6.4.3課時(shí)1余弦定理重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其應(yīng)用，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想難點(diǎn)：利用向量的數(shù)量積證明余弦定理的思路方法，余弦定理在解三角形中的思路一、余弦定理：1、公式表達(dá)：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、語(yǔ)言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍【注意】余弦定理的特點(diǎn)（1）適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．（2）揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量．3、推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)4、余弦定理的推導(dǎo)示例：在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c如圖，因?yàn)锳C=∴AC2即AC從而b2同理，根據(jù)AB=AC+可以得到c2=二、解三角形1、解三角形：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和她們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.2、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用（1）類(lèi)型1：已知兩邊及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解；（2）類(lèi)型2：已知三邊解三角形法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一法二：若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解三、判斷三角形形狀時(shí)常用到的結(jié)論1、為直角三角形或或2、為銳角三角形，且，且3、為鈍角三角形，且，且4、若，則或題型一已知兩邊與一角解三角形【例1】滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)為（）A．一個(gè)B．兩個(gè)C．不存在D．無(wú)法判斷【答案】B【解析】因?yàn)?，即，解得或，所以滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)．故選：B．【變式1-1】在中，已知，，，則邊（）A．B．3C．D．2【答案】B【解析】由余弦定理可得所以故選：B【變式1-2】在中，，，.則（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由余弦定理，得，解得（負(fù)值舍去）．故選：C．【變式1-3】的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，已知，，，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由,根據(jù)余弦定理得：,即,所以.題型二已知三邊解三角形【例2】在中，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理得，又，則．故選：B.【變式2-1】在中，，則的最小角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，在中，，因?yàn)椋缘淖钚〗菫?，所以，又因?yàn)椋?故選：C.【變式2-2】已知中，，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意令，，，，，所以為直角三角形且，又，且，，，故選：A．【變式2-3】在中，若，則的最大內(nèi)角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，所以，所以A最大，所以，因?yàn)樗裕蔬x：C題型三判斷三角形的形狀【例3】在中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為等腰三角形，故選：A【變式3-1】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】A【解析】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A【變式3-2】在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【答案】C【解析】由得：，即，，，，則，為等腰直角三角形.故選：C.【變式3-3】若三角形的三邊長(zhǎng)度分別為2，2021，2022，則該三角形的形狀是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定【答案】B【解析】由題意知：長(zhǎng)度為2022的邊所對(duì)的角最大，其余弦值，則長(zhǎng)度為2022的邊所對(duì)的角為鈍角，故該三角形為鈍角三角形，故選：B【變式3-4】已知的三邊a?b?c滿(mǎn)足：，則此三角形是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．無(wú)法確定【答案】A【解析】因?yàn)?所以，兩邊同除以,得因?yàn)?所以.所以，即所以為銳角,又為最大角,所以此三角形是銳角三角形，故選：A題型四求邊或角的取值范圍【例4】若銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為，則的范圍是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，則設(shè)邊對(duì)的銳角為角，根據(jù)余弦定理得，解得；設(shè)邊對(duì)的銳角為，根據(jù)余弦定理得，解得，設(shè)邊對(duì)的銳角為角,根據(jù)余弦定理得恒成立;所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:.【變式4-1】已知鈍角三角形的邊長(zhǎng)分別為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】三角形的邊長(zhǎng)分別為，首先滿(mǎn)足，解得，因?yàn)槿切螢殁g角三角形，所以長(zhǎng)邊所對(duì)的角為鈍角，則滿(mǎn)足，解得，又，所以，故選：B【變式4-2】不等邊三角形中，角的對(duì)邊分別為，且最大邊滿(mǎn)足，則角的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)?所以,所以，又因?yàn)闉樽畲筮吳胰切问遣坏冗吶切?所以，所以,即得所以【變式4-3】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形?nèi)角，即，可得：.故選：C．【變式4-4】銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樵阡J角中，，所以，得，則所以，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以的最小值為.故選：B6.4.3課時(shí)1余弦定理【題型1已知兩邊與一角解三角形】1、中，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，且，，，那么滿(mǎn)足條件的三角形的個(gè)數(shù)有（）A．一個(gè)；B．兩個(gè)；C．0個(gè)；D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】有已知及余弦定理可得：故所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.故選：C2、在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則等于（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】根據(jù)余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.故選：D.3、已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，則（）A．6B．C．2D．【答案】B【解析】在菱形中，，，由余弦定理，所以.故選：B4、在中，角所對(duì)邊分別為．若，則______．【答案】【解析】由余弦定理得，解得5、在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】由余弦定理可得，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故選：B【題型2已知三邊解三角形】1、在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B等于（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，所以．故選：B2、在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B3、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則角A的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，或（舍），.故選：A．4、邊長(zhǎng)分別為5，6，7的三角形的最大角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由余弦定理可知：邊長(zhǎng)分別為5，6，7的三角形的最大角的大小是，則，所以邊長(zhǎng)分別為5，6，7的三角形的最大角的余弦值為.5、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，則cosA=__________.【答案】【解析】如圖，連接BD，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，于是得，解得.【題型3判斷三角形的形狀】1、在中，（分別為角的對(duì)邊），則一定是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.故選：B2、已知的三邊分別為，，，且，則是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定【答案】A【解析】設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，由可知，且,角C為最大角，由，所以有，即，得，中，由余弦定理得，所以最大角是銳角，故是銳角三角形.故選：A.3、在中，若，，則一定是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無(wú)法確定【答案】A【解析】由，根據(jù)余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，從?所以三角形為等邊三角形，故選:4、若三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，6，則這個(gè)三角形的形狀是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不能確定【答案】B【解析】大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)為6的邊所對(duì)的角為最大角，設(shè)為，則，故為鈍角，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形.故選：B5、（多選）在中，若，則的形狀可能為（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．不存在【答案】ABC【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理得，，整理得，解得或，?dāng)時(shí)，是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，當(dāng)且時(shí)，是等腰直角三角形.故選：ABC.【題型4求邊或角的取值范圍】1、已知△ABC是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝4，則最大的邊c的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，故，故，又三角形兩邊和大于第三邊，故，故故選：B2、銳角中，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．不確定【答案】C【解析】由于，所以的最大角是角或角，則且，故.故選：C.3、