陜西省西安市長安第一中學(xué)2025年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.2．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.3．若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.數(shù)列一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列一定是等差數(shù)列C.數(shù)列一定是等差數(shù)列 D.數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列5．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.56．某校開學(xué)“迎新”活動(dòng)中要把3名男生，2名女生安排在5個(gè)崗位，每人安排一個(gè)崗位，每個(gè)崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.367．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為（）A. B.C. D.8．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為9．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.10．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，11．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.0C.1 D.212．若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為A. B.C.8 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知遞增數(shù)列共有2021項(xiàng)，且各項(xiàng)均不為零，，如果從中任取兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，則的范圍是________________，數(shù)列的所有項(xiàng)和________14．某人實(shí)施一項(xiàng)投資計(jì)劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個(gè)項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計(jì)未來十年每年工資都會(huì)逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動(dòng)轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計(jì)劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）15．已知曲線的方程是，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線有4條對稱軸；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1；④曲線所圍成圖形的面積大于4；其中，所有正確結(jié)論的序號是_____16．若，滿足不等式組，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，前7項(xiàng)和為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)在處取得極值時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)臉O大值不小于時(shí)，求的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.21．（12分）已知直線l過點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程22．（10分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得，，，（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況，并預(yù)測當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲(chǔ)蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A2、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上3、C【解析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.4、B【解析】可根據(jù)已知條件，設(shè)出公差為，選項(xiàng)A，可借助等比數(shù)列的定義使用數(shù)列是等差數(shù)列，來進(jìn)行判定；選項(xiàng)B，數(shù)列，可以取，即可判斷；選項(xiàng)C，可設(shè)，表示出再進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D，可采用換元，令，求得的關(guān)系即可判斷.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時(shí)，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項(xiàng)正確.故選：B.5、A【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求z的最小值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時(shí)，z取最小值.故選：A.6、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個(gè)崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A7、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，，的關(guān)系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時(shí)的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn)，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，此時(shí)故選：D8、D【解析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率為，D選項(xiàng)正確.故選：D9、A【解析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】若直線的傾斜角為，則，當(dāng)時(shí)，為鈍角，當(dāng)，，當(dāng)，為銳角；當(dāng)不存在時(shí)，傾斜角為，對A：，顯然傾斜角為鈍角；對B：，傾斜角為銳角；對C：，傾斜角為銳角；對D：不存在，此時(shí)傾斜角為直角.故選：A.10、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B11、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?故選：C12、A【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.1011【解析】根據(jù)題意得到，得到，，，，進(jìn)而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數(shù)列共有項(xiàng)，各項(xiàng)均不為零，且，所以，所以的范圍是，因?yàn)闀r(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，即，且上述的每一項(xiàng)均在數(shù)列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.14、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時(shí)的總收入，利用錯(cuò)位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，2022年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，則結(jié)算時(shí)的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2415、②③④【解析】根據(jù)曲線方程作出曲線，即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【詳解】曲線的簡圖如下：根據(jù)圖象以及方程可知，曲線C恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn),它們是，，，所以①不正確；由圖可知，曲線有4條對稱軸，它們分別是軸，軸，直線和，②正確；由圖可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1，③正確；由圖可知，曲線所圍成圖形的面積等于，④正確故答案為：②③④16、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)最大值,即為平移直線的最大縱截距,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大為10.故答案為10.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.18、(1)(2).【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)；（2）先明確=，為等差乘等比型通項(xiàng)故只需用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)論.解析：（Ⅰ）由，得因?yàn)樗裕á颍?9、（1）；（2）.【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求出m，并驗(yàn)證此時(shí)函數(shù)在x=1處取得極值，進(jìn)而求得答案；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，然后求出m的范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，此時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，即在處取得極小值，故.【小問2詳解】，令，解得.時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.，即的取值范圍是.20、（1）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間（2）最大值，最小值【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，在閉區(qū)間內(nèi)的最值【小問1詳解】時(shí)，；時(shí)，單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值為又；故最小值為021、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l的斜率，由點(diǎn)斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0