（2016-2025）十年高考真題分類匯編（2016-2025）十年高考真題分類匯編PAGE2PAGE1專題08概率統(tǒng)計及數(shù)字特征解答題綜合（五大考點，61題）考點十年考情(2016-2025)命題趨勢考點1：獨立性檢驗為載體及其應用2025全國一卷：研究疾病與超聲波檢查結果關系的獨立性檢驗；2024全國甲卷：甲、乙車間產(chǎn)品優(yōu)級品率差異的獨立性檢驗；2024上海卷：體育鍛煉時長與學業(yè)成績關系的獨立性檢驗；2023全國甲卷：臭氧效應下小白鼠體重增加量差異的獨立性檢驗；2022新高考全國Ⅰ卷：疾病與衛(wèi)生習慣關系的獨立性檢驗；2022全國甲卷：長途客車準點與所屬公司關系的獨立性檢驗；2021全國甲卷：甲、乙機床產(chǎn)品質(zhì)量差異的獨立性檢驗；2020全國III卷：空氣質(zhì)量與鍛煉人次關系的獨立性檢驗；2020山東卷：空氣質(zhì)量中SO?和PM2.5濃度關系的獨立性檢驗；2019全國I卷：男、女顧客對商場服務評價差異的獨立性檢驗；2018全國III卷：兩種生產(chǎn)方式效率差異的獨立性檢驗；2017全國II卷：新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖產(chǎn)量差異的獨立性檢驗。獨立性檢驗在高考中考查頻率較高，主要圍繞實際問題，如疾病與檢查結果、產(chǎn)品質(zhì)量、生產(chǎn)效率等，通過列聯(lián)表計算卡方值，與臨界值比較來判斷變量間是否有關聯(lián)，是考查的熱點?？键c2：線性回歸相關系數(shù)的計算2022全國乙卷：樹木根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)計算及總材積量估計；2020全國II卷：野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積的相關系數(shù)計算；2017全國I卷：零件尺寸的相關系數(shù)計算及生產(chǎn)過程判斷；2016全國III卷：生活垃圾無害化處理量與年份的線性回歸分析及相關系數(shù)說明。線性回歸相關系數(shù)的考查主要涉及實際數(shù)據(jù)，如樹木材積量、野生動物數(shù)量等，通過公式計算相關系數(shù)，判斷變量間線性相關程度，進而進行預測，是重點考查內(nèi)容?？键c3：賽事類的分布列及期望方差2025上海卷：奧運會男子混合泳接力成績的極差、中位數(shù)計算及成績預測；2024新課標Ⅱ卷：投籃比賽中比賽成績的概率及期望計算；2023新課標Ⅰ卷：投籃規(guī)則下投籃人概率及投籃次數(shù)期望計算；2022全國甲卷：學校體育比賽中獲冠軍概率及乙校得分分布列與期望；2022北京卷：鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎概率、總人數(shù)期望及冠軍得主判斷；2021新高考全國Ⅰ卷：知識競賽中累計得分分布列及期望；2020全國I卷：羽毛球比賽中連勝概率、比賽場數(shù)概率及丙獲勝概率；2019全國II卷：乒乓球比賽中比賽結束球數(shù)概率計算；2016山東卷：猜成語活動中得分分布列及期望。賽事類問題在高考中常見，以投籃、比賽等為背景，考查分布列的構建，計算各得分情況的概率，進而求出數(shù)學期望，是考查的重要方向?？键c4：二項分布及其應用2025全國二卷：乒乓球練習中得分概率及相關證明；2025北京卷：考試答題中選擇正確概率、得分期望及掌握知識點概率比較；2023北京卷：農(nóng)產(chǎn)品價格變化概率及價格情況概率計算；2022新高考全國Ⅱ卷：疾病患者年齡概率及特定年齡患病概率計算；2018全國I卷：產(chǎn)品檢驗中不合格品概率及檢驗決策；2019天津卷：上學到校情況的二項分布及期望；2020北京卷：活動支持情況的概率計算；2018北京卷：電影好評概率及相關判斷；2016全國II卷：保險保費概率及平均保費計算。二項分布在高考中多結合實際場景，如產(chǎn)品檢驗、考試答題、保險等，考查概率計算及期望，是重點考查內(nèi)容之一?？键c5：概率統(tǒng)計的實際應用2024北京卷：保險產(chǎn)品索賠情況中索賠概率及毛利潤期望計算；2023新課標Ⅱ卷：疾病指標臨界值確定及相關函數(shù)最小值計算；2023全國乙卷：工藝處理橡膠產(chǎn)品伸縮率差異的檢驗；2021全國乙卷：新舊設備產(chǎn)品指標均值差異檢驗；2019全國III卷：離子殘留程度的平均值計算；2020全國I卷：加工產(chǎn)品等級概率及平均利潤；2020江蘇卷：口袋取球的概率及期望；2019北京卷：支付方式使用概率及相關判斷；2018全國II卷：環(huán)境基礎設施投資額預測；2019全國II卷：企業(yè)產(chǎn)值增長率的比例及平均數(shù)與標準差估計。概率統(tǒng)計的實際應用在高考中廣泛涉及保險、醫(yī)療、工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟等領域，通過數(shù)據(jù)處理、概率計算、統(tǒng)計分析解決實際問題，是考查的熱點趨勢?？键c01：獨立性檢驗為載體及其應用1．（2025·全國一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結果的關系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000(1)記超聲波檢查結果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結果是否與患該疾病有關.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)有關〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想,求出,然后與小概率值對應的臨界值比較,即可判斷.【詳析】（1）根據(jù)表格可知，檢查結果不正常的人中有人患病，所以的估計值為；（2）零假設為：超聲波檢查結果與患病無關，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為超聲波檢查結果與患該病有關，該推斷犯錯誤的概率不超過.2．（2024·全國甲卷·高考真題）某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見詳析(2)答案見詳析〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結合題意分析判斷.【詳析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.3．（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？（附：其中，．）【答案】(1)(2)(3)有〖祥解〗（1）求出相關占比，乘以總人數(shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結論.【詳析】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關．其中．．則零假設不成立，即有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關．4．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

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22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能〖祥解〗（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳析】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.5．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

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18.8

19.219.8

20.2

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22.8

23.6

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25.1

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32.3

36.5(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能〖祥解〗（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳析】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420試驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.6．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；〖祥解〗(1)由所給數(shù)據(jù)結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結合已知數(shù)據(jù)求.【詳析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以7．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)A，B兩家公司長途客車準點的概率分別為，(2)有〖祥解〗（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算，再利用臨界值表比較即可得結論.【詳析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準點班次有240次，設A家公司長途客車準點事件為M，則；B共有班次240次，準點班次有210次，設B家公司長途客車準點事件為N，則.A家公司長途客車準點的概率為；B家公司長途客車準點的概率為.（2）列聯(lián)表準點班次數(shù)未準點班次數(shù)合計A24020260B21030240合計45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.8．（2021·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.〖祥解〗根據(jù)給出公式計算即可【詳析】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.9．（2020·全國III卷·高考真題）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.050

0.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.〖祥解〗（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結合臨界值表可得結論.【詳析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關.【『點石成金』】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.10．（2020·山東·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.〖祥解〗（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【『點石成金』】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.11．（2020·海南·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：

3218468123710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0.050

0.010

0.0013.841

6.63510.828【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.〖祥解〗（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【『點石成金』】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.12．（2019·全國I卷·高考真題）某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）；（2）能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.〖祥解〗（1）從題中所給的列聯(lián)表中讀出相關的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應的頻率，即估計得出的概率值；（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【詳析】（1）由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人，所以男顧客對商場服務滿意率估計為,50名女顧客對商場滿意的有30人，所以女顧客對商場服務滿意率估計為,（2）由列聯(lián)表可知，所以能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【『點石成金』】該題考查的是有關概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利用列聯(lián)表計算的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.13．（2018·全國III卷·高考真題）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析（2）80（3）能【詳析】分析：（1）計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可．（2）計算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表．（3）由公式計算出，再與6.635比較可得結果．詳析：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2）由莖葉圖知.列聯(lián)表如下：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515（3）由于，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.『點石成金』：本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗，考查學生的計算能力和分析問題的能力，貼近生活．14．（2017·全國II卷·高考真題）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計A的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行較．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.62（2）有99%的把握（3）新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法【詳析】試題分析：(1)由頻率近似概率值，計算可得舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.62.據(jù)此，事件A的概率估計值為0.62.(2)由題意完成列聯(lián)表，計算K2的觀測值k＝≈15.705＞6.635，則有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．試題解析：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測值k＝≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關．(3)由頻率分布直方圖可得：舊養(yǎng)殖法100個網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；新養(yǎng)殖法100個網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；比較可得：12，故新養(yǎng)殖法更加優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．『點石成金』：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋．15．（2017·全國II卷·高考真題）（2017新課標全國II理科）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：

(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．附：，【答案】(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有；(3).〖祥解〗（1）利用相互獨立事件概率公式即可求得事件A的概率估計值.（2）寫出列聯(lián)表計算的觀測值，即可確定有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關.（3）結合頻率分布直方圖估計中位數(shù)為．【詳析】（1）記表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于”，表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為，即的估計值為0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為，即的估計值為0.66，因此事件A的概率估計值為.（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量合計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計96104200，所以有的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關.（3）因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為，所以新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為.考點02：線性回歸相關系數(shù)的計算16．（2022·全國乙卷·高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關系數(shù)．【答案】(1)；(2)(3)〖祥解〗（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關系數(shù)值；（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．【詳析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為17．（2020·全國II卷·高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關系數(shù)r=，≈1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析〖祥解〗（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣.【詳析】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.18．（2017·全國I卷·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：）．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經(jīng)計算得，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．（1）求的相關系數(shù)，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小（若，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小）．（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（?。倪@一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差．（精確到）附：樣本的相關系數(shù)，．【答案】（1）可以；（2）（?。┬枰唬áⅲ?，.〖祥解〗（1）依公式求；（2）（i）由，得抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查；（ii）剔除第13個數(shù)據(jù)，則均值的估計值為10.02，方差為0.09．【詳析】（1）由樣本數(shù)據(jù)得的相關系數(shù)為.由于，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小.（2）（i）由于，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.（ii）剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為.【『點石成金』】解答新穎的數(shù)學題時，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學思想方法，以“新”制“新”，應特別關注創(chuàng)新題型的切入點和生長點．19．（2016·全國III卷·高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646.參考公式：相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【詳析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關系數(shù)的公式求出相關數(shù)據(jù)后，代入公式即可求得的值，最后根據(jù)值的大小回答即可；（Ⅱ）準確求得相關數(shù)據(jù)，利用最小二乘法建立y關于t的回歸方程，然后預測．試題解析：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，.因為與的相關系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，關于的回歸方程為：.將2016年對應的代入回歸方程得：.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.【考點】線性相關系數(shù)與線性回歸方程的求法與應用．【方法點撥】（1）判斷兩個變量是否線性相關及相關程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關數(shù)據(jù)代入相關系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進行判斷．求線性回歸方程時要嚴格按照公式求解，并一定要注意計算的準確性．考點03：賽事類的分布列及期望方差20．（2025·上?！じ呖颊骖}）2024年巴黎奧運會，中國獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運會男子米混合泳接力項目冠軍成績記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；(2)從這10個數(shù)據(jù)中任選3個，求恰有2個數(shù)據(jù)在211以上的概率；(3)若比賽成績y關于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預測2028年冠軍隊的成績（精確到0.01秒）．【答案】(1)；；(2)(3)〖祥解〗（1）由最長與最短用時可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成績平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預測可得.【詳析】（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，則極差為；數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，則中位數(shù)為.故極差為，中位數(shù)為；（2）由題意，數(shù)據(jù)共個，以上數(shù)據(jù)共有個，故設事件“恰有個數(shù)據(jù)在以上”，則，故恰有個數(shù)據(jù)在以上的概率為；（3）由題意，成績的平均數(shù)，由直線過，則，故回歸直線方程為.當時,.故預測年冠軍隊的成績?yōu)槊?21．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；〖祥解〗（1）根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳析】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應該由甲參加第一階段比賽.【『點石成金』】關鍵點『點石成金』：本題第二問的關鍵是計算出相關概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關系，最后得到結論.22．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【『點石成金』】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．23．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.〖祥解〗（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.24．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙〖祥解〗(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳析】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.25．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．〖祥解〗（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．26．（2020·全國I卷·高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.〖祥解〗（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內(nèi)結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳析】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【『點石成金』】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.27．（2019·全國II卷·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）；（2）0.1〖祥解〗(1)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果；(2)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果．【詳析】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以【『點石成金』】本題考查古典概型的相關性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．28．（2016·山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【詳析】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到的分布列，根據(jù)期望公式求解.試題解析：（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.由題意，由事件的獨立性與互斥性，,所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機變量的分布列為012346P所以數(shù)學期望.【考點】獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和數(shù)學期望【名師『點石成金』】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等.考點04：二項分布及其應用29．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進行乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分．設每個球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負相互獨立，對正整數(shù)，記為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)證明：對任意正整數(shù)m，．【答案】(1)，(2)(3)證明過程見解析〖祥解〗（1）直接由二項分布概率計算公式即可求解；（2）由題意，聯(lián)立，即可求解；（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得證.【詳析】（1）為打完3個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場，故所求為，為打完4個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場或四場，故所求為；（2）由（1）得，，同理，若，，則，由于，所以，解得；（3）我們有.以及.至此我們得到，，同理有，.故，即.另一方面，由于且同理有.故結合，就能得到，即，證畢.30．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項選擇題考查了某個知識點，甲、乙兩校的高一年級學生都參加了這次考試.為了解學生對該知識點的掌握情況，隨機抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學生選擇正確的人數(shù)為75.假設學生之間答題相互獨立，用頻率估計概率.(1)估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級學生中各隨機抽取1名，設X為這2名學生中該題選擇正確的人數(shù)，估計的概率及X的數(shù)學期望；(3)假設：如果沒有掌握該知識點，學生就從題目給出的四個選項中隨機選擇一個作為答案；如果掌握該知識點，甲校學生選擇正確的概率為，乙校學生選擇正確的概率為.設甲、乙兩校高一年級學生掌握該知識點的概率估計值分別為，，判斷與的大?。ńY論不要求證明）.【答案】(1)(2)，(3)〖祥解〗（1）用頻率估計概率即可求解；（2）利用獨立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設可得關于的方程，求出其解后可得它們的大小關系.【詳析】（1）估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率.（2）設為“從甲校抽取1人做對”，則，，設為“從乙校抽取1人做對”，則，，設為“恰有1人做對”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設為“甲校掌握這個知識點的學生做該題”，因為甲校掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，故，即，故，同理有，，故，故.31．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；(2)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)不變〖祥解〗（1）計算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進行推斷第天的情況.【詳析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.32．（2023·上?！じ呖颊骖}）21世紀汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立；(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個抽獎活動，并規(guī)定，在一次抽獎中，每人可以一次性抽取兩個汽車模型。為了得到獎品類型，現(xiàn)作出如下假設：假設1：每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結果：①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色；③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。假設2：該抽獎設置三類獎，獎金金額分別為：一等獎600元，二等獎300元，三等獎150元。假設3：每種抽取的結果都對應一類獎。出現(xiàn)某種結果的概率越小，獎金金額越高。請判斷以上三種結果分別對應幾等獎。設中獎的獎金數(shù)是，寫出的分布，并求的數(shù)學期望?！敬鸢浮?1)，事件相互獨立；(2)分布列見解析，271元.〖祥解〗（1）根據(jù)給定數(shù)表，利用古典概率求出，再利用相互獨立事件的定義判斷作答.（2）求出三種結果的概率，按給定的假設2，3確定獎金額與對應的概率列出分布列，求出期望作答.【詳析】（1）由給定的數(shù)表知，，，，而，因此事件相互獨立，所以，事件相互獨立.（2）設事件：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件：外觀內(nèi)飾都異色，事件：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，依題意，；；，則，因此抽取的兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色是一等獎；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎；外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎，獎金額的可能值為：，獎金額的分布列：600300150獎金額的期望（元）.33．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．〖祥解〗（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳析】（1）平均年齡

（歲）．（2）設“一人患這種疾病的年齡在區(qū)間”，所以．（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．34．（2018·全國I卷·高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.〖祥解〗（1）方法一：利用獨立重復實驗成功次數(shù)對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；（2）方法一：先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.【詳析】（1）［方法一］：【通性通法】利用導數(shù)求最值件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．，當且僅當，即可得所求．（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.【整體點評】（1）方法一：利用導數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解．35．（2019·天津·高考真題）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）〖祥解〗(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學期望即可；(Ⅱ)由題意結合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳析】(Ⅰ)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望.(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【『點石成金』】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.36．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.【詳析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【『點石成金』】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.37．（2018·北京·高考真題）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．【答案】(1)概率為0.025(2)概率估計為0.35(3)>>=>>【詳析】分析：(1)先根據(jù)頻數(shù)計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率，(2)恰有1部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事件的概率，再相加得結果，(3)服從0-1分布，因此，即得>>=>>．詳析：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．（Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由題意知：P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2．故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．『點石成金』：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式:若A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).38．（2016·全國II卷·高考真題）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23．【詳析】試題分析：試題解析：（Ⅰ）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故（Ⅱ）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故又，故因此所求概率為（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為【考點】條件概率，隨機變量的分布列、期望【名師『點石成金』】條件概率的求法：（1）定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；（2）基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）＝.求離散型隨機變量均值的步驟：（1）理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；（2）求X取每個值時的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值定義求出EX．39．（2016·北京·高考真題）A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.8（Ⅰ）試估計C班的學生人數(shù)；（Ⅱ）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時）.這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小.（結論不要求證明）【答案】（Ⅰ）40；（Ⅱ）；（III）.【詳析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表，結合分層抽樣的抽樣比計算C班的學生人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件