2025年高三數(shù)學(xué)高考分類討論思想應(yīng)用模擬試題一、分類討論思想的應(yīng)用場景分類討論思想是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要策略，其核心在于將問題分解為若干子問題，通過逐一求解實現(xiàn)整體突破。在高考數(shù)學(xué)中，分類討論的應(yīng)用主要集中在以下場景：（一）概念定義引發(fā)的分類函數(shù)定義域與單調(diào)性對數(shù)函數(shù)$y=\log_ax$需對底數(shù)$a$分$a>1$和$0<a<1$討論單調(diào)性；含絕對值函數(shù)$y=|f(x)|$需按$f(x)\geq0$和$f(x)<0$去絕對值符號。直線與圓錐曲線位置關(guān)系直線方程$y=kx+b$中斜率$k$存在與否需分類，涉及直線與拋物線相切時需考慮判別式$\Delta=0$的不同情況。（二）運(yùn)算規(guī)則引發(fā)的分類不等式求解解含參數(shù)不等式$ax^2+bx+c>0$時，需按$a=0$（一次不等式）、$a>0$（開口向上）、$a<0$（開口向下）分類，再結(jié)合判別式和根的大小關(guān)系細(xì)分。等比數(shù)列求和等比數(shù)列前$n$項和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$僅適用于$q\neq1$，當(dāng)$q=1$時需用$S_n=na_1$。（三）圖形位置引發(fā)的分類立體幾何中點線面關(guān)系討論三棱錐體積時，需根據(jù)頂點在底面的射影位置（內(nèi)部、外部、邊界）確定高的計算方式。解析幾何中曲線類型方程$x^2+ky^2=1$需按$k>0$（橢圓）、$k<0$（雙曲線）、$k=0$（兩條直線）分類討論曲線類型。二、典型例題及解析題型一：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的分類討論例1已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$），討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性。解析函數(shù)定義域為$\mathbb{R}$，求導(dǎo)得$f'(x)=e^x-a$。當(dāng)$a\leq0$時：$f'(x)=e^x-a>0$恒成立，故$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。當(dāng)$a>0$時：令$f'(x)=0$得$x=\lna$。$x\in(-\infty,\lna)$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；$x\in(\lna,+\infty)$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增?？偨Y(jié)：分類依據(jù)為導(dǎo)函數(shù)零點是否存在，關(guān)鍵在于參數(shù)$a$與$0$的大小比較。題型二：數(shù)列中的分類討論例2已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=3^n+k$（$k$為常數(shù)），若${a_n}$是等比數(shù)列，求$k$的值及通項公式。解析當(dāng)$n=1$時：$a_1=S_1=3+k$。當(dāng)$n\geq2$時：$a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2\cdot3^{n-1}$。若${a_n}$為等比數(shù)列，則需滿足$a_1$符合$n\geq2$時的通項公式，即$3+k=2\cdot3^{0}\Rightarrowk=-1$。此時$a_n=2\cdot3^{n-1}$（$n\in\mathbb{N}^*$），公比$q=3$。易錯點：忽略對$n=1$的單獨討論，直接用$S_n-S_{n-1}$求通項導(dǎo)致漏解。題型三：立體幾何中的分類討論例3在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在棱$CC_1$上移動，求三棱錐$P-ABD$體積的取值范圍。解析設(shè)$CP=x$（$0\leqx\leq2$），則$PC_1=2-x$。當(dāng)$P$與$C$重合（$x=0$）：$V_{P-ABD}=\frac{1}{3}S_{\triangleABD}\cdotCP=0$。當(dāng)$0<x<2$時：$V=\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\times2\times2\right)\timesx=\frac{2}{3}x$，隨$x$增大而增大。當(dāng)$P$與$C_1$重合（$x=2$）：$V=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3}$。結(jié)論：體積取值范圍為$[0,\frac{4}{3}]$，分類依據(jù)為動點$P$的位置變化。題型四：解析幾何中的分類討論例4已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過右焦點$F$的直線$l$交橢圓于$A,B$兩點，求$\triangleAOB$面積的最大值（$O$為原點）。解析由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b=\frac{a}{2}$，設(shè)橢圓方程為$x^2+4y^2=a^2$，$F(\frac{\sqrt{3}}{2}a,0)$。分類討論直線$l$斜率：斜率不存在時：$l:x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入橢圓得$y=\pm\frac{a}{4}$，$S=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a\times\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$。斜率存在時：設(shè)$l:y=k(x-\frac{\sqrt{3}}{2}a)$，聯(lián)立橢圓方程得：$(1+4k^2)x^2-4\sqrt{3}ak^2x+3a^2k^2-a^2=0$由韋達(dá)定理得$x_1+x_2=\frac{4\sqrt{3}ak^2}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{3a^2k^2-a^2}{1+4k^2}$弦長$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\frac{2a(1+k^2)}{1+4k^2}$原點到直線距離$d=\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}ak|}{\sqrt{1+k^2}}$$S=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot\frac{\sqrt{k^2(1+k^2)}}{1+4k^2}$令$t=1+4k^2\geq1$，則$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{8}\sqrt{\frac{(t-1)(t+3)}{t^2}}\leq\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$（當(dāng)$t=3$時取等）比較兩類情況：$\frac{\sqrt{3}a^2}{4}>\frac{\sqrt{3}a^2}{8}$，故最大值為$\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。三、綜合應(yīng)用題例5已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）當(dāng)$a=-1$時，求曲線$y=f(x)$在$(2,f(2))$處的切線方程；（2）當(dāng)$a\leq\frac{1}{2}$時，討論$f(x)$的單調(diào)性。解析（1）當(dāng)$a=-1$時，$f(x)=\lnx+x+\frac{2}{x}-1$，$f'(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}$$f(2)=\ln2+2+1-1=\ln2+2$，$f'(2)=\frac{1}{2}+1-\frac{2}{4}=1$切線方程為$y-(\ln2+2)=x-2$，即$y=x+\ln2$。（2）$f'(x)=\frac{-ax^2+x+a-1}{x^2}=-\frac{(x-1)(ax+a-1)}{x^2}$分類討論參數(shù)$a$：$a=0$時：$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$，在$(0,1)$遞減，$(1,+\infty)$遞增。$a>0$時：令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{1-a}{a}$由$a\leq\frac{1}{2}$得$\frac{1-a}{a}\geq1$當(dāng)$\frac{1-a}{a}=1$（即$a=\frac{1}{2}$）：$f'(x)=-\frac{(x-1)^2}{2x^2}\leq0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$遞減。當(dāng)$\frac{1-a}{a}>1$（即$0<a<\frac{1}{2}$）：在$(0,1)$遞減，$(1,\frac{1-a}{a})$遞增，$(\frac{1-a}{a},+\infty)$遞減。$a<0$時：$\frac{1-a}{a}<0$，$f'(x)$在$(0,1)$遞減，$(1,+\infty)$遞增。結(jié)論：當(dāng)$a\leq0$或$a=\frac{1}{2}$時，函數(shù)單調(diào)性為“減-增”或單調(diào)遞減；當(dāng)$0<a<\frac{1}{2}$時，函數(shù)呈現(xiàn)“減-增-減”三階段單調(diào)性。四、分類討論思想的解題策略明確分類對象：確定參數(shù)或變量的取值范圍，如例4中直線斜率是否存在。制定分類標(biāo)準(zhǔn)：按“不重不漏”原則劃分區(qū)間，如解不等式時按參數(shù)符號和根的大小分層。逐類求解驗證：每類問題需獨立求解，