第第頁河北省石家莊市長安區(qū)一民初級中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)）C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．將一個(gè)正方體沿正面相鄰兩條棱的中點(diǎn)連線截去一個(gè)三棱柱，得到一個(gè)如圖所示的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小15 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可變形為（）A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝25．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則sin∠AOB的值為（）A．12 B．22 C．1 6．在銳角△ABC中，若（sinA﹣32）2+|12﹣cosB|＝0，則∠A．60° B．45° C．75° D．105°7．在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．238．?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，添加以下條件，不能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD9．已知反比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），若xA．y＞3 B．y＜3 C．y＞3或y＜0 D．0＜y＜310．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AC相交于點(diǎn)F，圖中相似的三角形有（）對.A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（每空3分，共18分）11．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是．12．?dāng)r水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：3，壩高BC=8m，則坡面AB的長度是13．若△ABC∽△DEF，它們的面積比為9：4，則對應(yīng)高的比為．14．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計(jì)算tan45°時(shí)，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB，使BD＝AB，連接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝ACCD=115．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（0，2），（﹣1，0），將三角形ACO沿著AC折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)D處，求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)表達(dá)式．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE：BF＝2：1，連接AF和DE交于點(diǎn)G，連接CG，則CG的最小值是．三、解答題（共72分）17．計(jì)算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）2sin18．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2+2x﹣3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．19．如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）20．西安是一座歷史悠久、文化瑰寶的城市，承載著豐富的歷史遺產(chǎn)和人文景觀，獨(dú)特的文化傳統(tǒng)，吸引著無數(shù)游客前來探索．某天甲、乙兩人來西安旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽．（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率．21．如圖，已知，AD是△ABC的中線，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求證：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，試求AC和AD的長．22．樓觀臺(tái)顯靈山的老子銅像（圖1）栩栩如生，童顏鶴發(fā)，參悟天地的手勢寓意著天地和諧，萬物歸一，與莊嚴(yán)肅穆的說經(jīng)臺(tái)遙相對應(yīng)，象征著老子的和諧哲學(xué)思想源遠(yuǎn)流長．如圖2，小穎想利用無人機(jī)測量老子銅像BC的高度，無人機(jī)在點(diǎn)A處測得銅像頂部點(diǎn)B的俯角∠BAD為45°，銅像底部點(diǎn)C的俯角∠DAC為76°，此時(shí)無人機(jī)與銅像的水平距離AD為8m，點(diǎn)D、B、C在一條直線上，求老子銅像BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan76°≈4.0）23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝kx的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，1）和（m（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P為y軸正半軸上一點(diǎn)，若S△POC＝2S△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)E，使得以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．24．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為一邊作四邊形EFMN，使點(diǎn)N落在CD邊上，點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)或其邊上，若AF＝x，△BFM的面積為S．（1）當(dāng)AE＝2，四邊形EFMN是正方形時(shí)，求x的值為；（2）當(dāng)AE＝2，四邊形EFMN是菱形時(shí)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)四邊形EFMN是矩形時(shí)且矩形的兩鄰邊EF：EN＝2：1，請直接寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式；并指出S的最大值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A．3x?1=0不是一元二次方程，不符合題意；B．a(chǎn)x2+bx+c=0C．x2D．3x故答案為：C．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)分析判斷即可求解．2．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)左視圖的定義，從左邊觀察得到的圖形，是選項(xiàng)C．故答案為：C．【分析】根據(jù)從左邊觀察得到的圖形是左視圖得到正確答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A故答案為：A．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義其相應(yīng)邊長的比值不變，因此銳角A的正切函數(shù)值也不會(huì)改變．4．【答案】B【解析】【解答】解：x2∴x2即：(x?3故答案為：A．【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．5．【答案】B【解析】【解答】如圖，連接AC，∵AC=OC=12+32=10∴∠AOB=45°∴sin∠AOB=故答案為：B．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理及其逆定理證明△AOC是等腰直角三角形，∠AOB=45°6．【答案】A【解析】【解答】解：∵(sin∴sinA?32∴∠A=60°，∠B∴∠C=180°?∠A?∠B=60°，故答案為：A；【分析】依題意sinA?32=0，127．【答案】B【解析】【解答】解：隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個(gè)，即：S1+S2∴共3種情況根據(jù)題意，得能讓燈泡L1發(fā)光的組合為：S∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率是13故答案為：B.【分析】列舉出所有可能出現(xiàn)的情況數(shù)，然后找出能讓燈泡L1發(fā)光的組合數(shù)，接下來利用概率公式進(jìn)行計(jì)算.8．【答案】A【解析】【解答】解：A．AC=BD，對角線相等，能判斷平行四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是菱形，符合題意B．AC⊥C．∠ACD=∠ACB，對角線平分一組對角，能判斷平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；D．BC=CD，一組鄰邊相等，能判斷平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；

故答案為：A．【分析】根據(jù)平行四邊形的條件加上對角線互相垂直，或者一組鄰邊相等，或者對角線平分一組對角即可得到四邊形為菱形，即可求解．9．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意得k=-6，反比例函數(shù)解析式為y=-6∴當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，?6y∴y＞3又∵反比例函數(shù)解析式為y=-6x∴當(dāng)x＞0時(shí)，y＜0∴函數(shù)值y的取值范圍為y>3或y<0．故答案為：C．【分析】先確定反比例函數(shù)解析式為y=-6x10．【答案】C【解析】【解答】解：圖中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACD，故答案為：C.【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再證出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，證出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD.11．【答案】x=1【解析】【解答】解：設(shè)該方程的另一個(gè)根為x12x∴x1故答案為x=1．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得2a=2，即可求解．12．【答案】16【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，壩高∴BCAC解得：AC=83則AB=B故答案為：16．

【分析】根據(jù)坡度比可得BCAC13．【答案】3：2【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF∴對應(yīng)高的比是94=3故答案為：3：【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，即可求解．14．【答案】2【解析】【解答】解：如圖所示，作Rt△ABC，∠C=90°，∠ABC=45°，延長CB到點(diǎn)D，使BD=AB則∠BAD=設(shè)AC=BC=x，∴AB=x∴BD=2∴CD=BC+BD=x+2∴tan22故答案為：2?1【分析】仿照例題，可得∠D=22.5°，設(shè)AC=BC=x，解直角三角形求出BD=215．【答案】?【解析】【解答】解：如圖所示，設(shè)OD交AC于G，過D作DH⊥x軸于H，如圖：∵A(0，2)，∴AC=OA2∵折疊∴OG=DG，OD⊥AC，∴S∴DG=OG=OA?OC∴OD=4∵∠DOH=90°?∠AOG=∠CAO∴tan∴OH=2DH，在Rt△DOH中，∵即4DH解得DH=4∴OH=8∴H(?8設(shè)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)為y=kx，則故答案為：?32【分析】設(shè)OD交AC于G，過D作DH⊥x軸于H，勾股定理得出AC=5，tan∠CAO=12，根據(jù)等面積法求得OG，進(jìn)而根據(jù)tan∠DOH=tan∠CAO=16．【答案】32﹣3【解析】【解答】解：∵AB＝3，AD＝6，∴AB：AD＝1：2，∴AEBF又∵∠B＝∠BAD＝90°，∴△ABF∽△DAE，∴∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AGD＝90°，∴點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OC，交⊙O于G'，∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，∴AO＝OD＝3，∴OC=O∴CG'＝32﹣3，∴CG的最小值為32﹣3，故答案為：32﹣3．

【分析】△ABF∽△DAE，可得∠BAF=∠ADE，可證∠AGD=90°，則點(diǎn)G17．【答案】（1）解：原式＝2×=＝12（2）解：原式＝2×=1?＝2．【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)及二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．18．【答案】（1）解：x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）解：2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝4+8＝12＞0，x=2±所以x1＝12+32，x【解析】【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；

（2）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．19．【答案】解：如圖，∠PBC即為所求．【解析】【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角，作∠PBC＝∠C=45°，交AC于一點(diǎn)P即可．20．【答案】（1）1（2）解：由題意，畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的結(jié)果有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率為59【解析】【解答】（1）解：∵共有3個(gè)景點(diǎn)選擇，且每個(gè)景點(diǎn)被選擇的可能性相等，∴隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)，選擇A景點(diǎn)的概率為13故答案為：13【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）畫樹狀圖法列舉出所有可能，再利用概率公式可得出答案．21．【答案】（1）證明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD．（2）解：∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC即AC10∴AC=52∵△ACE∽△BAD，∴ACAB即52∴AD＝152【解析】【分析】（1）由CD=CE得到∠CED=∠EDC，進(jìn)而可得∠AEC=∠ADB，由已知∠DAC=∠B，即可證明△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC=∠B及公共角相等證明△ACD∽△BCA，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求得AC，再由（1）的結(jié)論△ACE∽△BAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求得AD，即可求解．22．【答案】解：由題意得：CD⊥AD，在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，AD＝8m，∴BD＝AD?tan45°＝8（m），在Rt△ADC中，∠DAC＝76°，∴DC＝AD?tan76°≈8×4＝32（m），∴BC＝CD﹣BD＝32﹣8＝24（m），∴老子銅像BC的高度約為24m．【解析】【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義求得BD=8，在Rt△23．【答案】（1）解：把點(diǎn)A（4，1）代入y=k∴k＝4×1＝4，即反比例函數(shù)的解析式為y＝4x（2）解：在y＝x﹣3中，令y＝0，則x＝3，∴C（3，0），∴OC＝3，設(shè)P（0，a），∵S△POC＝2S△AOC，∴12∴a＝2，∴P（0，2）；（3）解：設(shè)E（c，d），把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，∴x＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∵A（4，1），P（0，2），以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴c=4?1d+2=?4+1或c+4=?11+d=?4+2或∴c=3d=?5或c=?5d=?3或∴E（3，﹣5）或（﹣5，﹣3）或（﹣5，7）．【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A（4，1）代入y=k（2）先求得C(3，0)（3）設(shè)E(c，d)，把(m，24．【答案】（1）3（2）解：如圖2，連接FN，作MQ⊥FB于Q，則∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，∵四邊形FEMN是菱形，∴EN＝FM，EN∥FM