2025年廣東省廣州市順德區(qū)廣州第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.22．已知集合，則（）A. B.C. D.3．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列中，，，是的前n項和，則（）A. B.C. D.5．已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.27．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.18．散點圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.29．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.210．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.1011．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)將兩個班的藝術(shù)類考生報名表分別裝進2個檔案袋，第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一個檔案袋，然后從中隨機抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率18．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程19．（12分）在二項式展開式中，第3項和第4項的二項式系數(shù)比為.（1）求n的值及展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項.20．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項和為Tn，證明：21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍22．（10分）排一張有6個歌唱節(jié)目和5個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點到直線距離公式計算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點不為雙曲線的頂點時，可得，即當(dāng)點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B4、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項和，則.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運用裂項相消求和法.5、B【解析】求出，根據(jù)點到直線的距離的向量公式進行求解.【詳解】因為，為的一個方向向量，所以點到直線的距離.故選：B6、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B8、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C9、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A10、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A11、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B12、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，14、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內(nèi)，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.16、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：18、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點坐標(biāo)，根據(jù)的斜率，應(yīng)用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據(jù)弦心距、弦長、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.19、（1），常數(shù)項為（2）5【解析】（1）求出二項式的通項公式，求出第3項和第4項的二項式系數(shù)，再利用已知條件列方程求出的值，從而可求出常數(shù)項，（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，從而可求出結(jié)果【小問1詳解】二項式展開式的通項公式為，因為第3項和第4項的二項式系數(shù)比為，所以，化簡得，解得，所以，令，得，所以常數(shù)項為【小問2詳解】設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，，解得，因為，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項是第5項20、（1）證明見解析；bn=2n（2）證明見解析【解析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項相消法求和后就可以證明不等式.【小問1詳解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首項，公比為2的等比數(shù)列所以.【小問2詳解】易得于是所以因為，所以.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)實數(shù)a的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)a≤0時，在(0，＋∞)上恒成立；當(dāng)a＞0時，令得；令得；綜上：a≤0時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【