專題1.4充分條件與必要條件（舉一反三講義） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 2【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】 3【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】 4【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】 4【題型6根據(jù)充要條件求參數(shù)】 5【題型7充要條件的證明】 5【題型8充分、必要條件與集合交匯】 6知識點1命題1．命題及相關(guān)概念(1)定義：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.(2)命題的分類①真命題：判斷為真的語句；②假命題：判斷為假的語句.(3)命題的形式：“若p，則q”.其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.【注】數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不一定都是定理，因為命題有真假之分，而定理是真命題.【題型1命題的概念】【例1】（2425高一上·甘肅酒泉·期中）下列語句是命題的是（

）A．3是偶數(shù)嗎? B．三角形的內(nèi)角和等于180°C．這里的景色山真美啊! D．x>2【變式11】（2425高一上·廣西河池·階段練習(xí)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）（1）數(shù)學(xué)真有趣（2）0是自然數(shù)（3）a（4）x>3（5）素數(shù)都是奇數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【變式12】（2425高一上·江蘇·課后作業(yè)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）．（1）這道數(shù)學(xué)題有趣嗎？（2）0不可能不是自然數(shù)；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【變式13】（2025高一·全國·課后作業(yè)）下列語句中：①?1<2；②x>1；③x2?1=0有一個根為0；④高二年級的學(xué)生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質(zhì)數(shù)嗎？其中是命題的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【題型2判斷命題的真假】【例2】（2025·山東·二模）下列命題是真命題的是（

）A．5>2且7>8 B．3>4或3<4C．9≤7 D．方程x2【變式21】（2425高一上·陜西延安·階段練習(xí)）已知p:2+2=5,q:3≥2，則下列判斷中，正確的是（

）A．p為真，q為假 B．p為假，q為真C．p為真，q為真 D．p為假，q為假【變式22】（2425高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于命題p：全等三角形的周長相等，命題q：周長相等的三角形全等，下列說法中正確的是（

）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題【變式23】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列命題中正確的個數(shù)有（

）．①如果a=b≠0，那么1a=1b；②如果a=b，n≥1③a2=b2，則a=b；④若A．1個 B．2個C．3個 D．4個知識點2充分、必要與充要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.4．充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.5．充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上，解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例3】（2425高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)x∈R，則“x>3”是“|x?1|>2”的（

）A．充分不必要條件 B．充要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】（2425高一上·福建福州·期中）p:a+b>0，q:a>0且b>0，則p是q的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要【變式32】（2425高一上·廣東揭陽·階段練習(xí)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式33】（2425高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）若a,b∈R，則“a2+b2≤18A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例4】（2425高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知p:x2?4x<0，則p成立的一個充分不必要條件是（

）A．?2<x<0 B．0<x<2 C．0<x<4 D．1<x≤4【變式41】（2425高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（A．m<12 B．m≤14 C．【變式42】（2425高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）若x,y∈R，則“x>yA．x>y B．x2>y2【變式43】（2425高一上·江西·階段練習(xí)）對于實數(shù)x，規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[π]=3，[?2.1]=?3，那么方程[x]2A．x∈[0,2] B．x∈[?1,1] C．x∈(?1,1) D．x∈(0,2)【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】【例5】（2425高一上·江蘇泰州·期中）已知p：?2≤x≤5，q:2?2m≤x≤2+mm>0，若p的充分不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．m≤3 B．0<m≤3C．m≥2 D．0<m≤2【變式51】（2425高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【變式52】（2425高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m?1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．? D．m|2<m≤3【變式53】（2425高一上·江西贛州·階段練習(xí)）命題p：?3≤x≤1，q：x≤a.若q的一個充分不必要條件是p，則a的取值范圍是（

）A．(?3,+∞) C．(1,+∞) 【題型6根據(jù)充要條件求參數(shù)】【例6】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）集合A=?1,1,3,5，集合B=a,1,3,5，若“x∈A”是“x∈B”的充要條件，則a=（

A．0 B．?1 C．3 D．5【變式61】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若命題p：“2x>6?a”是命題q：“x∈R”的充要條件，則（

A．a(chǎn)<6 B．a(chǎn)>6 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)>0【變式62】（2324高一上·貴州黔西·期末）關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是（A．a(chǎn)>2或a<?2 B．a(chǎn)≥2或a≤?2C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)>2【變式63】（2425高一下·湖南·期末）已知集合M=1,2,3,N=x∈Z∣x?2≤a，若x∈M是x∈NA．4 B．3 C．2 D．1【題型7充要條件的證明】【例7】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a3+【變式71】（2425高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知ab≠0，求證：a3?2a2【變式72】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）證明：“△ABC中兩邊上的高相等”是“△ABC為等腰三角形”的充要條件．【變式73】（2425高一上·全國·課堂例題）證明：ac<0是一元二次方程ax2【題型8充分、必要條件與集合交匯】【例8】（2425高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣?2≤x?1≤5，集合B=x∣m+1≤x≤2m?1(1)若m=3，求?R(2)設(shè)命題p:x∈A；命題q:x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【變式81】（2425高一上·四川自貢·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x?1≤5，集合(1)若m=4，求?R(2)若集合A成立的充分不必要條件是集合B，求實數(shù)m的取值范