2025年空間幾何高考真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離為（）。A.1B.√3C.√6D.√11答案：C2.已知直線l：x=1，y=2+t，z=3t，則直線l與平面π：x+y+z=6的位置關(guān)系是（）。A.平行B.相交C.重合D.垂直答案：B3.設(shè)直線l1：x=1+t，y=2-t，z=3，直線l2：x=1+t，y=2+t，z=3-2t，則l1與l2的位置關(guān)系是（）。A.平行B.相交C.異面D.重合答案：C4.已知平面α：x+y+z=0和平面β：2x-y+z=1，則平面α與平面β的夾角為（）。A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B5.設(shè)點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，點(diǎn)C(3,4,5)，則向量AB與向量AC的夾角為（）。A.0°B.30°C.60°D.90°答案：C6.已知直線l：x=1+t，y=2-t，z=3t，則直線l的方向向量為（）。A.(1,2,3)B.(1,-1,3)C.(1,1,1)D.(1,0,3)答案：B7.設(shè)平面α：x+y+z=1和平面β：x-y+z=0，則平面α的法向量為（）。A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,1,-1)D.(1,-1,-1)答案：B8.已知直線l：x=1+t，y=2-t，z=3t，則直線l與平面π：x+y+z=6的交點(diǎn)為（）。A.(1,2,3)B.(2,1,3)C.(3,1,2)D.(1,3,2)答案：A9.設(shè)點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，點(diǎn)C(3,4,5)，則向量AB與向量AC的向量積為（）。A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)答案：C10.已知平面α：x+y+z=0和平面β：2x-y+z=1，則平面α與平面β的夾角的余弦值為（）。A.1/√3B.1/√2C.1/√6D.1/√5答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列向量中，與向量(1,2,3)平行的有（）。A.(2,4,6)B.(3,6,9)C.(-1,-2,-3)D.(1,1,1)答案：A,C2.下列平面中，過點(diǎn)(1,2,3)的有（）。A.x+y+z=1B.x-y+z=0C.2x-y+z=1D.x+y+z=6答案：A,B,C,D3.下列直線中，與平面x+y+z=1平行的有（）。A.x=1，y=2+t，z=3tB.x=1+t，y=2-t，z=3C.x=1，y=2，z=3+tD.x=1+t，y=2+t，z=3-2t答案：A,C4.下列平面中，互相垂直的有（）。A.x+y+z=0B.x-y+z=0C.x+y-z=0D.2x-y+z=0答案：A,C5.下列向量中，與向量(1,2,3)垂直的有（）。A.(2,3,1)B.(3,1,2)C.(1,1,1)D.(0,0,0)答案：A,B6.下列直線中，與平面x+y+z=6相交的有（）。A.x=1，y=2+t，z=3tB.x=1+t，y=2-t，z=3C.x=1，y=2，z=3+tD.x=1+t，y=2+t，z=3-2t答案：A,B,C,D7.下列平面中，過原點(diǎn)的有（）。A.x+y+z=0B.x-y+z=0C.x+y-z=0D.2x-y+z=0答案：A,B,C,D8.下列向量中，與向量(1,2,3)平行的有（）。A.(2,4,6)B.(3,6,9)C.(-1,-2,-3)D.(1,1,1)答案：A,C9.下列直線中，與平面x+y+z=1平行的有（）。A.x=1，y=2+t，z=3tB.x=1+t，y=2-t，z=3C.x=1，y=2，z=3+tD.x=1+t，y=2+t，z=3-2t答案：A,C10.下列平面中，互相垂直的有（）。A.x+y+z=0B.x-y+z=0C.x+y-z=0D.2x-y+z=0答案：A,C三、判斷題（每題2分，共10題）1.向量(1,2,3)與向量(2,4,6)平行。（）答案：正確2.平面x+y+z=0與平面x-y+z=0垂直。（）答案：正確3.直線x=1，y=2+t，z=3t與平面x+y+z=6相交。（）答案：正確4.向量(1,2,3)與向量(2,3,1)垂直。（）答案：錯(cuò)誤5.平面x+y+z=1與平面2x-y+z=1平行。（）答案：錯(cuò)誤6.直線x=1+t，y=2-t，z=3與平面x+y+z=6平行。（）答案：錯(cuò)誤7.向量(1,1,1)與向量(1,2,3)平行。（）答案：錯(cuò)誤8.平面x+y+z=0與平面x-y+z=0平行。（）答案：錯(cuò)誤9.直線x=1，y=2，z=3+t與平面x+y+z=6相交。（）答案：正確10.向量(1,2,3)與向量(3,1,2)垂直。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.求點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離。答案：點(diǎn)A到平面π的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中(x1,y1,z1)為點(diǎn)A的坐標(biāo)，Ax+By+Cz+D=0為平面方程。代入數(shù)據(jù)得d=|11+12+13-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3。2.求直線l：x=1，y=2+t，z=3t與平面π：x+y+z=6的交點(diǎn)。答案：將直線l的參數(shù)方程代入平面π的方程，得1+2+t+3t=6，解得t=1。代入直線l的參數(shù)方程得交點(diǎn)為(1,3,3)。3.求向量(1,2,3)與向量(2,3,1)的向量積。答案：向量積公式為向量AB×向量AC=(AyCz-AzCy)i-(AxCz-AzBx)j+(AxCy-AyBx)k。代入數(shù)據(jù)得向量積為(-5,-3,5)。4.求平面α：x+y+z=0與平面β：2x-y+z=1的夾角的余弦值。答案：平面α的法向量為(1,1,1)，平面β的法向量為(2,-1,1)。夾角的余弦值為(12+1(-1)+11)/√(1^2+1^2+1^2)√(2^2+(-1)^2+1^2)=1/√3。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論直線l：x=1+t，y=2-t，z=3t與平面π：x+y+z=6的位置關(guān)系。答案：將直線l的參數(shù)方程代入平面π的方程，得1+t+2-t+3t=6，解得t=1。代入直線l的參數(shù)方程得交點(diǎn)為(1,3,3)。因此直線l與平面π相交。2.討論平面α：x+y+z=0與平面β：2x-y+z=1的位置關(guān)系。答案：平面α的法向量為(1,1,1)，平面β的法向量為(2,-1,1)。法向量的點(diǎn)積為12+1(-1)+11=2≠0，因此平面α與平面β相交。3.討論向量(1,2,3)與向量(2,3,1)的位置關(guān)系。答案：向量(1,2,3)與向量(2,3,1)的點(diǎn)積為1