解三角形專題：多三角形問題一、多三角形問題多三角形問題是指將一個三角形或者一個四邊形切割成若干個三角形，試題重點考察學生對正余弦定理的掌握情況和轉化與劃歸能力。在解題過程中，需要學生分析三角形間的公共邊、公共角、關系角（補角或余角）等圖形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理與三角函數(shù)公式結合，才能得到問題的解決。二、求解多個三角形問題解題思路：1、求解多個三角形的計算問題，關鍵是梳理條件和所求問題的類型2、第一步：把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，將數(shù)據(jù)化歸到多個三角形中；第二步：在各個三角形內(nèi)利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式解三角形；第三步：尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件；第四步：結合三角恒等變換公式進行化簡?！咀⒁狻孔鲱}過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題．題型一四邊形分割的多三角形問題【例1】如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，求．（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，所以；（2）設，則，，，由正弦定理得，，，，是銳角，，故解得，由正弦定理，所以．【變式1-1】如圖，在四邊形中，，，，，，求：（1）的長度；（2）的長度.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理可得：，則.（2）在中，，，由正弦定理可得：，即.【變式1-2】如圖，在四邊形中，，，．（1）求；（2）若，，求的周長．【答案】（1）；（2）24【解析】（1）在中，，∴∵，∴又∵為鈍角，∴為銳角，∴（2）在中，∴∴解得(負根舍去)在中，，∴∴又，整理得，，∴∴∴，∴的周長為24.【變式1-3】已知四邊形中，，，，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理可知，即，解得.（2）由，故，在中，由余弦定理得，即，所以.【變式1-4】如圖，在平面四邊形ABCD中，.（1）若，求線段AC的長：（2）求線段AC長的最大值．【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）在中，，，由余弦定理得：，即，解得，在中，，由余弦定理得：，所以.（2）設，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，當且僅當，即時取“=”，此時，所以當時，線段AC長取最大值6.【變式1-5】如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.（1）求AC；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為的面積為，所以.又因為，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因為，所以，所以.題型二三角形分割的多三角形問題【例2】已知中，D是邊上一點，，，.（1）求的長;（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，則在中，，即，;（2）中，，，為等腰直角三角形，故的面積為.【變式2-1】如圖，在中，，點D在BC邊上，.（1）求；（2）求BD，AC的長．【答案】（1）；（2）【解析】（1），；（2）由正弦定理得，，故，，故，故.【變式2-2】如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，則為銳角，∴，，則，在中，由正弦定理得，，解得．（2）∵，故，，由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得，故，在中，由正弦定理可得，故，∵，∴【變式2-3】在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的值；（2）若，過作的垂線與的延長線交于點，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理得，所以.因為，所以.又，故.（2）在中，，即，因，解得，又在中，，從而，故.而，所以.【變式2-4】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大?。唬?）若，D為BC邊上一點，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，由正弦定理得，，化簡得，又因為，，所以即，因為，所以.（2）因為，，所以，在中由余弦定理得，所以.由正弦定理得,.所以.【變式2-5】在中，.（1）求；（