7.1復(fù)數(shù)的概念重點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的概念；2、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；3、復(fù)數(shù)相等的條件；4、復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的模的概念難點(diǎn)：1、對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)式進(jìn)行分類；2、復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用；3、復(fù)數(shù)的幾何意義的理解與應(yīng)用一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1、定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實(shí)部是eq\a\vs4\al(a)，虛部是eq\a\vs4\al(b).2、虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號(hào)i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．3、表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．4、復(fù)數(shù)集：①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．【注意】復(fù)數(shù)概念說明：（1）復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個(gè)數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）復(fù)數(shù)的實(shí)部是a，虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.（3）復(fù)數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時(shí)才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．二、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi，（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；（3）當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；（4）當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：復(fù)數(shù)=【注意】復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系三、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.四、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面：當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對(duì)應(yīng)的．（2）一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)【注意】實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．3、復(fù)數(shù)的模（1）定義：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值（2）記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．五、共軛復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示，即當(dāng)z＝a＋bi(a，b∈R)時(shí)，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共軛復(fù)數(shù)是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時(shí)，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身；（2）在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，并且它們的模相等．題型一復(fù)數(shù)的概念與分類【例1】(多選)在給出的下列幾個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A．若x是實(shí)數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)B．若z是虛數(shù)，則z不是實(shí)數(shù)C．一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零D．－1沒有平方根【變式1-1】復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A．2B．C．2＋D．0【變式1-2】已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2B．－2C．D．4【變式1-3】已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式1-4】求實(shí)數(shù)的值，使得復(fù)數(shù)分別是：（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)．題型二復(fù)數(shù)相等及簡(jiǎn)單應(yīng)用【例2】若，是虛數(shù)單位，，則等于（）A．B．C．D．【變式2-1】已知，，是虛數(shù)單位，若，則（）A．B．2C．1D．0【變式2-2】已知復(fù)數(shù)，且，則______．【變式2-3】關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的值為____．題型三復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)【例3】若復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式3-1】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式3-2】歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式3-3】已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，（1）求點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；（2）求點(diǎn)Z在虛軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；（3）求點(diǎn)Z在第一象限時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型四復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量【例4】已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為和，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．【變式4-1】已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．【變式4-2】在復(fù)平面上向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，與垂直，且，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可以為______．【變式4-3】復(fù)數(shù)z滿足，為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z，，所對(duì)應(yīng)的向量為，，，已知，求的值.題型五復(fù)數(shù)的模及簡(jiǎn)單應(yīng)用【例5】若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．【變式5-1】已知復(fù)數(shù)、(i為虛數(shù)單位)、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，若四邊形OABC為平行四邊形(O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn))，則復(fù)數(shù)的模為（）A．B．C．2D．5【變式5-2】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則兩點(diǎn)之間距離的最大值為（）A．1B．3C．5D．7【變式5-3】已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A．B．5C．D．10【變式5-4】已知，復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，，則（）A．0B．0或-2C．1D．1或-2題型六與復(fù)數(shù)有關(guān)的圖形問題【例6】滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為（）A．B．C．D．.【變式6-1】若z是復(fù)數(shù)，且，則的最大值是（）A．12B．8C．6D．3【變式6-2】已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（）A．1B．C．D．2【變式6-3】已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且，則的最大值為（）A．1B．2C．3D．47.1復(fù)數(shù)的概念【題型1復(fù)數(shù)的概念與分類】1、給出下列幾個(gè)命題：①若是實(shí)數(shù)，則可能不是復(fù)數(shù)；②若是虛數(shù)，則不是實(shí)數(shù)；③一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；④沒有平方根．其中真命題的個(gè)數(shù)為__________．2、已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和4，則實(shí)數(shù)和的值分別是（）A．B．C．D．3、已知復(fù)數(shù)，其中，是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則的值為（）A．-1B．0C．1D．-1或14、已知z1，z2為復(fù)數(shù)．若命題p：z1-z2＞0，命題q：z1＞z2，則p是q成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5、下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法一定正確的是（）A．是虛數(shù)B．存在x使得是純虛數(shù)C．不是實(shí)數(shù)D．實(shí)部和虛部均為1【題型2復(fù)數(shù)相等及簡(jiǎn)單應(yīng)用】1、若，，則復(fù)數(shù)等于（）A．B．C．D．2、（多選）若，且，則等于（）A．4B．C．2D．03、方程的實(shí)數(shù)解________.4、已知復(fù)數(shù)，，若，則的取值范圍為____________；5、分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值．（1）；（2）.【題型3復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)】1、已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3、當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4、已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．5、當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件．（1）位于虛軸上；（2）位于第二象限；（3）位于直線上．【題型4復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量】1、若向量與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．2、在正方形OMNP中，若對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_____．3、復(fù)平面上給定四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其中四個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，則______．4、設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的向量分別為?，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.5、已知復(fù)數(shù)，m∈R．（1）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，求m的值．（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限，且與共線，求m的值以及方向的單位向量．【題型5復(fù)數(shù)的模及簡(jiǎn)單應(yīng)用】1、復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形是（）A．圓B．點(diǎn)C．線段D．直線2、若復(fù)數(shù)滿足條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，且，則（）A．B．C．2D．4、已知設(shè)，則，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．65、下列關(guān)于的說法中正確的有（）A．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離B．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離C．表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離D．表示坐標(biāo)為的向量的?！绢}