PAGE1高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，22小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．用2B鉛筆將考生號(hào)、座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線中，傾斜角小于的直線是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出所求直線斜率的取值范圍，然后求出各選項(xiàng)中直線的斜率或傾斜角，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，則，其斜率為.對(duì)于A選項(xiàng)，直線的斜率為，不合乎要求；對(duì)于B選項(xiàng)，直線的斜率為，不合乎要求；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的傾斜角為，不合乎要求；對(duì)于D選項(xiàng)，直線斜率為，合乎要求.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，（），則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)遞推公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，（），所?故選：B.3.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)乘及加、減運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，.故選：A.4.若橢圓（）與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則的值為（）A.25 B.16 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意即可得解.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓（）與雙曲線的焦點(diǎn)相同，所以，解得.故選：C.5.已知空間三點(diǎn)、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得平行四邊形的面積.【詳解】因?yàn)榭臻g三點(diǎn)、、，則，，所以，，，，所以，，因?yàn)?，則，所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.6.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率，每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為3天，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到99人大約需要（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）（參考數(shù)據(jù)：）A.6天 B.15天 C.18天 D.21天【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,以及對(duì)數(shù)函數(shù)的公式,即可求解.【詳解】解：設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，由，解得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，得，故需要的天數(shù)約為.故選：C.7.已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過(guò)分別作的準(zhǔn)線的垂線交軸于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義可得，，再由即可求參數(shù)，進(jìn)而可得拋物線方程.【詳解】如圖，過(guò)分別作的準(zhǔn)線的垂線交軸于點(diǎn)，則，故，因?yàn)榈臏?zhǔn)線為，所以，，所以，解得，故拋物線C的方程為.故選：B.8.高8m和4m的兩根旗桿筆直地豎立在水平地面上，且相距6m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測(cè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，再在平面中，以點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可求出點(diǎn)的軌跡方程，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測(cè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，故，所以，所以，如圖，在平面中，以點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)Px,y，則，化簡(jiǎn)得，為圓，所以地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為圓.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知雙曲線C的方程為，則（）A.雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， B.雙曲線C的漸近線方程為C.雙曲線C的離心率為 D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，由標(biāo)準(zhǔn)方程明確，，則可得答案.【詳解】對(duì)于A：由雙曲線，則，即，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B：雙曲線的漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線C的離心率，故C正確；對(duì)于D：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)B.直線l被圓C截得的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10C.當(dāng)時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短D.當(dāng)時(shí)，圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于4【答案】AB【解析】【分析】直線的方程變形為：，令的系數(shù)等于零，即可判斷A；當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，即可判斷B；當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可判斷C；計(jì)算出當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線的方程變形為：，令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心，半徑，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)圓心到直線的距離，而，所以當(dāng)時(shí)，圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線l距離等于4，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知公差不為等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，分析可知，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，其前項(xiàng)和為，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，只需，可得，所以，，則，所以，，故選：BC.12.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為和的重心，為線段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成角的大小為B.點(diǎn)到直線的距離為C.直線與平面間的距離為D.若平面，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】將正四面體放入正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，因?yàn)檎拿骟w的長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的重心，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，設(shè)，則，所以，所以，對(duì)于A，，則，所以直線與所成角的余弦值為，又直線與所成角的范圍為，所以直線與所成角的大小為，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)直線所成的角為，則，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，所以，取，則，因?yàn)?，且直線平面，所以直線平面，所以點(diǎn)到平面的距離就是直線到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離，即直線到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，即，解得，則，設(shè)的重心為，則，故，則，所以，又平面，所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)為等邊三角形的重心，所以點(diǎn)為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，則三棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則的公比為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知，由已知條件可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)任意的，，則，因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?，解得，因此，?shù)列的公比為.故答案為：.14.已知直線與互相平行，則這兩條直線間的距離是______.【答案】【解析】【分析】利用兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可求得兩平行線間的距離.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，則，解得，所以，這兩條平行直線的方程分別為、，故這兩條平行間的距離為.故答案為：.15.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬______米．【答案】【解析】【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把代入拋物線方程求得進(jìn)而得到答案．【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，，代入，得，故水面寬為．故答案為：16.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、分別是梭、的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法求出點(diǎn)的軌跡方程，可求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，利用空間向量法可求得點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則A0,0,0、、、，因?yàn)辄c(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，則，取，可得，且，因?yàn)槠矫?，則，即，可得，分別取線段、的中點(diǎn)、，所以，點(diǎn)的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，，由，可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，且.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求出通項(xiàng)公式；（2）求出，得到為等差數(shù)列，利用求和公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)，，滿足要求，綜上，；【小問(wèn)2詳解】，則，所以為等差數(shù)列，故；18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．（1）求圓C的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出與軸的交點(diǎn)，設(shè)圓C的方程為一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得方程為，求出被圓C截得的弦長(zhǎng)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，求出圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)的一半、半徑、圓心到直線的距離構(gòu)成的直角三角形求出可得答案.【小問(wèn)1詳解】令得與軸的交點(diǎn)為，令，即，解得，或，可得與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)圓C的方程為，所以，解得，所以圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】圓C的方程為，圓心為，半徑為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得方程為，被圓C截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，解得，直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程為，或.19.如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面ABD夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作，即作出平面與平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出線相段的長(zhǎng)，解即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知，則，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；【小問(wèn)2詳解】作，垂足為E，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作，交于F，連接，則即為平面與平面ABD夾角或其補(bǔ)角，由題意知，，故，，又在中，，則，則，又平面，平面，故，則，故，即，在中，,故平面與平面ABD夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線l：相切．（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與動(dòng)圓圓心C的軌跡分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上且BP∥x軸，求證：直線AP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）利用幾何關(guān)系，根據(jù)拋物線的定義，求軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，Ax1,y1,Bx2,y【小問(wèn)1詳解】（1）設(shè)點(diǎn)與直線l：相切的切點(diǎn)為，則，即動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)和定直線l：的距離相等，點(diǎn)C軌跡且以為焦點(diǎn)，以直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，，故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是；【小問(wèn)2詳解】由題意，可知直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，Ax1,聯(lián)立方程組，得，則，所以，則，所以，，所以直線AP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．21.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，M是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若平面，，，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證平面，平面，再由面面平行的判定定理可證得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，運(yùn)用向量法求線面角，通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，?又平面，平面,所以平面；連接交于N，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，故N為中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，在中，有，平面，平面,所以平面，且平面，平面,,所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，又M是的中點(diǎn)，故,，因?yàn)椋?，解得，設(shè)，因點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，則，即，故，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，