答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)安徽省合肥市肥東縣2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．若雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．已知兩個(gè)單位向量滿足，則（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知是等比數(shù)列的公比，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在中，，，以為直徑的半圓弧和的外接圓的部分弧圍成一個(gè)月牙形區(qū)域（如圖陰影部分），則該月牙形區(qū)域的面積為（

）

A． B． C． D．8．已知是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2二、多選題9．一組樣本數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)為3 B．極差為4 C．平均數(shù)為4 D．標(biāo)準(zhǔn)差為210．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則下列命題正確的有（

）A．若與不垂直，則也不垂直B．若，且，則C．若，則或D．若，，則11．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為3B．若，則線段的中點(diǎn)到軸的最小距離為2C．若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的最大值為8D．若直線過點(diǎn)，則，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為定值三、填空題12．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）13．已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，也有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．14．已知且，若，則．四、解答題15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.16．隨著科技的發(fā)展，AI技術(shù)已經(jīng)深度介入普通人的生活，正在改變著人們的生活和工作．為了調(diào)查AI技術(shù)在普通人中的使用情況，一調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查的市民中分別抽取男，女各100人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常借助AI技術(shù)不經(jīng)常借助AI技術(shù)合計(jì)男女50合計(jì)120(1)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析是否經(jīng)常借助AI技術(shù)與性別有關(guān)聯(lián)；(2)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從表中不經(jīng)常借助AI技術(shù)的人中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記3人中男性人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．0.0500.0100.0053.8416.6357.87917．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，是E上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過F的直線交于兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值．18．如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，為在平面上的射影，且．(1)求證：；(2)若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上．（i）求平面截球的表面所得圓的周長(zhǎng)；（ii）求直線與平面所成角的正弦值．19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的值域；(3)若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)根，證明：．《安徽省合肥市肥東縣2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案DCBCDABAACBC題號(hào)11答案BCD1．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】，則，所以．故選：D．2．C【分析】法1：先求出集合，再和集合求交集即可；法2：可把集合中的元素代入集合中的不等式中進(jìn)行驗(yàn)證符合的元素即可求出交集.【詳解】法1：由，得或，所以，所以．故選：C．法2：將代入，只有符合，所以．故選：C．3．B【分析】根據(jù)給定的離心率求出，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，因?yàn)椋?而雙曲線的漸近線方程為，所以的漸近線方程為，即.故選：B.4．C【分析】由通過平方得到，再通過平方即可求解.【詳解】由，得，所以，所以．故選：C．5．D【詳解】充分性：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，或者，，故充分性不成立；必要性：等比數(shù)列中，，若，則等比數(shù)列單調(diào)遞減，故必要性不成立.綜上，“數(shù)列是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件故選D.6．A【分析】設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點(diǎn)問題求解.【詳解】設(shè)，依題意，直線與圓有公共點(diǎn)，而圓的圓心為，半徑為，則，解得，所以的取值范圍為.故選：A7．B【分析】由正弦定理求出外接圓的半徑，由余弦定理求出弧所對(duì)的圓心角，再求出弓形部分的面積，則月牙形區(qū)域的面積即半圓面積與弓形面積的差.【詳解】由已知可得圖中半圓半徑為，所以半圓面積為，如圖，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，連接，，由正弦定理，，所以，即．由余弦定理，，又，所以，從而，則弓形的面積為，所以月牙形區(qū)域的面積為．故選：B．

8．A【分析】本題考查奇偶性和周期性的應(yīng)用，根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)及為奇函數(shù)可求得為周期是4的函數(shù)，再對(duì)x進(jìn)行賦值求出，根據(jù)周期性即可求和得到答案．【詳解】令，由為奇函數(shù)，得，又為偶函數(shù)，∴，∴，用替換，則，∴，即4為的周期．根據(jù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，且，∴，，又的周期為4，∴，，∴．∵余，∴．故選：A．9．AC【分析】利用眾數(shù)，極差，平均數(shù)的定義，方差公式計(jì)算即可求解【詳解】這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故A正確；極差為，故B錯(cuò)誤；平均數(shù)為，故C正確；由方差公式，所以，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．BC【分析】舉反例可判斷A，利用線面平行的判定與性質(zhì)判斷B，由線面平行的判定判斷C，根據(jù)題意列舉其他情況判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，如圖，取分別為直線,平面，分別為，因直線與平面不垂直，,但，知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則該直線平行于這兩個(gè)平面的交線，即由，，且，可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，若，又，則；同理可得若，又，則．若，都不成立，則，且，所以．又，所以與是同一條直線，這與題設(shè)矛盾．故，中至少有一個(gè)成立，故，中至少有一個(gè)成立，故C正確；對(duì)于D，由，，可得或，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．BCD【分析】利用拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得出，從而得出拋物線方程，準(zhǔn)線方程，設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合拋物線方程構(gòu)建關(guān)于的不等式，求出最小值，判斷選項(xiàng)A；根據(jù)拋物線定義，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，結(jié)合圖像判斷選項(xiàng)B和C；設(shè)過點(diǎn)的的方程為，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理得出，結(jié)合拋物線方程得出，計(jì)算的值，判斷選項(xiàng)D.【詳解】已知，即，所以，故的方程為，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；如下圖，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則的中點(diǎn)到軸的距離，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；如上圖，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，且拋物線準(zhǔn)線為，則，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；若過點(diǎn)，設(shè)其方程為，代入的方程并整理，得，設(shè)，，則，所以，所以，故D正確．故選：BCD．12．28【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：2813．【分析】先把函數(shù)化成的形式，再利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解.【詳解】，由，則.結(jié)合的圖象（如圖），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，并以為周期.故當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故該函數(shù)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，有最大值.當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，沒有最大值.當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，有最大值.綜上，當(dāng)或時(shí)，該函數(shù)有最大值也有最小值.故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：14．【分析】先設(shè)，對(duì)原方程進(jìn)行同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求的值，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】由題設(shè)，令，則，若，則，所以不成立，所以，由，得，且．由，得，所以，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．故答案為：15．（1）an=3n-1；（2）Tn=.【分析】（1）由求得數(shù)列是等比數(shù)列，從而易得其通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由，①得（n≥2），②①－②，得，∴，又，∴a1=1，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）由（1）得，bn=，∴Tn=，Tn=，兩式相減，得Tn=，∴Tn=.16．(1)表格見解析，有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，【分析】（1）結(jié)合列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣求出不經(jīng)常借助AI技術(shù)的人中男性的人數(shù)和女性的人數(shù)，利用超幾何分布求出分布列和期望.【詳解】（1）解：列聯(lián)表為：性別經(jīng)常借助AI技術(shù)不經(jīng)常借助AI技術(shù)合計(jì)男7030100女5050100合計(jì)12080200零假設(shè)為：是否經(jīng)常借助AI技術(shù)與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即是否經(jīng)常借助AI技術(shù)與性別有關(guān)聯(lián)，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005．（2）解：采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，男性抽取人數(shù)為，女性抽取人數(shù)為，所以隨機(jī)變量的可能取值為，，，，．所以的分布列為：0123所以．．17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出即可.（2）由（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形面積求出函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出最大值.【詳解】（1）因?yàn)槭荅上一點(diǎn)，代入橢圓方程解得，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）得半焦距，點(diǎn)，顯然的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，由消去，得，顯然，則，，所以，則的面積，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值4，則當(dāng)時(shí)，取得最小值4，，所以的面積的最大值為.

18．(1)證明見解析(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）利用線面垂直的判定定理求證平面即可；（2）以為原點(diǎn)建系，求出平面的一個(gè)法向量，的外心為線段的中點(diǎn)，根據(jù)平面即可知球心在上，設(shè)，根據(jù)球的定義即可求出點(diǎn)坐標(biāo)或直接設(shè)根據(jù)球的定義求出點(diǎn)坐標(biāo)；（i）根據(jù)公式求出點(diǎn)到平面的距離為，再根據(jù)求出截面圓的半徑即可；（ii）計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知平面，又平面，所以，又，平面，則平面，又平面，所以．（2）由（1）得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以，法1：因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切危缘耐庑臑榫€段的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，故，故平面，所以在上，于是設(shè)，由，得，解得，所以，所以，球的半徑．法2：設(shè)，由，得，解得，，即，所以，球的半徑．（i）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以截面圓的半徑，故截面圓的周長(zhǎng)為．（ii），則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再代入得出切線斜率，最后點(diǎn)斜式得出切線方程；（2）法1：先根據(jù)函數(shù)的周期取上的值域解題，結(jié)合三倍角余弦化簡(jiǎn)，再求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合周期及特殊值即可得出值域；法2：先根據(jù)函數(shù)的周期取上的值域解題，結(jié)合三倍角余弦化簡(jiǎn)，再求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合周期及特殊值即可得出值域；（3）由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)及輔助角公式化簡(jiǎn)證明即可.【詳解】（1），所以，又，故所求切線方程為，即；（2）法1：為以為周期的函數(shù)，所以在上的值域即為在定義域上的值域．由（1）知，，．①當(dāng)時(shí)，，，，所以；②當(dāng)時(shí)，，，，所以；③當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以在上的值域?yàn)椋驗(yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，所以在上