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商中的一家或多家銷售，那么6臺(tái)設(shè)備都售出后，企業(yè)可獲得

的總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元．

【答案】B157

【知識(shí)點(diǎn)】列舉隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果

【分析】本題考查列舉等可能的結(jié)果，根據(jù)表格列舉出增長(zhǎng)量的變化是解題關(guān)鍵．

（1）分別計(jì)算各經(jīng)銷商銷售完第2臺(tái)比第1臺(tái)的利潤(rùn)的增長(zhǎng)量，比較即可得答案；

（2）分別求出一家分配時(shí)、四家分配時(shí)、三家分配時(shí)、兩家分配時(shí)的最大利潤(rùn)，比較即可得答案．

【詳解】解：（1）當(dāng)n2時(shí)，

A經(jīng)銷商的利潤(rùn)為60，比n1時(shí)增加604020（萬(wàn)元），

B經(jīng)銷商的利潤(rùn)為55，比n1時(shí)增加553025（萬(wàn)元），

C經(jīng)銷商的利潤(rùn)為40，比n1時(shí)增加402020（萬(wàn)元），

D經(jīng)銷商的利潤(rùn)為38，比n1時(shí)增加381424（萬(wàn)元），

∵252420，

∴應(yīng)向經(jīng)銷商B分配2臺(tái)設(shè)備．

（2）當(dāng)給這四家經(jīng)銷商中的一家分配時(shí)，最大利潤(rùn)為D經(jīng)銷商的134萬(wàn)元，

當(dāng)分配給多家銷售時(shí)：

當(dāng)分配四家時(shí)，最大利潤(rùn)為40552038153（萬(wàn)元），

當(dāng)分配給三家時(shí)，最大利潤(rùn)為405562157（萬(wàn)元），

當(dāng)分配給兩家時(shí)，最大利潤(rùn)為6090150（萬(wàn)元）或40110150（萬(wàn)元），

綜上所述：企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為157萬(wàn)元．

故答案為：B，157

三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20題6分，第21題5分，第22題6分，第23題5分，

第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明

過(guò)程．

1

1

17．計(jì)算：3272sin30．

2

【答案】433

【知識(shí)點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

分別計(jì)算絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值并進(jìn)行乘法計(jì)算，再進(jìn)行

加減計(jì)算即可．

1

1

【詳解】解：3272sin30

2

1

33322

2

433．

2x1x1

18．解不等式組：x5

3x

2

【答案】3x1

【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，

大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．

2x1x1①

【詳解】解：x5

3x②

2

解不等式①得：x3，

解不等式②得：x1，

∴原不等式組的解集為3x1．

4ab8b

19．已知ab30，求代數(shù)式的值．

a22abb2

4

【答案】

3

【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值

【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

先對(duì)分式的分子分母進(jìn)行因式分解，化至最簡(jiǎn)分式，再將ab30變形，進(jìn)行整體代入求值．

4a4b8b

【詳解】解：原式2

ab

4ab

2

ab

4

，

ab

∵ab30，

∴ab3，

4

∴原式．

3

20．如圖，在VABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DFBC，垂足為F，點(diǎn)G在DE的延長(zhǎng)線上，DGFC．

(1)求證：四邊形DFCG是矩形；

(2)若B45，DF3，DG5，求BC和AC的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)BC8，AC210

【知識(shí)點(diǎn)】證明四邊形是矩形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的

證明

【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵．

（1）由三角形中位線定理可得DE∥CF，即DGCF，則可證明四邊形DFCG是平行四邊形，再由

DFBC，即可證明平行四邊形DFCG是矩形；

（2）求出CF5，解Rt△BDF得到BD32，BF3，則BCBFCF8；由線段中點(diǎn)的定義可得

AB2BD62；過(guò)點(diǎn)A作AHBC于H，解Rt△ABH得到AH6，BH6，則CHBCBH2，再

利用勾股定即可求出AC的長(zhǎng)．

【詳解】（1）證明：∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，

∴DE是VABC的中位線，

∴DE∥CF，即DGCF，

∵DGFC，

∴四邊形DFCG是平行四邊形，

又∵DFBC，

∴平行四邊形DFCG是矩形；

（2）解：∵DG5，

∴CFDG5；

∵DFBC，

∴DFB90，

在Rt△BDF中，B45，DF3，

DF3DF3

∴BD32，BF3，

sinBsin45tanBtan45

∴BCBFCF8；

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴AB2BD62；

如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AHBC于H，

在Rt△ABH中，AHABsinB62sin456，BHABcosB62cos456，

∴CHBCBH2，

在RtAHC中，由勾股定理得AC2AH2CH26222210．

21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxbk0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,3和2,5．

(1)求k，b的值；

(2)當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)ymxm0的值既小于函數(shù)ykxb的值，也小于函數(shù)yxk

的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

k2

【答案】(1)

b1

(2)2m3

【知識(shí)點(diǎn)】求一次函數(shù)解析式、根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)求不等式的解集

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的

相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由（1）可得函數(shù)ykxbk0的解析式為y2x1，函數(shù)yxk的解析式為yx2，當(dāng)mx2x1

時(shí)，則m2x1，當(dāng)mxx2時(shí)，則m1x2，根據(jù)當(dāng)x1時(shí)，兩個(gè)不等式都成立可得m≥2；當(dāng)m2，

12122

x1時(shí)，2x2x1和x2恒成立；當(dāng)m2時(shí)，則x且x，再分當(dāng)時(shí)，則1，

m2m1m2m1m1

121

當(dāng)時(shí)，則1，兩種情況分別解不等式即可得到答案．

m2m1m2

【詳解】（1）解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxbk0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,3和2,5，

kb3

∴，

2kb5

k2

解得；

b1

（2）解：由（1）可得函數(shù)ykxbk0的解析式為y2x1，函數(shù)yxk的解析式為yx2，

當(dāng)mx2x1時(shí)，則m2x1，

當(dāng)mxx2時(shí)，則m1x2，

∵當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)ymxm0的值既小于函數(shù)ykxb的值，也小于函數(shù)yxk的

值，

∴m20，且m10，

∴m≥2，

當(dāng)m2，x1時(shí)，2x2x1和x2恒成立，故m2符合題意；

12

當(dāng)m2時(shí)，則x且x，

m2m1

122

當(dāng)時(shí)，則1，

m2m1m1

12

解不等式得m3，解不等式m3，

m2m1

∴2m3；

121

當(dāng)時(shí)，則1，

m2m1m2

121

解不等式得m3，解不等式1得m3，此時(shí)不符合題意；

m2m1m2

綜上所述，2m3．

22．北京風(fēng)箏制作技藝是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備了五根直竹條（如圖1）：

一根門條、兩根等長(zhǎng)的膀條和兩根等長(zhǎng)的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如

圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1:1:2．已知單根膀條長(zhǎng)是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，

5

圖1中BC的長(zhǎng)是門條長(zhǎng)的，AB，CD的長(zhǎng)均等于胸腹高．求這只風(fēng)箏的骨架的總高．

9

【答案】80cm

【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清量之間的關(guān)系、列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

5

設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長(zhǎng)為5xcm，門條AD的長(zhǎng)度為5x10cm，BC5x10cm，ABCDx，

9

頭部高為x，尾部高為2x，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4x；由ADABBCCD列方程求出x=20，進(jìn)而

求出風(fēng)箏的骨架的總高即可．

5

【詳解】解：設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長(zhǎng)為5xcm，門條AD的長(zhǎng)度為5x10cm，BC5x10cm，

9

ABCDx，頭部高為x，尾部高為2x，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4x，

5

由ADABBCCD，可得：5x10x5x10x，解得：x=20；

9

所以這只風(fēng)箏的骨架的總高4x80cm．

答：這只風(fēng)箏的骨架的總高80cm．

23．校田徑隊(duì)教練選出甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加100米比賽．對(duì)這四名運(yùn)動(dòng)員最近10次100米跑測(cè)

試成績(jī)（單位：s）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．

a．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的折線圖：

b．丙運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)：

12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9

c．四名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差：

甲乙丙丁

平

均12.512.5p12.5

數(shù)

中

位m12.512.812.45

數(shù)

方

0.056n0.0340.056

差

(1)表中m的值為_(kāi)______；

(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；

(3)根據(jù)這10次測(cè)試成績(jī)，教練按如下方式評(píng)估這四名運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力強(qiáng)弱：首先比較平均數(shù)，平均數(shù)較小者

實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)相等，則比較方差，方差較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)、方差分別相等，則測(cè)試成績(jī)小

于平均數(shù)的次數(shù)較多者實(shí)力更強(qiáng)．

評(píng)估結(jié)果：這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為_(kāi)______．

【答案】(1)12.5

(2)

(3)乙、丁、甲、丙

【知識(shí)點(diǎn)】求中位數(shù)、求方差、折線統(tǒng)計(jì)圖、利用平均數(shù)做決策

【分析】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算方差，中位數(shù)，平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)中位數(shù)定義即可求解m；

（2）根據(jù)方差計(jì)算公式求解，再比較即可；

（3）根據(jù)中位數(shù)、方差、平均數(shù)，結(jié)合題意分析即可．

【詳解】（1）解：甲的10次測(cè)試成績(jī)排列為：12.1,12.1,12.5,12.5,12.5,12.5,12.5,12.7,12.7,12.9，

12.512.5

∴中位數(shù)m12.5，

2

故答案為：12.5；

12.612.612.312.512.512.712.512.712.412.2

（2）解：乙的10次測(cè)試成績(jī)平均數(shù)為：12.5，

10

∴方差為：

1222222

n12.612.5212.312.512.512.5312.712.5212.412.512.212.50.024

10

∴n0.056，

故答案為：；

12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9

（3）解：丙的平均數(shù)p12.7，

10

∴丙的平均數(shù)最大，則實(shí)力最弱，

∵方差0.0240.0340.056，

∴乙實(shí)力最強(qiáng)，

∵丁的測(cè)試成績(jī)中位數(shù)為12.45，

∴第5,6次成績(jī)和為24.9，

∴前5次測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)，

∵甲測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)12.5的次數(shù)有2次，

∴丁比甲強(qiáng)，

∴這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為：乙、丁、甲、丙，

故答案為：乙、丁、甲、丙．

24．如圖，過(guò)點(diǎn)P作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，取OP的中點(diǎn)C，連接AC

并延長(zhǎng)，交O于點(diǎn)D，連接BD．

(1)求證：ADBAOP；

1

(2)延長(zhǎng)OP交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AP10，tanAOP，求DE的長(zhǎng)．

2

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)DE長(zhǎng)為44．

【知識(shí)點(diǎn)】應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

1

【分析】（1）利用切線長(zhǎng)定理得OP平分AOB，利用圓周角定理得ADBAOB，等量代換即可證

2

明；

（2）延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)F，連接DF，利用條件求出線段長(zhǎng)，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相似，最后根據(jù)

相似求得DE長(zhǎng)．

【詳解】（1）證明：AP，BP分別切O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，

OP平分AOB，

1

AOPAOB，

2

又ABAB，

1

ADBAOB，

2

ADBAOP．

（2）延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)F，連接DF，則DADF=90°，

AP，BP分別切O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，

PAOA，

C為OP的中點(diǎn)，

PCOC，

1

ACOCOP，

2

1

又AP10，tanAOP，

2

AP

AO20，

tanAOP

OPAO2AP2202102105，

1

ACOCOP55，AF2AO40，

2

ACOC，

CAOAOC，

又PAOADF90，

POFA

，

AODA

20

DA40165，CDDAAC115，

105

AOPADB，ACOECD，

△ACO∽△ECD，

AOCO

，

EDCD

115

DE2044．

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，熟記切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．

25．工廠對(duì)新員工進(jìn)行某種工藝品制作的培訓(xùn)．在完成理論學(xué)習(xí)后，新員工接下來(lái)先使用智能輔助訓(xùn)練系

統(tǒng)進(jìn)行一次為期T日（T可取0，1，2或3）的模擬練習(xí)，然后開(kāi)始試制．記一名新員工在試制階段的第x

日單日制成的合格品的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)以往的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于給定的T，可以認(rèn)為y是x的函數(shù)．當(dāng)T0和

T3時(shí)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

x0123456789

T0

時(shí)的

y07810121620232526

值

T3

時(shí)的

y0263743m4850515253

值

T3時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變．

對(duì)于給定的T，在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出該T值下各數(shù)對(duì)x,y所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并根據(jù)變化趨勢(shì)用平滑曲

線連接，得到曲線CT．當(dāng)T1和T2時(shí)，曲線C1，C2如圖所示．

(1)觀察曲線C1，當(dāng)整數(shù)x的值為_(kāi)______時(shí)，y的值首次超過(guò)35；

(2)寫(xiě)出表中m的值，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出T3時(shí)的曲線C3；

(3)新員工小云和小騰剛剛完成理論學(xué)習(xí)，接下來(lái)進(jìn)行模擬練習(xí)和試制．

①若新員工單日制成不少于45個(gè)合格品即可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，小云最早在完成理

論學(xué)習(xí)后的第_______日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；

②若工廠希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中

應(yīng)安排小騰先進(jìn)行_______日的模擬練習(xí)．

【答案】(1)6

(2)m46；畫(huà)圖見(jiàn)解析

(3)①7；②1

【知識(shí)點(diǎn)】求自變量的值或函數(shù)值、用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象、用表格表示變量間的關(guān)系、用圖象表示變量間

的關(guān)系

【分析】（1）找C1圖象上y的值首次超過(guò)35時(shí)的x值；

（2）根據(jù)第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，第5日比第

3日多試制5個(gè)合格產(chǎn)品，可知第4日比第3日多3個(gè)合格產(chǎn)品，即得；運(yùn)用表格數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系描

點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象；

（3）①根據(jù)單日制成不少于45個(gè)合格品的只有C2與C3，C3：T3x4時(shí)y46，得Tx7；C2：T2，

當(dāng)x6時(shí)y45，得Tx8，比較即得小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；②分

模擬練習(xí)T0日，T1日，T2日，T3日，求出對(duì)應(yīng)的4日內(nèi)的試制日數(shù)，試制的合格產(chǎn)品數(shù)，比較

即得應(yīng)安排小騰先進(jìn)行的模擬練習(xí)日數(shù)．

【詳解】（1）解：由曲線C1看出，當(dāng)整數(shù)x的值為6時(shí)，y的值首次超過(guò)35

故答案為：6

（2）解：∵T3日的模擬練習(xí)時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的

個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，在試制階段的第3日單日制成的合格品43個(gè)，第5日單日制成的合格品48個(gè)

∴相差48435（個(gè)），

把5分成兩個(gè)接近的數(shù)，532，

∴第4日增加3個(gè)，第5日增加2個(gè)，

∴m43346，

畫(huà)出T3時(shí)的曲線C3：

（3）解：①單日制成不少于45個(gè)合格品的只有C2與C3，

C3：T3日的模擬練習(xí)，然后試制階段第x4日制成的合格品達(dá)到y(tǒng)46個(gè)，

∴Tx7；

C2：T2日的模擬練習(xí)，然后試制階段第x6日制成的合格品達(dá)到y(tǒng)45個(gè)，

∴Tx8，

∵78，

故小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；

故答案為：7；

②當(dāng)模擬練習(xí)T0日時(shí)，

4日內(nèi)的試制時(shí)間x404日，

4日的合格產(chǎn)品分別是7，8，10，12，

∴合格產(chǎn)品共有78101237；

當(dāng)模擬練習(xí)T1日時(shí)，

4日內(nèi)的試制時(shí)間x413日，

3日的合格產(chǎn)品分別是12，19，26，

∴合格產(chǎn)品共有12192657；

當(dāng)模擬練習(xí)T2日時(shí)，

4日內(nèi)的試制時(shí)間x422日，

2日的合格產(chǎn)品分別是20，30，

∴合格產(chǎn)品共有203050；

當(dāng)模擬練習(xí)T3日時(shí)，

4日內(nèi)的試制時(shí)間x431日，

1日的合格產(chǎn)品是26；

∵26375057，

∴希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排

小騰先進(jìn)行1日的模擬練習(xí)．

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了表格法與圖象法表示函數(shù)．熟練掌握函數(shù)表示的表格法與圖象法，根據(jù)表格信息畫(huà)函

數(shù)圖象，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的增減性質(zhì)，求函數(shù)值或自變量的值，是解題的關(guān)鍵．

26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax2bxca0經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)A3,3a．

(1)求c的值，并用含a的式子表示b；

(2)過(guò)點(diǎn)Pt,0作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線yax于點(diǎn)N．

①若a1，t4，求MN的長(zhǎng)；

②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B2a,0的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)隨OP的長(zhǎng)的增大而增大，求a的取值范圍．

【答案】(1)0，b2a

3

(2)①4；②a且a0

4

【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、其他問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)綜

合應(yīng)用等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題．

（1）分別將O0,0，O0,0代入拋物線解析式，即可獲得答案；

（2）①結(jié)合題意，分別確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可獲得答案；②首先確定MNat23at，再分a0和a0

兩種情況分析求解即可．

【詳解】（1）解：將點(diǎn)O0,0代入，拋物線yax2bxc，

可得c0，

∴該拋物線解析式為yax2bx，

將點(diǎn)A3,3a代入，拋物線yax2bx，

可得3a9a3b，解得b2a；

（2）①若a1，則該拋物線及直線解析分別為yx22x，yx，

當(dāng)t4時(shí)，可有點(diǎn)P4,0，

如下圖，

∵PMx軸，

∴xMxN4，

將x4代入yx22x，可得y42248，即M4,8，

將x4代入yx，可得y4，即N4,4，

∴MN844；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B2a,0的過(guò)程中，

∵PMx軸，Pt,0，

∴xMxNt，

將xt代入yax22ax，可得yat22at，即Mt,at22at，

將xt代入yax，可得yat，即Nt,at，

∴MNat22atatat23at，

令MN0，即at23at0，解得t0或t3，

若a0，可有2a0，即點(diǎn)B在y軸右側(cè)，如下圖，

3

當(dāng)0t3時(shí)，可有MNat23at