8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積重點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式及其應(yīng)用；難點(diǎn)：棱臺(tái)的表面積和體積公式的推導(dǎo)。一、多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．1、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開圖（1）棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng)；（2）棱錐的側(cè)面展開圖由若干個(gè)三角形組成；（3）棱臺(tái)的側(cè)面張開圖由若干個(gè)梯形組成。2、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積（1）棱柱的表面積：S棱柱（2）棱錐的表面積：S棱錐（3）棱臺(tái)的表面積：S二、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積1、棱柱的高和體積（1）棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個(gè)底面上任意一點(diǎn)，向另外一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面之間的交點(diǎn)）之間的距離，也就是垂線段的長(zhǎng)。（2）棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積S底和高h(yuǎn)的乘積，即V2、棱錐的高和體積（1）棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)到垂足（垂線與底面之間的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng)。（2）棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積S底和高h(yuǎn)的乘積的133、棱臺(tái)的體積：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h題型一棱柱的表面積計(jì)算【例1】如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)．若截面是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的表面積．【答案】【解析】設(shè)，則，．由題意得即解得從而．【變式1-1】已知正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，由題意得，解得，所以側(cè)面積為．故選：B【變式1-2】正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則它的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則高為，它的表面積為.故選:B.【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，沿圖1中對(duì)角面將它分割成兩個(gè)部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個(gè)截面，減少了原來兩個(gè)正方形面，由于截面為矩形，長(zhǎng)為，寬為，所以面積為，所以拼成的幾何體的表面積為.故選：C.題型二棱錐的表面積計(jì)算【例2】若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)檎忮F的底面邊長(zhǎng)等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，所以三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的側(cè)面積為.故選：A.【變式2-1】已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，則該三棱錐的表面積是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，正三棱錐中，，取的中點(diǎn)，連接，則在上，且，又，所以，所以，則，所以，故三棱錐的表面積為.故選：D【變式2-2】如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1B．1∶C．1∶D．1∶2【答案】C【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則表面積，因?yàn)槿忮F的各面均是正三角形，其邊長(zhǎng)為正方體側(cè)面對(duì)角線．則面對(duì)角線長(zhǎng)為，三棱錐D1-AB1C的表面積，所以.故選：C【變式2-3】已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，以該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐的一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則該正四棱錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】設(shè)正四棱錐的高為，側(cè)面三角形的高為，由題意，，得，所以該正四棱錐的側(cè)面積為故答案為：題型三棱臺(tái)的表面積計(jì)算【例3】已知正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1．求該三棱臺(tái)表面積．【答案】【解析】如圖，正三棱臺(tái)，分別為上下底面的中心，連接并延長(zhǎng)交于，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，連接?！叩冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為1，∴,∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，∴，所以該三棱臺(tái)表面積為：【變式3-1】已知一個(gè)正棱臺(tái)的上、下底面是邊長(zhǎng)分別為2、8的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該棱臺(tái)的表面積為（）A．148B．168C．193D．88【答案】A【解析】棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，高，所以一個(gè)側(cè)面積，所以該棱臺(tái)的表面積.故選：A【變式3-2】已知某正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)為1和3，高為1，則其側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖正六棱臺(tái)中，設(shè)上底面的中心為，下底面的中心為，過點(diǎn)作，則，，，所以，在側(cè)面中，，，，過點(diǎn)作，則，所以，所以，所以；故選：C【變式3-3】如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.【答案】（1）；（2）側(cè)面積；表面積.【解析】（1）設(shè)小棱錐的底面邊長(zhǎng)為，斜高為，則大棱錐的底面邊長(zhǎng)為，斜高為，所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，棱臺(tái)的側(cè)面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面積之比.（2）因?yàn)樾±忮F的底面邊長(zhǎng)為4cm，所以大棱錐的底面邊長(zhǎng)為8cm，因?yàn)榇罄忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側(cè)面積為，所以棱臺(tái)的側(cè)面積為，棱臺(tái)的上，下底面的面積和為，所以棱臺(tái)的表面積為.題型四棱柱的體積計(jì)算【例4】所有棱長(zhǎng)都為2的直三棱柱的體積為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】由題意，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，可得高為則底面正三角形的面積為，所以該直三棱柱的體積為.故選：B.【變式4-1】已知斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對(duì)側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（）A．30B．15C．10D．60【答案】B【解析】如圖，兩個(gè)斜三棱柱組成一個(gè)四棱柱，以斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面為四棱柱的底面，面積為，高，四棱柱的體積，則此斜三棱柱的體積為.故選：B【變式4-2】如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的三等分點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高度為，此時(shí)液體體積，因?yàn)?所以，,所以，解得.故選：A.【變式4-3】已知正六棱柱最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為13厘米，側(cè)面積為180平方厘米，則這個(gè)棱柱的體積為______．【答案】或【解析】因?yàn)檎庵铋L(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為13厘米，側(cè)面積為180平方厘米設(shè)底面邊長(zhǎng)為，高為則解得或則這個(gè)棱柱的體積為或故答案為:或.題型五棱錐的體積計(jì)算【例5】在正四棱錐中，，，則該四棱錐的體積是______．【答案】【解析】過點(diǎn)作平面，則為正方形的中心，連接，易知．因?yàn)椋?，又，所以，則四棱錐的體積.故答案為：.【變式5-1】已知正四棱錐，底面邊長(zhǎng)是，體積是，那么這個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)檎睦忮F，底面邊長(zhǎng)是，所以底面積為.設(shè)正四棱錐的高為h，由，所以.所以側(cè)棱長(zhǎng)為.即側(cè)棱長(zhǎng)為.故選：C【變式5-2】已知三棱錐的體積為1，、、分別為OA、OB、OC的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為___.【答案】【解析】三棱錐中，令點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)槭抢釵A的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為，又、分別為棱OB、OC的中點(diǎn)，則有，因此.【變式5-3】設(shè)三棱柱的體積為1，則四棱錐的體積為___________【答案】【解析】如圖，連結(jié)，，，.設(shè)的面積為，則的面積為，設(shè).由已知，所以.又，所以.所以.故答案為：.題型六棱臺(tái)的體積計(jì)算【例6】已知三棱臺(tái)中，三棱錐的體積為4，三棱錐的體積為8，則四面體的體積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，棱臺(tái)高為，由已知，得，，得，三棱臺(tái)的體積為，因?yàn)槠矫妫缘狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，即，所以三棱臺(tái)的體積，所以.故選：B.【變式6-1】某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長(zhǎng)分別為，的正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知，該四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，故該香料收納罐的容積為．故選：C．【變式6-2】正四棱臺(tái)的上，下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)2，則其體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：C.【變式6-3】如圖，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為的三棱臺(tái)中，過上底面一邊作一個(gè)平行于棱的平面，這個(gè)平面分三棱臺(tái)成兩部分，則＝________.【答案】【解析】因?yàn)槿馀_(tái)中，上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為，所以，設(shè)三棱臺(tái)的上底面面積為，則下底面面積為，高為，，.設(shè)剩余的幾何體的體積為V，則V＝，所以，.故答案為：8.3.1棱柱、棱柱、棱臺(tái)的表面積和體積【題型1棱柱的表面積計(jì)算】1、如圖，是棱長(zhǎng)都為2的直平行六面體，且，則這個(gè)直平行六面體的表面積為（）A．16B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知：底面是菱形，且，，所以,所以底面的面積為：，又因?yàn)槊總€(gè)側(cè)面的面積都是，所以這個(gè)直平行六面體的表面積為，故選：D2、正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積擴(kuò)大到原來的（）A．2倍B．12倍C．18倍D．36倍【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則其表面積為，故正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積為，擴(kuò)大到原來的36倍，故選：D3、已知一個(gè)直四棱柱的高為2，其底面ABCD水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）是邊長(zhǎng)為1的正方形，則這個(gè)直四棱柱的表面積為（）A．10B．C．D．【答案】C【解析】由于直觀圖是正方形，所以ABCD是兩鄰邊分別為1與3，高為的平行四邊形，其周長(zhǎng)是，面積是，所以直四棱柱的表面積是.故選：C4、若斜三棱柱的高為，側(cè)棱與底面所成角為，相鄰兩側(cè)棱之間距離為5，則該三棱柱的側(cè)面積等于______.【答案】120【解析】設(shè)是斜三棱柱的高，因此側(cè)棱與底面所成角為，所以有，因?yàn)橄噜弮蓚?cè)棱之間距離為5，所以該三棱柱的側(cè)面積等于，故答案為：1205、正六棱柱高5，最長(zhǎng)的對(duì)角線為13，則它的側(cè)面積是______.【答案】180【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則底面上最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為，所以由，解得，所以側(cè)面積為．故答案為：．【題型2棱錐的側(cè)面積與表面積】1、已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個(gè)三棱錐的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，，由題意是等腰直角三角形，則，則表面積為.故選：C.2、一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正四棱錐的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下圖所示，在正四棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，則四棱錐的高，則為的中點(diǎn)，且，，取的中點(diǎn)，連接，則，且，，故正四棱錐的表面積為.故選：B.3、在正六棱錐中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，求正六棱錐的側(cè)面積和表面積.【答案】側(cè)面積為，表面積為．【解析】因?yàn)檎忮F中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，故側(cè)面斜高為，故側(cè)面積.又底面為邊長(zhǎng)為的正六邊形，可看成6個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組合，故底面面積為，故表面積為.綜上，正六棱錐的側(cè)面積為，表面積為.4、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為__________．【答案】【解析】六個(gè)面的中心構(gòu)成的多面體共8個(gè)面，每個(gè)側(cè)面都是全等的正三角形，且正三角形的邊長(zhǎng)為，所以表面積為．故答案為：5、已知正四面體的表面積為，其四個(gè)面的中心分別為，設(shè)四面體的表面積為，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，正四面體四個(gè)面的中心分別為、、、，四面體也是正四面體．連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．、分別為面的中心，．．又，．面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；．故選：．【題型3棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積】1、已知正三棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，求它的側(cè)面積．【答案】.【解析】如圖，作出正三棱臺(tái)，過點(diǎn)B作BM⊥B1C1于點(diǎn)M.，易知在Rt△BB1M中，B1M＝1，BB1＝，故BM＝＝，所以側(cè)面積為3××(2＋4)×＝.2、“斗”不僅是我國(guó)古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺(tái)，上底面是邊長(zhǎng)為的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計(jì)，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正四棱臺(tái)，上底面是邊長(zhǎng)為的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，四棱臺(tái)的側(cè)面均為等腰梯形，則其高為，所以“斗”的所有側(cè)面的面積之和為，下底面的面積為，所以.故選:A.3、已知某個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)和高的比為，若側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則下底面邊長(zhǎng)為，高為，上底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，下底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，又側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，解得，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該棱臺(tái)的側(cè)面積為.故選：A.4、一個(gè)幾何體共有六個(gè)側(cè)面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長(zhǎng)為10cm，下底長(zhǎng)為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．【答案】【解析】如圖所示其中一個(gè)等腰梯形,分別過A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分別為垂足，則四邊形AEFB為矩形.其中EF=AB=9,，所以.所以該幾何體的側(cè)面積,上下底面積的和，所以該幾何體的全面積.5、正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為和.（1）若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺(tái)的側(cè)面積；（2）若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如圖，設(shè)、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺(tái)的斜高，由題意知，，又，∴斜高，∴；（2）由題意知，，∴，∴，又，.【題型4棱柱的體積計(jì)算】1、設(shè)正四棱柱的一條對(duì)角線長(zhǎng)為3，它的底面積是4，則它的體積是（）A．4B．8C．D．4或【答案】A【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則且，解得，，所以正四棱柱的體積為.故選：A.2、如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么該四棱柱的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面，，，該四棱柱的體積為．故選：C．3、斜三棱柱中，側(cè)面BB1C1C的面積為S，側(cè)棱AA1到側(cè)面BB1C1C的距離為a，則該斜三棱柱的體積為（）A．B．C．D．Sa【答案】C【解析】在斜三棱柱的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)三棱柱，使之成為一個(gè)平行六面體，如圖，顯然，它的體積為，所以斜三棱柱的體積為.故選：C4、已知銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16，高為4，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊，如果不計(jì)損耗，那么鑄成銅塊的棱長(zhǎng)為______．【答案】4【解析】五棱柱的底面積為16，高為4，所以體積為，將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊體積不變，所以銅塊的棱長(zhǎng)為4.故答案為：4.5、設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為5，那么它的體積為______．【答案】【解析】由正六棱柱可得底面為正六邊形，則底面積，即正六棱柱的體積.故答案為：.【題型5棱錐的體積計(jì)算】1、已知正四棱錐的高為3，底面邊長(zhǎng)為，則該棱錐的體積為（）A．6B．C．2D．【答案】C【解析】根據(jù)棱錐的體積公式得該棱錐的體積為故選：C.2、正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，則它的體積是______.【答案】【解析】如圖所示，正四棱錐棱長(zhǎng)均為1，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱錐的體積.故答案為:.3、已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，體積為，則底面的中心O到側(cè)面PAB的距離是______.【答案】【解析】如圖，延長(zhǎng)交于，則是中點(diǎn)，且，連接，平面，平面，∴，同理，，平面，∴平面，過作于，即平面，則，，平面，∴平面，的長(zhǎng)即為O到側(cè)面PAB的距離，由已知，,在中，，，．故答案為：．4、如圖，在三棱錐中，，且，則三棱錐體積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，且，∴，作于D，則，設(shè)三棱錐的高為，∴..故選：A.【題型6棱臺(tái)的體積計(jì)算】1、在正四棱臺(tái)中，