1/10專題08等腰三角形中易漏解或多解問題的五類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯類型二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯類型三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯類型四、三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯類型五、等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯壓軸專練類型一、求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯1.忽略腰長與底邊長的合理性：計算時若已知兩邊長，需分“已知邊為腰”和“已知邊為底”兩種情況討論。例如兩邊為3和6，若3為腰，3+3=6，不滿足“兩邊之和大于第三邊”，故只能6為腰，周長15。2.忽視周長計算的前提條件：無論按哪種情況假設(shè)，都需驗證三邊是否滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。若忽略驗證，直接相加會導(dǎo)致錯誤，如誤將2、2、5當(dāng)作等腰三角形，實際無法構(gòu)成三角形。例1．（24-25八年級下·廣東清遠(yuǎn)·期中）一個等腰三角形的兩邊長為3和7，則此三角形的周長為．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的等腰，構(gòu)成三角形的條件，分腰長為3和腰長為7兩種情況，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長分別為3，3，7，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)腰長為7時，則該等腰三角形的三邊長分別為3，7，7，∵，∴此時能構(gòu)成三角形，符合題意，∴此三角形的周長為；綜上所述，此三角形的周長為，故答案為：．【變式1-1】等腰三角形一邊長是，另一邊長是，則它的周長是．【答案】/15厘米【分析】本題考查了等腰三角形周長．熟練掌握等腰三角形定義，三角形三邊關(guān)系，三角形周長，分類討論，是解題的關(guān)鍵．當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮闀r，根據(jù)，得三角形不存在；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮闀r，根據(jù)，得三角形存在，即得周長．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮闀r，三邊為，，，∵，∴三角形不存在，當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮闀r，三邊為，，，∵，∴三角形存在，∴周長為（）．故答案為：．【變式1-2】已知、為等腰的邊長，且滿足，則的周長是．【答案】27【分析】本題考查了等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系等知識；由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a與b的值，根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合三角形三邊的關(guān)系即可求得周長．【詳解】解：∵，且，∴，∴；若三邊是11，11，5，則；若三邊是11，5，5，則，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；∴的周長為27；故答案為：27．【變式1-3】（24-25八年級上·廣東汕尾·期中）解答下面兩個小題：(1)已知等腰三角形的兩邊長是2和6，求這個等腰三角形的周長．(2)已知等腰三角形的周長是12，一邊長為5，求它的另外兩邊的長．【答案】(1)這個等腰三角形的周長是14(2)另兩邊是3.5，3.5或5，2【知識點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）分類討論明確等腰三角形的腰與底邊，并驗證三邊關(guān)系求解即可；（2）分類討論明確等腰三角形的腰與底邊，并驗證三邊關(guān)系求解即可；【詳解】（1）解：①當(dāng)腰長為2時，則三角形的三邊長分別是，，構(gòu)不成三角形，故舍；②當(dāng)腰長為6時，則三角形的三邊長分別是，，∴可構(gòu)成三角形，∴三角形的周長．答：這個等腰三角形的周長是14；（2）∵等腰三角形的一邊長為5，周長為12，∴當(dāng)5為底時，其它兩邊都為3.5、3.5，5、3.5、3.5可以構(gòu)成三角形；當(dāng)5為腰時，其它兩邊為5和2，5、5、2可以構(gòu)成三角形．∴另兩邊是或．類型二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.未明確已知角為頂角或底角：已知等腰三角形的一個內(nèi)角，需分情況討論該角是頂角還是底角。若已知角為鈍角或直角，只能是頂角；若為銳角，可能是頂角或底角。例如已知內(nèi)角為70°，當(dāng)它是頂角時，底角為(180°-70°)÷2=55°；當(dāng)它是底角時，另一個底角也為70°，頂角為40°。2.未考慮三角形內(nèi)角和定理：分類討論后，要確保每種情況所得的三個內(nèi)角之和為180°，符合三角形的基本性質(zhì)，避免因邏輯不完整出現(xiàn)錯誤。例2．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分的角是頂角和底角兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r，底角的度數(shù)當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r，其底角為，則它的底角的度數(shù)是或．故答案為：或．【變式2-1】（24-25八年級上·天津西青·期中）若等腰三角形的一個角是，它的另外兩個角的度數(shù)分別是．【答案】或【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角【分析】本題考查等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理，分的角為頂角和底角，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕菫轫斀菚r：兩個底角的度數(shù)為：；當(dāng)?shù)慕菫榈捉菚r，則頂角的度數(shù)為：；故答案為：或．【變式2-2】（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形的一個角比另一個角2倍少20度，等腰三角形底角的度數(shù)是．【答案】或或【知識點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯．設(shè)另一個角是，表示出這個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個角是，表示出這個角是，①是頂角，是底角時，，解得，所以，底角為；②是底角，是頂角時，，解得，所以，底角是；③與都是底角時，，解得，所以，底角是；綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【變式2-3】（23-24八年級上·江蘇常州·期中）已知一個等腰三角的兩個角度數(shù)分別是，，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【答案】或或【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角【分析】和有可能是兩個底角，即，也有可能是一個底角，一個頂角．因此分三種情況討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程求解即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【詳解】①當(dāng)和是兩個底角時，，解得，則底角為，頂角為：；②當(dāng)是頂角，是底角時，，解得，則，∴頂角為；③當(dāng)是頂角，是底角時，，解得，則，∴頂角為．綜上，這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為或或，故答案為：或或類型三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.

邊與角的不確定性分類缺失：等腰三角形邊的問題中，未區(qū)分腰與底，如已知兩邊求周長未驗證三邊關(guān)系；角的問題里，未明確已知角是頂角或底角，像已知一個銳角未分情況計算其他角。2.

圖形位置與條件組合漏解：涉及高、中線等輔助線時，未考慮高在形內(nèi)或形外，中線分割后的邊長關(guān)系等多種位置情形，同時對題目條件的不同組合未全面分析，導(dǎo)致遺漏多種可能情況。例3．（24-25七年級下·河南鄭州·期末）如圖，中，，，，D為斜邊上不與端點(diǎn)A、B重合的一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為E，將沿翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接．若為等腰三角形，則的長為．【答案】或．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由題意可知，是等腰直角三角形，則，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到，再根據(jù)點(diǎn)的分為分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：，為等腰三角形，是等腰直角三角形，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時，，則；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，，則；綜上可知，的長為或故答案為：或．【變式3-1】（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在三角形紙片中，，，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕與，分別相交于點(diǎn)、，當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)為．【答案】或或【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，等腰三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，熟練相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)和易錯點(diǎn)．先求出，由折疊的性質(zhì)得出，再分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在中，，，由折疊的性質(zhì)得：，當(dāng)為等腰三角形時，有以下三種情況：①當(dāng)時，如圖1所示：，，，；②當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)C重合，如圖2所示：，，，；；③當(dāng)時，如圖3所示：，，，，綜上所述：的度數(shù)為或或，故答案為：或或．【變式3-2】（24-25八年級下·山東青島·期中）如圖，在四邊形中，，，，為上一動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，與相交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)為．【答案】或或【分析】本題考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)等邊對等角可得：，再由三角形內(nèi)角和定理求得，求得，然后分三種況討論即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)為等腰三角形時，①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，③當(dāng)時，，故答案為：或或．【變式3-3】（24-25八年級下·河南鄭州·期末）如圖，為等腰三角形，是邊上的高，，動點(diǎn)分別在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），滿足．當(dāng)為等腰三角形時，的長為．【答案】或【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；分為三種情況：①，②，③，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】解：分為3種情況：①當(dāng)時，∵為等腰三角形，是邊上的高，，∴，，，，，，，在和中，，，∴，；②當(dāng)時，則，，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得：，這種情況不存在；③如圖所示，當(dāng)時，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，∴，∴，當(dāng)為等腰三角形時，或．故答案為：或．【變式3-3】（24-25八年級下·山西晉中·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，重合），連接，當(dāng)是等腰三角形時，線段的長度為．【答案】或【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握分類討論是關(guān)鍵．分類討論，根據(jù)勾股定理、等腰三角形性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，，設(shè)，則，在中，，即，，（負(fù)值已舍去），；當(dāng)時，∵，∴；當(dāng)時，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，∵，，，，，∴點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，不符合題意；當(dāng)時，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，（負(fù)值舍去），，∴；綜上分析，線段的長度為或；故答案為：或．類型四、三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.三角形形狀與高線位置關(guān)系不清：銳角三角形的三條高均在形內(nèi)；直角三角形兩條直角邊的高為另一條直角邊；鈍角三角形有兩條高在形外。若未根據(jù)三角形形狀討論高的位置，在計算邊長、面積或角度時易出錯，如求鈍角三角形面積，忽略高在形外的情況會導(dǎo)致錯誤。2.多種線段組合的情形遺漏：當(dāng)三角形存在高線、中線、角平分線等多種線段時，未考慮不同形狀下這些線段的位置組合，如等腰三角形底邊上的高與中線重合，但非等腰三角形不重合，不分類討論易漏解。例4．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)是．【答案】或【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，三角形的內(nèi)角和定理，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．【詳解】解：①等腰三角形為銳角三角形，，；②等腰三角形為鈍角三角形，，故答案為：或．【變式4-1】（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15和11兩部分，則此三角形的底邊長為．【答案】或【知識點(diǎn)】加減消元法、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、根據(jù)三角形中線求長度、等腰三角形的定義【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：．可設(shè)，∴．由題意得：或，解得：或．當(dāng)時，即此時等腰三角形的三邊為，符合三角形的三邊關(guān)系，當(dāng)時，即此時等腰三角形的三邊為，符合三角形的三邊關(guān)系，綜上可知這個等腰三角形的底邊長是或．故答案為：或．【變式4-2】等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．【答案】/厘米【知識點(diǎn)】幾何問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義（至少有兩邊等長或相等的三角形）、二元一次方程組的幾何應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系定理；依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．如圖（見解析），分①；②兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形的定義建立二元一次方程組，解方程組可得等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗即可得．【詳解】解：如圖，是等腰三角形，是腰上的中線，設(shè)，則，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)時，則，解得，此時等腰三角形的三邊長分別為，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去；②當(dāng)時，則，解得，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，因此，這個等腰三角形的底邊長為．故答案為：．【變式4-3】（24-25八年級下·陜西西安·期中）在中，，過點(diǎn)A的一條直線將該三角形分成的兩個小三角形均為等腰三角形，則的度數(shù)為．【答案】或【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、分類討論的思想、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．分兩種情況：一種情況是把分成兩個等腰三角形，且、；另一種情況是把分成兩個等腰三角形，且、，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：如下圖所示，當(dāng)過的頂點(diǎn)A把分成兩個等腰三角形，且、時，設(shè)，則，，三角形內(nèi)角和為，，，解得：，；如下圖所示，當(dāng)過的頂點(diǎn)A把分成兩個等腰三角形，且、時，設(shè)，則，，三角形內(nèi)角和為，，，解得：，；綜上所述，的度數(shù)可以是或．故答案為：或．【變式4-4】（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）在中，，點(diǎn)D在邊上，若直線將分割成一個直角三角形和一個等腰三角形，則的度數(shù)是．【答案】或或【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．分三種情形，分別畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)，時，滿足條件．如圖2中，當(dāng)，時，可得，∴．如圖3中，當(dāng)，時，，∴，故答案為：或或．類型五、等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.新定義規(guī)則下的等腰屬性分類缺失：未依據(jù)新定義明確等腰三角形的邊、角對應(yīng)關(guān)系，如定義“特殊等腰三角形”對腰長與底邊存在特殊限制，未分情況討論腰與底是否滿足新規(guī)則，易漏解。2.新定義與等腰性質(zhì)組合的多解遺漏：忽略新定義條件與等腰三角形三線合一、內(nèi)角和等性質(zhì)的多種組合情形，如定義“關(guān)聯(lián)等腰三角形”涉及角度計算，未考慮頂角與底角在新規(guī)則下的不同取值范圍，導(dǎo)致錯解。例5．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【分析】分為腰長和底邊長，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：當(dāng)為腰長時，∵等腰的周長為20，∴的底邊長為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長時，的腰長為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義．熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．【變式5-1】定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長為，則的周長為．【答案】或【知識點(diǎn)】等腰三角形的定義、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，設(shè)等腰三角形的腰長為，底長為，分兩種情況討論：當(dāng)時；當(dāng)時．【詳解】設(shè)等腰三角形的腰長為，底長為．（1）當(dāng)時，分兩種情況：①若，解得．則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．（2）當(dāng)時，分兩種情況：①若，解得，則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．綜上所述，的周長為或．【變式5-2】定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，它一邊長為3，則等腰的腰為．【答案】6或3【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)時，則底邊為，此時符合題意；②當(dāng)時，，此時符合題意，從而可得到答案．【詳解】解：是等腰三角形，∴設(shè)，是“倍長三角形”，且有一邊為3；①當(dāng)時，則底邊為，此時符合題意；②當(dāng)時，，此時符合題意，所以，若等腰是“倍長三角形”，且有一邊為3；，則腰的長為3或6，故答案為：3或6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用分類討論思想，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級下·遼寧沈陽·期中）經(jīng)過三角形一個頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個等腰三角形，稱這個三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個三角形的“鉆石分割線”，在中，，若存在過點(diǎn)C的“鉆石分割線”，使是“鉆石三角形”，則滿足條件的的度數(shù)為．【答案】或或或【知識點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等邊對等角、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論．分五種情況進(jìn)行討論，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)，時，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，∴，即此時．當(dāng)，時，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即此時．當(dāng)，時，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，即此時．當(dāng)，時，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即此時．當(dāng)，時，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即此時．綜上分析可知：的度數(shù)為：或或或．故答案為：或或或．一、單選題1．（24-25七年級下·寧夏銀川·期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成和兩部分，則等腰三角形的腰長為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意先畫出圖形，設(shè)腰，由中線性質(zhì)可得，再分和兩種情況，列出方程解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，中，，為的中線，設(shè)腰，∵為的中線，∴，∵中線將它的周長分成和兩部分,當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；∴等腰三角形的腰長為或，故選：．2．（24-25七年級下·山西臨汾·期末）等腰三角形兩邊長是方程組的解，則該等腰三角形周長（）A．4 B．5 C．4或5 D．6【答案】B【分析】本題考查了解二元一次方程組，等腰三角形的定義．先解方程組求出和的值，再根據(jù)等腰三角形的定義分類討論可能的邊長組合，驗證是否滿足三角形三邊關(guān)系，最后計算周長即可．【詳解】解：解方程組得：，因此，等腰三角形的兩邊長為2和1．若腰長為2，底邊為1，則三邊為2、2、1．驗證三角形三邊關(guān)系：，，均成立．此時周長為．若腰長為1，底邊為2，則三邊為1、1、2．驗證三角形三邊關(guān)系：，不滿足兩邊之和大于第三邊，故不成立．綜上所述，周長為5，故選：B．3．（24-25七年級下·福建漳州·期末）若等腰三角形一邊長是2，另一邊長是4，則第三邊的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理，確定第三邊的可能值并驗證是否滿足條件．【詳解】解：A．若第三條邊長為2，則三邊為2、2、4，此時兩邊之和，等于第三邊4，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，故不成立，此項不符合題意；B．若第三條邊的長是3，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，故不成立，此項不符合題意；C．若第三條邊的長為4，則三邊為4、4、2，此時：，，故此項符合題意，此項正確；D．若第三條邊的長為2或4，則三邊為4、4、2或2、2、4，當(dāng)三邊長為2、2、4時，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，故不成立，此項不符合題意．故選：C．4．（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為，則它的頂角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對問題正確地進(jìn)行分類討論是解答此題的關(guān)鍵．有兩種情況（頂角是和底角是時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】如圖所示，中，．有兩種情況：當(dāng)頂角時當(dāng)?shù)捉鞘菚r，，，，，這個等腰三角形的頂角為或．故選：D．5．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【答案】B【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定等知識，正確利用圖形分類討論得出等腰三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)，，，時，都能得到符合題意的等腰三角形．這樣的直線最多可畫4條．故選：B．6．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）已知：如圖，是邊長的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止，當(dāng)t為（

）時，是直角三角形．A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，度的角所對的直角邊是斜邊的一半．根據(jù)題意，是直角三角形分兩種情況，一是，二是，分別求解即可，具體見詳解．【詳解】解：∵動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是，∴是邊長的等邊三角形當(dāng)時，即得，當(dāng)時，即得故當(dāng)或時，是直角三角形．故選：B．二、填空題7．（2025·河南焦作·模擬預(yù)測）在中，，，點(diǎn)P為射線上一動點(diǎn)，連接，．作點(diǎn)B關(guān)于線段的對稱點(diǎn)D，連接，，若是以為直角邊的等腰直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，勾股定理，分類討論，即分為當(dāng)在線段上時和當(dāng)在線段延長線上時，兩種情況，逐一解答即可，正確畫出圖形，尋找圖中全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)在線段上時，，，，點(diǎn)B關(guān)于線段的對稱點(diǎn)D，，，，，，如圖，當(dāng)在線段延長線上時，，，，點(diǎn)B關(guān)于線段的對稱點(diǎn)D，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，,根據(jù)對稱可得，即，解得，，綜上所述，的長為或，故答案為：或．8．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成了和兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形定義和三角形中線的特點(diǎn)，理解三角形一邊中線將三角形周長分得的兩部分之差就是三角形剩余相鄰兩邊之差，并注意分類討論和將求得的邊長結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，即可解題．【詳解】解：等腰三角形一腰上的中線，將這個等腰三角形的周長分成和兩部分．又，等腰三角形的腰與底邊相差，下面分兩類討論：①腰比底邊大，設(shè)腰長為，則底邊長為．由題意得，解得，當(dāng)時，等腰三角形腰長，底邊長為，三角形三邊分別為，滿足三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形．

②底邊比腰大，若腰長為，則底邊長為．由題意得，解得，當(dāng)時，等腰三角形腰長，底邊長為，三角形三邊分別為，滿足三角形三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形．綜上所述，這個等腰三角形的底邊長為或．故答案為：或．9．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)（點(diǎn)在下方）連接．當(dāng)與重疊的部分為等腰三角形時，．【答案】或或【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，等邊對等角，分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時三種情況分析即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，∵，，∴，由折疊性質(zhì)可知，，，，，，∴，∴，∴，∴；如圖，設(shè)交于點(diǎn)，當(dāng)時，由折疊性質(zhì)可知，，設(shè)，∵，∴，由上得，∴，∵，∴，解得：，∴；如圖，設(shè)交于點(diǎn)，當(dāng)時，由折疊性質(zhì)可知，，設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴；故答案為：或或．10．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在中，，，D是直線上一點(diǎn)，，直線l與直線關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)F，交直線l于點(diǎn)E，，則線段的長為．【答案】5或3【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論．分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長線上時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，如圖所示：∵直線l與直線關(guān)于直線對稱，∴，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴；當(dāng)點(diǎn)D在線段延長線上時，如圖所示：∵直線l與直線關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴；綜上分析可知：的長為5或3．故答案為：5或3．11．（2025·湖南常德·二模）約定：如果兩個角的差的絕對值等于，就稱這兩個角互為“完美關(guān)聯(lián)角”．如圖，在中，于點(diǎn)的平分線分別與交于點(diǎn)．若與互為“完美關(guān)聯(lián)角”，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，角平分線的定義，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)題意可知，進(jìn)而求出，則答案可得．【詳解】解：∵平分，∴．∵，，∴．∵與互為“完美關(guān)聯(lián)角”，∴，即或，解得或．在中，或．故答案為：或．12．（24-25八年級下·江西撫州·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿路徑行進(jìn)，到達(dá)點(diǎn)后停止，設(shè)移動時間為（s），當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，s．【答案】或19或【分析】根據(jù)勾股定理，得到，動點(diǎn)的速度為，設(shè)運(yùn)動時間為，在上運(yùn)動的時長為，在上運(yùn)動的時長為，在上運(yùn)動的時長為，根據(jù)運(yùn)動時間，分類解答即可．本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)題意，得，動點(diǎn)的速度為，設(shè)運(yùn)動時間為，在上運(yùn)動的時長為，在上運(yùn)動的時長為，在上運(yùn)動的時長為，當(dāng)時，點(diǎn)P在上運(yùn)動，此時構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)題意，得，故，解得；當(dāng)時，點(diǎn)P在上運(yùn)動，此時不存在，當(dāng)時，點(diǎn)P在上運(yùn)動，此時存在，如圖所示，若，則構(gòu)成等腰三角形，符合題意，根據(jù)題意，運(yùn)動總路程長為，此時，∴,解得；若，則構(gòu)成等腰三角形，符合題意，根據(jù)題意，運(yùn)動總路程長為，此時，取的中點(diǎn)D，連接，則，則，∴，∴，∴，∴,解得；故當(dāng)或或時，是以為腰的等腰三角形，故答案為：或19或．三、解答題13．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，D是外的一點(diǎn)，，連接．(1)【問題初探】求證：是等邊三角形；(2)【問題再探】當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)【問題拓展】當(dāng)是等腰三角形時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)或或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角度間的關(guān)系求出結(jié)果即可；（3）先根據(jù)周角的定義和等邊三角形的性質(zhì)求出，，再分當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，三種情況利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：由等邊知，，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形．（2）解：由（1）知是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴．（3）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，，當(dāng)時，則，∴，∴；當(dāng)時，則，∵，∴，∴；當(dāng)時，則，∵，∴，∴；綜上所述，或或．14．（24-25