1/10專題07巧構(gòu)等腰三角形的四類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形類型二、過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形類型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形類型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形壓軸專練類型一、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。例1．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）2，，理由見解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到，，再利用等角對等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)，再進(jìn)行等量代換得到、、、，再利用等角對等邊，得到對應(yīng)線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點(diǎn)，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個(gè)等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2，．【變式1-1】如圖，在中，，的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求出，根據(jù)角平分線的定義可得出，最后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由角平分線的定義可得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，即得出，即易證，得出．【詳解】（1）解：，，．平分，．，，；（2）證明：平分，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（1）如圖1，，平分，則的形狀是三角形；（2）如圖2，平分，，，則．（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則．（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長為．（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長是．【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對角對等邊．（1）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，即可得出結(jié)果；（2）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，進(jìn)而得到即可；（3）同法（2）可得：，利用，求解即可；（4）同法（2）得到，推出的周長等于，即可得出結(jié)果；（5）同法（2）得到，推出的周長等于的長即可．掌握平行線加角平分線往往存在等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案為：等腰；（2）∵平分，，∴，∴，∴；故答案為：3；（3）同法（2）可得：，∴；故答案為：12；（4）同法（2）可得：，∴的周長；故答案為：30；（5）同法（2）可得：，∴的周長；故答案為：5cm．類型二、過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形模型分析：在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.條件：如圖1，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//BC.結(jié)論：△ADE是等腰三角形.條件：如圖2，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//AB.結(jié)論：△CDE是等腰三角形.例2．如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形．(2)當(dāng)時(shí)，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線得．再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而．即可證明結(jié)論成立；（2）由等邊對等角及平行線的性質(zhì)得，，從而．由（）得，，從而．【詳解】（1）證明：證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．∴，∴是等腰三角形；（2）解：．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（）得，∴，∴．【變式2-1】綜合與探究如圖，在中，，為延長線上的一動點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：是等腰三角形．(2)如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)．（1）通過已知條件證明和相等就能證明是等腰三角形；（2）由，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)可得，再根據(jù)勾股定理求出，過A點(diǎn)作，再通過證明三角形全等得出．【詳解】（1）證明：，．，，，．又，，，是等腰三角形；（2）解：，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，∵，．，，．又為的中點(diǎn)，．在和中，，，．【變式2-2】（1）如圖1，為等邊三角形，動點(diǎn)D在邊上，動點(diǎn)E在邊上．若這兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別由點(diǎn)B向點(diǎn)A和由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，連接交于點(diǎn)P，則在動點(diǎn)D，E的運(yùn)動過程中，與之間的數(shù)量關(guān)系是______________________．（2）如圖2，若把（1）中的“動點(diǎn)D在邊上，動點(diǎn)E在邊上”改為“動點(diǎn)D在射線上運(yùn)動，動點(diǎn)E在射線上運(yùn)動”，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）如圖3，若把（1）中的“動點(diǎn)D在邊上”改為“動點(diǎn)D在射線上運(yùn)動”，連接，交于點(diǎn)M，其他條件不變，則在動點(diǎn)D，E的運(yùn)動過程中，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出簡要的證明過程．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3），證明見詳解【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得，和，即可證明，則有；（2）由題意得，，進(jìn)一步得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可證明，有；（3）作交AB于H，則，，，有為等邊三角形，進(jìn)一步得，即可證明，則．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，，由題意得，，在和中，，∴，∴；（2）成立，理由如下：由題意得，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，（3），理由如下：作交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．類型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形模型解析：如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD?△ACD,從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形.例3．【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可根據(jù)______證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得______．【拓展延伸】（1）如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D在線段上，，，垂足為，與相交于點(diǎn)F．線段與的數(shù)量關(guān)系為______．（直接寫出）【答案】【問題情境】；【類比解答】；【拓展延伸】（1），證明見解析；（2）【分析】問題情境：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，垂直得性質(zhì)得，結(jié)合，可利用證明；類比解答：延長交于點(diǎn)F，由問題情境可知，由等腰三角形的性質(zhì)得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；拓展延伸：（1）延長、交于點(diǎn)F，利用證，有，結(jié)合問題情境可知，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)G，與相交于H，可得和，進(jìn)一步得，結(jié)合有和，利用可證得，有，即可證明．【詳解】問題情境：解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，故答案為：；類比解答：延長交于點(diǎn)F，如圖，由問題情境可知，，∴，∵，∴，故答案為：；拓展延伸：（1），證明如下：延長、交于點(diǎn)F，如圖，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由問題情境可知，，∴；（2）過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)G，與相交于H，如圖，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，則，在和中∴，∴，則．【變式3-1】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，求的度數(shù)；【問題探究】（2）如圖，在中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系；【問題解決】（3）如圖是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，他進(jìn)行了如下操作：作的平分線；再過點(diǎn)作交于點(diǎn)已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見解析；（）．【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對等角【分析】（）延長交于點(diǎn)，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（）延長交于點(diǎn)，證，得，再由已知可知，即可得出結(jié)論；（）延長交于，由已知可知，，則再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（）如圖，延長交于點(diǎn)，由已知可知，∴，∵，∴；（），證明如下：如圖，延長交于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由已知可知，，∴；（）如圖，延長交于，由已知可知，，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．類型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形模型分析：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，一般通過轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．條件：如圖1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.結(jié)論：△BDC是等腰三角形.條件：如圖2，若∠ABC=2∠C,延長CB到D,使BD=BA,連接AD.結(jié)論：△ADC是等腰三角形.條件：如圖3，若∠B=2∠ACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點(diǎn)D.結(jié)論：△DBC是等腰三角形.例4．如圖1，是的角平分線，，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的解題思路如下：①如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接．②由，平分，是公共邊，可得（理由：________），則，．③由，則．又因?yàn)?，所以，則________又由，得．④根據(jù)上述的推理可知，，之間的數(shù)量關(guān)系為________．(1)請你補(bǔ)全小明的解題思路．(2)小明又想嘗試其它方法：延長到點(diǎn)，使，連接．請你幫助小明，完成解答過程．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)等邊對等角得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，證得，得到，等量代換即可證明．【詳解】（1）解：①如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接．②由，平分，是公共邊，可得（理由：），則，．③由，則．又因?yàn)?，所以，則又由，得．④根據(jù)上述的推理可知，，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）證明：延長到點(diǎn)，使，連接．如圖所示：∵，∴，∴，∵∴∵平分，∴，∵是公共邊，∴，∴．【變式4-1】問題背景：在中，，點(diǎn)為線段一動點(diǎn)，當(dāng)滿足某種條件時(shí)，探討在線段、、、四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．(1)在圖1中，當(dāng)時(shí)，則可得，請你給出證明過程．(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)當(dāng)是的角平分線時(shí)，判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【知識點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問題【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到，證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明；（3）在上截取，連接，證明，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1），，，，，，，；（2）在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，；（3），理由如下：在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，．一、解答題1．已知：如圖，為的外角平分線上的一點(diǎn)，，，求證：(1)是等腰三角形；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判斷與性質(zhì)．（1）由可得，由平分得，從而，故可得結(jié)論；（2）根據(jù)證明即可證明．【詳解】（1）證明：∵，，，為的外角平分線上的一點(diǎn)，，，，是等腰三角形；（2）證明：在和中，，∴，∴．2．如圖，是的角平分線，E是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)F，交延長線一點(diǎn)G．(1)求證：是等腰三角形；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖：由角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得，最后由等角對等邊即可證明結(jié)論；（2）如圖：延長至點(diǎn)H，使，先證可得、，進(jìn)而證得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，

∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：延長至點(diǎn)H，使，連結(jié)，在和∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和判定定理是解答本題的關(guān)鍵．3．某市一座老式橋梁需進(jìn)行加固改造，工程師對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，如圖，為主梁框架，是橋墩支撐角度的2倍，即，工程師計(jì)劃在的角平分線處安裝鋼架，交底梁于點(diǎn)D，為確保穩(wěn)定性，必須過點(diǎn)B焊接加固鋼索，使得，分別交，于點(diǎn)F，E．(1)求證：加固后的是等腰三角形；(2)經(jīng)測量，主梁全長為13米，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)間距為5米，求原始支撐段的長度．【答案】(1)見解析(2)原始支撐段的長度是8米【分析】（1）由垂直的定義得到，由角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，得到，于是得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，又平分，，又在和中，，，為等腰三角形；（2）解：連接，

，平分，垂直平分，，，，，又，，又中，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．在中，的垂直平分線分別交邊、邊和直線于點(diǎn)，連接．(1)點(diǎn)在的延長線上，①如圖，求證：；②如圖，當(dāng)時(shí)，求的周長；(2)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)①見解析；②(2)或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別表示出，即可得證；②證明是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴是等邊三角形，∴的周長為；（2）解：設(shè)當(dāng)時(shí)，∵∴∴∵是的垂直平分線，∴，∴∴在中，即解得：，即；當(dāng)時(shí)，，同理可得，∴，解得：，即；當(dāng)時(shí)，，如圖，在中，∵是的垂直平分線，∴，∴∴∵∴∴解得：（舍去）∴此情形不存在，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，或．5．【問題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識后，數(shù)學(xué)活動小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點(diǎn)，常過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為等腰三角形．(1)【基本運(yùn)用】如圖2，把長方形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重合部分是等腰三角形．請將以下過程或理由補(bǔ)充完整：∵在長方形中，，∴，由折疊性質(zhì)可得：____________，∴，∴，（依據(jù)是：____________）∴是等腰三角形；(2)【類比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)【拓展提升】如圖4，四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，平分，連接，求證：．【答案】(1)；等腰三角形中等角對等邊(2)，理由見詳解(3)證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)材料提示，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，為等腰三角形，則，且，可證，由此即可求解；（3）如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作，為邊的中點(diǎn)，可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，得出為等腰三角關(guān)系，證明平分，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證明，即直角三角形，由此即可求證．【詳解】（1）證明：∵在長方形中，，∴，由折疊性質(zhì)可得，∴，∴，（依據(jù)是：等腰三角形中等角對等邊）∴是等腰三角形；故答案為：；等腰三角形中等角對等邊．（2）解：，理由如下，由（1）可證，為等腰三角形，則，∵平方，，∴，∴為等腰三角形，即，∵，∴．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，∵為邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，∵，平分，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．已知在中，滿足．

(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系_________；(2)【問題拓展】如圖2，當(dāng)，AD為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請你證明；若不成立，請說明理由．(3)【猜想結(jié)論】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時(shí)，在的延長線上取一點(diǎn)E，使得，連接，請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系_________．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)【分析】（1）由為的角平分線，得到，通過≌，得到，，由于，得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）由為的角平分線時(shí)，得到，通過≌得到，由已知得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得解；（3）由為的角平分線時(shí)，得到，通過≌得到，，由已知得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得解．【詳解】（1）解：∵為的角平分線在和中≌，（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵是的角平分線，∴在和中∴≌∴，，又∵，∴∴∴∴即：（3）解：證明：∵平分∴在與中∴≌【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在的延長線上，且．(1)如圖（1），若點(diǎn)是的中點(diǎn)，度，度，度，（選填“”“”或“”）．(2)如圖（2），若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，題（1）中與的關(guān)系還成立嗎？說明理由（提示：可以過D作的平行線，通過全等三角形和等邊三角形相關(guān)知識證明）；(3)如圖（3），若點(diǎn)在線段的延長線上，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)90，30，30，(2)成立，理由見解析(3)【