2025年高三數(shù)學(xué)高考函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用模擬試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}}+x^3$，則$f(\ln2)+f\left(\ln\frac{1}{2}\right)=$（）A.$-\frac{7}{8}$B.0C.$\frac{7}{8}$D.$\frac{15}{8}$設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，且滿足$f(x+2)=-f(x)$，當(dāng)$x\in[0,1]$時，$f(x)=x^2$，則$f(2025.5)=$（）A.$-0.25$B.$0.25$C.$-0.75$D.$0.75$已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1),&x\geq0\-x^2+ax,&x<0\end{cases}$為奇函數(shù)，則不等式$f(x)>\frac{1}{2}$的解集為（）A.$(\sqrt{2}-1,+\infty)$B.$(-1,\sqrt{2}-1)$C.$(-1,0)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3|x|$的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1]$B.$[-1,0]$C.$[0,1]$D.$[1,+\infty)$已知函數(shù)$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}+2$，則下列說法正確的是（）A.$f(x)$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.$f(x)$的值域?yàn)?(1,3)$C.$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增D.$f(x)$的圖象關(guān)于直線$y=2$對稱設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足$f(1+x)=f(1-x)$，當(dāng)$x\geq1$時，$f(x)=\lnx$，則不等式$f(x)<f(2x-1)$的解集為（）A.$\left(\frac{1}{3},1\right)$B.$(-\infty,\frac{1}{3})\cup(1,+\infty)$C.$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$D.$\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(1,+\infty)$已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$的圖象關(guān)于直線$x=2$對稱，且$f'(1)=0$，則下列說法正確的是（）A.$a=-6$，$b=9$B.$f(x)$在$x=2$處取得極小值C.$f(x)$的極大值為$f(1)$D.方程$f(x)=0$最多有3個實(shí)根定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=2f(x)$，且當(dāng)$x\in[0,1)$時，$f(x)=x(1-x)$，則函數(shù)$g(x)=f(x)-\frac{1}{4}$在區(qū)間$[0,3]$上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$的最小正周期為$\pi$B.$f(x)$的圖象關(guān)于點(diǎn)$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$對稱C.將$f(x)$的圖象向左平移$\frac{\pi}{12}$個單位長度得到奇函數(shù)D.$f(x)$在$\left[\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]$上單調(diào)遞減設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，且$f(x+2)$為偶函數(shù)，$f(x-1)$為奇函數(shù)，則（）A.$f(0)=0$B.$f(x)$的周期為4C.$f(x)$的圖象關(guān)于直線$x=1$對稱D.$f(3)=f(-1)$已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2$有兩個極值點(diǎn)$x_1,x_2(x_1<x_2)$，則（）A.$a>\frac{e}{2}$B.$x_1+x_2<2$C.$f(x_1)<1$D.$f(x_2)>\frac{e}{2}$定義“函數(shù)$f(x)$是$\mathbb{R}$上的$k$級類周期函數(shù)”如下：存在非零常數(shù)$k,T$，使得對任意$x\in\mathbb{R}$恒有$f(x+T)=kf(x)$，則下列說法正確的是（）A.若$f(x)=2^x$，則$f(x)$是1級類周期函數(shù)B.若$f(x)$是3級類周期函數(shù)，且$T=2$，則$f(x+6)=27f(x)$C.若$f(x)$是$k$級類周期函數(shù)，且$f(x)$是奇函數(shù)，則$k=-1$D.若$f(x)$是2級類周期函數(shù)，$T=1$，且當(dāng)$x\in[0,1)$時，$f(x)=x(1-x)$，則$f(x)$在$[0,3]$上的最大值為4三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$在$[2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是________。設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足$f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x$，則$f(x)$的最小值為________。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{m}{x}$有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是________。定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(1-x)$，且當(dāng)$x\geq1$時，$f(x)=e^{x-1}-x$，則不等式$f(x)\geq0$的解集為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}$是定義在$[-1,1]$上的奇函數(shù)，且$f(1)=\frac{1}{2}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）判斷$f(x)$在$[-1,1]$上的單調(diào)性并證明。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)$的最小正周期為$\pi$。（1）求$\omega$的值及$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，求$M-m$的值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2(a\in\mathbb{R})$。（1）若$f(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減，求$a$的取值范圍；（2）若$f(x)$有兩個極值點(diǎn)$x_1,x_2$，證明：$x_1+x_2>\frac{1}{a}$。（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-2x+a$有零點(diǎn)。（1）求$a$的取值范圍；（2）設(shè)$x_0$是$f(x)$的零點(diǎn)，證明：$f(x_0+x)\geqe^x-1$。（12分）已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，且對任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，$f(0)\neq0$。（1）求$f(0)$的值；（2）判斷$f(x)$的奇偶性；（3）若存在非零常數(shù)$c$，使得$f\left(\frac{c}{2}\right)=0$，證明：$f(x)$是周期函數(shù)。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\left|x^3-3x^2+2x\right|$。（1）求$f(x)$的極值點(diǎn)；（2）設(shè)$g(x)=f(x)-m$有三個零點(diǎn)，求$m$的取值范圍；（3）證明：對任意$a,b\in[0,3]$，都有$|f(a)-f(b)|\leq4$。參考答案及解析思路一、單項選擇題D解析：設(shè)$g(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}}+x^3$，易證$g(x)$為奇函數(shù)，故$f(x)=g(x)+2$，則$f(x)+f(-x)=4$。因?yàn)?\ln\frac{1}{2}=-\ln2$，所以原式$=4-f(\ln2)+f(\ln2)=4$，計算得$\frac{15}{8}$。A解析：由$f(x+2)=-f(x)$得周期$T=4$，$f(2025.5)=f(1.5)=-f(-0.5)=-f(0.5)=-0.25$。C解析：由奇函數(shù)性質(zhì)得$a=1$，分段求解不等式得$(-1,0)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$。B解析：去絕對值后分段求導(dǎo)，當(dāng)$x<0$時$f(x)=-x^3-3x^2-3x$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-3(x+1)^2\leq0$，故單調(diào)遞減區(qū)間為$[-1,0]$。C解析：設(shè)$g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故$f(x)=g(x)+2$的值域?yàn)?(1,3)$，在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。A解析：由對稱性知$f(x)$關(guān)于$x=1$對稱，當(dāng)$x\geq1$時單調(diào)遞增，結(jié)合圖象得$\frac{1}{3}<x<1$。D解析：$f'(x)=3x^2+2ax+b$對稱軸為$x=2$，故$a=-6$，由$f'(1)=0$得$b=9$，$f(x)$在$x=1$處取極大值，$x=3$處取極小值，方程最多有3個實(shí)根。C解析：類周期函數(shù)分段表達(dá)式為：當(dāng)$x\in[0,1)$時$f(x)=x(1-x)$；$[1,2)$時$f(x)=2(x-1)(2-x)$；$[2,3)$時$f(x)=4(x-2)(3-x)$，與$y=\frac{1}{4}$交點(diǎn)共5個。二、多項選擇題ACD解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，最小正周期$\pi$，對稱中心$\left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},0\right)$，向左平移$\frac{\pi}{12}$個單位得$y=\sqrt{2}\sin2x$為奇函數(shù)，在$\left[\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]$上單調(diào)遞減。ABD解析：由$f(x+2)$偶函數(shù)得$f(2+x)=f(2-x)$，$f(x-1)$奇函數(shù)得$f(-x-1)=-f(x-1)$，推得周期$T=4$，$f(0)=0$，$f(3)=f(-1)$。ABC解析：$f'(x)=e^x-2ax=0$有兩解，設(shè)$g(x)=\frac{e^x}{x}$，$g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$，最小值$g(1)=e$，故$2a>e$即$a>\frac{e}{2}$，由極值點(diǎn)偏移得$x_1+x_2<2$，$f(x_1)=e^{x_1}-ax_1^2=\frac{e^{x_1}}{2}(2-x_1)<1$。ABD解析：$f(x)=2^x$滿足$f(x+1)=2f(x)$，是2級類周期函數(shù)；3級類周期函數(shù)且$T=2$時，$f(x+6)=3^3f(x)=27f(x)$；當(dāng)$x\in[2,3)$時$f(x)=4(x-2)(3-x)$，最大值為4。三、填空題$(-\infty,4]$解析：$f(x)=x+\frac{a}{x}+2$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}\geq0$在$[2,+\infty)$恒成立，得$a\leqx^2$，故$a\leq4$。$-2\sqrt{2}$解析：聯(lián)立方程$\begin{cases}f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}\end{cases}$解得$f(x)=\frac{2}{x}-x$，由均值不等式得最小值$-2\sqrt{2}$。$\left(0,\frac{1}{e}\right)$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}=0$得$x=m$，$f(m)=\lnm+1<0$，故$m<\frac{1}{e}$，又$m>0$。$[0,2]$解析：由對稱性知$f(x)$關(guān)于$x=1$對稱，當(dāng)$x\geq1$時$f(x)=e^{x-1}-x$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=e^{x-1}-1$，在$x=1$處取最小值0，故解集為$[0,2]$。四、解答題（核心思路提示）（1）由$f(0)=0$得$a=0$，$f(1)=\frac{1}{2}$得$b=1$，故$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$；（2）用定義法證明單調(diào)性，任取$-1\leqx_1<x_2\leq1$，作差變形得$f(x_1)-f(x_2)<0$。（1）$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right)$，$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$得$\omega=2$，增區(qū)間$\leftk\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{\pi}{8}\right$；（2）$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$時，$2x+\frac{\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$，最大值$\sqrt{2}$，最小值$-1$，$M-m=\sqrt{2}+1$。（1）$f'(x)=\lnx+1-2ax\leq0$，分離參數(shù)得$a\geq\frac{\lnx+1}{2x}$，設(shè)$h(x)=\frac{\lnx+1}{2x}$，最大值$h(1)=\frac{1}{2}$，故$a\geq