（2016-2025）十年高考真題分類匯編（2016-2025）十年高考真題分類匯編PAGE2PAGE1專題27直線與圓填選題綜合（四大考點，69題）考點十年考情(2016-2025)命題趨勢考點1:直線與方程2025?上海卷：三角形面積的最值問題；2024?北京卷：點集的距離最大值與圖形面積；2020?全國III卷：點到直線距離的最大值；2020?山東卷：直線關(guān)于點對稱的方程、由直線斜率和截距判斷角的象限；2019?北京卷：參數(shù)方程化為普通方程及點到直線距離；2016?北京卷：圓心到直線的距離、線段上點的代數(shù)式最值1.直線方程的求解、點到直線距離公式是核心，常與三角形面積、最值問題結(jié)合。2.涉及直線的斜率、截距、對稱等性質(zhì)，注重數(shù)形結(jié)合思想的考查。考點2:圓的方程2025?全國一卷：圓上到直線距離為定值的點的個數(shù)與半徑范圍；2024?北京卷：圓心到直線的距離；2023?全國乙卷：圓環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率問題；2023?上海卷：由圓的面積求參數(shù)；2022?北京卷：直線為圓的對稱軸時參數(shù)的求解；2022?全國乙卷：過三點的圓方程；2022?全國甲卷：過定點且圓心在定直線上的圓方程；2020?全國I卷：圓中弦長的最小值；2020?北京卷：圓的圓心到原點距離的最小值；2020?山東卷：圓心已知且與y軸相切的圓方程；2018?全國III卷：圓上點到直線距離的面積范圍；2018?北京卷：單位圓上點到直線距離的最大值；2018?天津卷：過三點的圓方程；2017?全國卷：以線段為直徑的圓方程；2017?天津卷：與拋物線準(zhǔn)線相關(guān)的圓方程；2017?北京卷：極坐標(biāo)圓上點到定點距離的最小值；2016?四川卷：圓與動點的向量模最值；2016?天津卷：圓心在x軸正半軸的圓方程；2016?浙江卷：方程表示圓時的圓心和半徑1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化是基礎(chǔ)，常涉及圓心、半徑的求解。2.與距離、面積、概率等結(jié)合，注重圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，如弦長、圓心距等?？键c3:直線與圓的位置關(guān)系2025?天津卷：弦長與半徑的關(guān)系；2024?全國甲卷：弦長的最小值（兩題）；2024?新課標(biāo)II卷：拋物線準(zhǔn)線、圓切線等綜合問題；2023?新課標(biāo)I卷：切線夾角的正弦值；2023?全國甲卷：雙曲線漸近線與圓的弦長；2023?全國乙卷：圓上點的代數(shù)式最大值；2023?新課標(biāo)II卷：弦長與參數(shù)的關(guān)系；2023?天津卷：切線與拋物線交點的距離；2022?上海卷：點集與直線的位置關(guān)系；2022?新高考全國II卷：對稱直線與圓的位置關(guān)系；2022?天津卷：弦長與參數(shù)的關(guān)系、切線長；2021?北京卷：弦長最小值求參數(shù)；2021?新高考全國I卷：圓上點到直線距離及角的最值；2020?全國II卷：圓與坐標(biāo)軸相切時圓心到直線的距離；2020?全國I卷：切線與直線方程；2020?全國III卷：直線與曲線和圓都相切的方程；2018?天津卷：參數(shù)方程直線與圓的面積；2018?全國I卷：直線與圓的弦長；2018?江蘇卷：圓與動點的向量數(shù)量積；2016?全國III卷：直線與圓的弦長及相關(guān)距離（兩題）；2016?全國I卷：弦長與圓面積1.直線與圓的相切、相交是高頻考點，涉及切線方程、弦長公式、圓心到直線距離等。2.常與函數(shù)、圓錐曲線等結(jié)合，注重綜合運用幾何性質(zhì)與代數(shù)運算的能力?？键c4:圓與圓的位置關(guān)系2022?新高考全國I卷：兩圓的公切線方程；2022?全國甲卷：雙曲線漸近線與圓相切求參數(shù)；2020?上海卷：向量與圓的交點個數(shù)；2016?山東卷：兩圓位置關(guān)系的判斷1.兩圓的位置關(guān)系（外切、相交等）判斷及公切線方程是重點。2.常與其他曲線（如雙曲線）結(jié)合，考查圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用?？键c01：直線與方程1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知A(0,1),B(1,2)，C在Γ:x2-yA．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A〖祥解〗設(shè)出曲線上一點為(a,b)，得出a=b2+1，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于b的函數(shù)【詳析】設(shè)曲線上一點為(a,b)，則a2-bkAB=2-11-0=1，AB根據(jù)點到直線的距離公式，(a,b)到AB的距離為：a-b+12設(shè)f(b)=b由于b≥0，顯然f(b)關(guān)于b單調(diào)遞減，f(b)即△ABC中，AB邊上的高有最大值，無最小值，又AB一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A2．（2024·北京·高考真題）已知M=x,y|y=x+tx2-x,1≤x≤2,0≤t≤1是平面直角坐標(biāo)系中的點集.A．d=3，S<1 B．d=C．d=10，S<1 D．d=【答案】C〖祥解〗先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域y≤x2【詳析】對任意給定x∈1,2，則x2-x=x可知x≤x+tx2-x再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域y≤x如圖陰影部分所示，其中A1,1可知任意兩點間距離最大值d=AC陰影部分面積S<S故選：C.【『點石成金』】方法『點石成金』：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．3．（2020·全國III卷·高考真題）點(0，﹣1)到直線y=kx+1距離的最大值為（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B〖祥解〗首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點P(-1,0)，設(shè)A(0,-1)，當(dāng)直線y=k(x+1)與AP垂直時，點A到直線y=k(x+1)距離最大，即可求得結(jié)果.【詳析】由y=k(x+1)可知直線過定點P(-1,0)，設(shè)A(0,-1)，當(dāng)直線y=k(x+1)與AP垂直時，點A到直線y=k(x+1)距離最大，即為|AP|=2故選：B.【『點石成金』】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．（2020·山東·高考真題）直線2x+3y-6=0關(guān)于點-1,2對稱的直線方程是（

）A．3x-2y-10=0 B．3x-2y-23=0C．2x+3y-4=0 D．2x+3y-2=0【答案】D〖祥解〗設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為x，y,則其關(guān)于點-1,2對稱的點的坐標(biāo)為(-2-x,4-y)【詳析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為x，則其關(guān)于點-1,2對稱的點的坐標(biāo)為(-2-x,4-y)，因為點(-2-x,4-y)在直線2x+3y-6=0上，所以2-2-x+34-y故選：D.5．（2020·山東·高考真題）已知直線l:y=xsinθ+cosθ的圖像如圖所示，則角A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D〖祥解〗本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出sinθ<0、cosθ>0【詳析】結(jié)合圖像易知，sinθ<0，cos則角θ是第四象限角，故選：D.6．（2019·北京·高考真題）已知直線l的參數(shù)方程為x=1+3t,y=2+4t（t為參數(shù)），則點（1,0）到直線lA．15 B．25 C．45【答案】D〖祥解〗首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.【詳析】直線l的普通方程為4x-1-3y-2=0,即4x-3y+2=0,點1,0到直線l的距離【『點石成金』】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.7．（2016·北京·高考真題）圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A．1 B．2C．2 D．22【答案】C【詳析】試題分析：圓心坐標(biāo)為(-1,0)，由點到直線的距離公式可知d=|-1-0+3|2【考點】直線與圓的位置關(guān)系【名師『點石成金』】點到直線（即）的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.8．（2016·北京·高考真題）已知A（2,5），B（4,1）.若點P（x,y）在線段AB上，則2x?y的最大值為A．?1 B．3 C．7 D．8【答案】C【詳析】由題意得，線段AB的方程：y-1=5-12-4(x-4)?y=-2x+9∴2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9≤4×4-9=7，當(dāng)x=4時等號成立，即2x-y的最大值為7.故選：C.【『點石成金』】求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④導(dǎo)數(shù)法；⑤不等式法；⑥圖象法．求函數(shù)的值域是個較復(fù)雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應(yīng)重點掌握．9．（2024·天津·高考真題）已知圓(x-1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px的焦點F重合，且兩曲線在第【答案】45/〖祥解〗先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及AF的方程，從而可求原點到直線AF的距離.【詳析】圓(x-1)2+y2=25的圓心為F由x-12+y2=25y2故A4,4，故直線AF:y=43故原點到直線AF的距離為d=4故答案為：410．（2021·上?！じ呖颊骖}）求直線x=-2與直線3x-y+1=0的夾角為【答案】π〖祥解〗先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【詳析】解：∵直線x=-2的斜率不存在，傾斜角為π2直線3x-y+1=0的斜率為3，傾斜角為π故直線x=-2與直線3x-y+1=0的夾角為π故答案為：π611．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0，函數(shù)f(x)的圖象在點A(x1,f(x【答案】(0,1)〖祥解〗結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得x1+x2=0，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得【詳析】由題意，f(x)=|ex-1|={所以點A(x1,1-ex所以-e所以AM:y-1+e所以|AM|=x同理|BN|=1+所以|AM||BN|故答案為：(0,1)【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件x1+12．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x+y=0【答案】4.〖祥解〗將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標(biāo)可得最小距離【詳析】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時，切點Q即為點P到直線x+y=0由y'=1-4x2即切點Q(2則切點Q到直線x+y=0的距離為2+3故答案為4．【『點石成金』】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.13．（2016·上?！じ呖颊骖}）已知平行直線，則l1與l2【答案】2【詳析】試題分析：利用兩平行線間的距離公式得d=|【考點】兩平行線間距離公式【名師『點石成金』】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即x,y的系數(shù)必須相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.考點02：圓的方程一、單選題14．（2025·全國一卷·高考真題）若圓x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直線y=3A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) D【答案】B〖祥解〗先求出圓心E0,-2到直線y=3【詳析】由題意，在圓x2+y+22=到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有∵圓心E0,-2到直線y=3x+2

故由圖可知，當(dāng)r=1時，圓x2+y+22=r2當(dāng)r=3時，圓x2+y+22=r2當(dāng)則r的取值范圍為1,3時，圓x2+y+22=故選：B.15．（2024·北京·高考真題）圓x2+y2-A．2 B．2 C．3 D．3【答案】D〖祥解〗求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.【詳析】由題意得x2+y則其圓心坐標(biāo)為1,-3，則圓心到直線x-y+2=0的距離為1--3故選：D.16．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域x,y1≤x2+y2≤4內(nèi)隨機取一點，記該點為AA．18 B．16 C．14【答案】C〖祥解〗根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.【詳析】因為區(qū)域x,y|1≤x2+y2≤4則直線OA的傾斜角不大于π4的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角∠MON=結(jié)合對稱性可得所求概率P=3π故選：C.

17．（2022·北京·高考真題）若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1A．12 B．-12 C．1【答案】A〖祥解〗若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳析】由題可知圓心為a,0，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0-1=0，解得a=1故選：A．18．（2020·全國I卷·高考真題）已知圓x2+y2-6x=0，過點（1A．1 B．2C．3 D．4【答案】B〖祥解〗當(dāng)直線和圓心與點(1,2)的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳析】圓x2+y2-6x=0化為(x-3)2+設(shè)P(1,2)，當(dāng)過點P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點P的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時|CP|=根據(jù)弦長公式得最小值為29-|CP故選：B.【『點石成金』】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.19．（2020·北京·高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A〖祥解〗求出圓心C的軌跡方程后，根據(jù)圓心M到原點O的距離減去半徑1可得答案.【詳析】設(shè)圓心Cx,y，則x-3化簡得x-32所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，所以|OC|+1≥|OM|=32+當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，故選：A.【『點石成金』】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.20．（2020·山東·高考真題）已知圓心為-2,1的圓與y軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x+22+y-1C．x-22+y+1【答案】B〖祥解〗圓的圓心為(-2,1)，半徑為2，得到圓方程.【詳析】根據(jù)題意知圓心為(-2,1)，半徑為2，故圓方程為：(x+2)2故選：B.21．（2018·全國III卷·高考真題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓x-22+yA．2?，??6 B．4?，【答案】A【詳析】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到AB，再計算圓心到直線距離，得到點P詳析：∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A∴A-2,0∵點P在圓（x∴圓心為（2，0），則圓心到直線距離d故點P到直線x+y+2=0的距離則S故答案選A.『點石成金』：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．22．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點Pcosθ,sinθ到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)θ、A．1 B．2C．3 D．4【答案】C〖祥解〗P為單位圓上一點，而直線x-my-2=0過點A2,0，則根據(jù)幾何意義得d的最大值為OA+1【詳析】∵cos2θ+sin2θ=1，所以d的最大值為OA+1=2+1=3，選C.【『點石成金』】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．23．（2016·全國II卷·高考真題）圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線A．-43 B．-34 C．【答案】A【詳析】試題分析：由x2+y2-2x-8y+13=0配方得(x-1)2+(y-4)2=4，所以圓心為(1,4)，因為圓x【考點】圓的方程，點到直線的距離公式【名師『點石成金』】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．24．（2016·四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|,DA?DB=DB?DC=DC?DA=–2，動點P，M滿足A．434 B．494 C．37+63【答案】B【詳析】試題分析：由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,?|DA|=|DB|=|DC|=2.以D為原點，直線DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2∴|BM→|2=(x+1)2+(y+3【考點】平面向量的數(shù)量積運算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題【名師『點石成金』】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，且|DA|=|DB|=|DC|=2，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點25．（2016·四川·高考真題）已知正三角形ABC的邊長為23，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足|AP|=1，PMA．134 B．494 C．37+63【答案】B【詳析】設(shè)D為三角形ABC的外心，如圖可得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,?|DA|=|DB|=|DC|=2.以D為原點，直線DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2∴|BM|2=(x+1)2+(y+33)24【名師『點石成金』】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，且|DA|=|DB|=|DC|=2，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點26．（2017·全國·高考真題）已知點A(-5,4),B(3,-2)，則以AB為直徑的圓的方程為（

）A．(x+1)2+(y+1)C．(x+1)2+(y+1)【答案】B〖祥解〗利用中點坐標(biāo)公式求出圓心，利用兩點間距離公式求出半徑，從而得到圓的方程即可.【詳析】設(shè)AB中點為O，則O-5+32,設(shè)圓半徑為r，則r=AB則以AB為直徑的圓的方程為(x+1)2故選：B.二、多選題27．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD〖祥解〗轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為a2+【詳析】圓心C(0,0)到直線l的距離d=r若點A(a,b)在圓C上，則a2+b則直線l與圓C相切，故A正確；若點A(a,b)在圓C內(nèi)，則a2+b則直線l與圓C相離，故B正確；若點A(a,b)在圓C外，則a2+b則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點A(a,b)在直線l上，則a2+b所以d=r2a2+b2=故選：ABD.28．（2020·山東·高考真題）已知曲線C:mx2+nyA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD〖祥解〗結(jié)合選項進行逐項分析求解，m>n>0時表示橢圓，m=n>0時表示圓，mn<0時表示雙曲線，m=0,n>0時表示兩條直線.【詳析】對于A，若m>n>0，則mx2+n因為m>n>0，所以1m即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m=n>0，則mx2+n此時曲線C表示圓心在原點，半徑為nn的圓，故B對于C，若mn<0，則mx2+n此時曲線C表示雙曲線，由mx2+ny2對于D，若m=0,n>0，則mx2+ny=±nn，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故故選：ACD.【『點石成金』】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、填空題29．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知圓x2+y2-4x-m=0的面積為【答案】-3〖祥解〗根據(jù)圓的面積求出圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出半徑即可列方程求解.【詳析】圓x2+y∵圓的面積為S=πr2=π，∴4+m=1，解得m=-3．故答案為：-330．（2022·全國乙卷·高考真題）過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為．【答案】x-22+y-32=13或x-2〖祥解〗方法一：設(shè)圓的方程為x2【詳析】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為x2（1）若過0,0，4,0，-1,1，則F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（2）若過0,0，4,0，4,2，則F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（3）若過0,0，4,2，-1,1，則F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y（4）若過-1,1，4,0，4,2，則1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=-165D=-故答案為：x-22+y-32=13或x-22[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)點A（1）若圓過A、B、C三點，圓心在直線x=2則4+a2=9+（2）若圓過A、B、D三點，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則（3）若圓過A、C、D三點，則線段AC的中垂線方程為y=x+1，線段AD的中垂線方程為y=-2x+5，聯(lián)立得x=（4）若圓過B、C、D三點，則線段BD的中垂線方程為y=1，線段BC中垂線方程為y=5x-7，聯(lián)立得故答案為：x-22+y-32=13或x-22【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．31．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)點M在直線2x+y-1=0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為．【答案】(x-1)〖祥解〗設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳析】[方法一]：三點共圓∵點M在直線2x+y-1=0上，∴設(shè)點M為(a,1-2a)，又因為點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴(a-3)2a2-6a+9+4a∴M(1,-1)，R=5⊙M的方程為(x-1)2故答案為：(x-1)[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線2x+y-1=0的交點(1,-1).R=5,⊙M的方程為(x-1)故答案為：(x-1)32．（2019·北京·高考真題）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為．【答案】(x-1)2+y2=4.〖祥解〗由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，即圓心，焦點到準(zhǔn)線距離即半徑，進而求得結(jié)果.【詳析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【『點石成金』】本題主要考查拋物線的焦點坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.33．（2019·浙江·高考真題）已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m)，半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓相切于點A(-2,-1)，則m=，r=.【答案】m=-2r=〖祥解〗本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線AC的斜率，進一步得到其方程，將(0,m)代入后求得m，計算得解.【詳析】可知kAC=-12?AC:y+1=-12【『點石成金』】解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì).34．（2018·天津·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為．【答案】x【詳析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳析：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓經(jīng)過三點（0，0），（1，1F=01+1+D+E+F=04+0+2D+F=0，解得：D=-2E=0『點石成金』：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨立等式．35．（2017·天津·高考真題）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120°，則圓的方程為【答案】(x+1)【詳析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C(-1,m)，則A(0,m)，焦點F(1,0)，AC=(-1,0),cos∠CAF=AC?由于圓C與y軸得正半軸相切，則取m=3，所求圓得圓心為(-1,3)所求圓的方程為(x+1)236．（2016·天津·高考真題）已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0,5)在圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為455，則圓【答案】(x-2)【詳析】試題分析：設(shè)C(a,0)(a>0)，則|2a|5=45【考點】直線與圓位置關(guān)系【名師『點石成金』】求圓的方程有兩種方法：（1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組求解．（2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．37．（2017·北京·高考真題）在極坐標(biāo)系中，點A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，點P的坐標(biāo)為1,0，則【答案】1【詳析】試題分析：將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為x2+y2-2x-4y+4=0，整理為x-12+y-22【考點】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，點與圓的位置關(guān)系【名師『點石成金』】（1）熟練運用互化公式：ρ2=x38．（2016·浙江·高考真題）已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y【答案】(-2,-4)；5．【詳析】試題分析：由題意，知a2=a+2，a=-1或2，當(dāng)a=-1時，方程為x2+y2+4x+8y-5=0，即(x+2)2+圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.由方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0考點03：直線與圓的位置關(guān)系一、單選題39．（2024·全國甲卷·高考真題）已知直線ax+by-a+2b=0與圓C：x2+y2+4y-1A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C〖祥解〗根據(jù)題意，由條件可得直線過定點P1,-2，從而可得當(dāng)PC⊥AB時，AB的最小，結(jié)合勾股定理代入計算，即可求解【詳析】因為直線ax+by-a+2b=0，即ax-1+by+2則x=1,y=-2，所以直線過定點1,-2，設(shè)P1,-2將圓C：x2所以圓心C0,-2，半徑r=5當(dāng)PC⊥AB時，AB的最小，此時AB=2故選：C40．（2024·全國甲卷·高考真題）已知b是a,c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,BA．1 B．2 C．4 D．2【答案】C〖祥解〗結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳析】因為a,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直線方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0，即ax-1+by+2=0，令故直線恒過1,-2，設(shè)P1,-2，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:設(shè)圓心為C，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)PC⊥AB時，AB最小，PC=1,AC=

故選：C41．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過點0,-2與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為αA．1 B．154 C．104 D【答案】B〖祥解〗方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得k2+8k+1=0【詳析】方法一：因為x2+y2-4x-1=0，即x-2過點P0,-2作圓C的切線，切點為A,B因為PC=22可得sin∠APC=則sin∠APB=cos∠APB=即∠APB為鈍角，所以sinα=法二：圓x2+y2-4x-1=0過點P0,-2作圓C的切線，切點為A,B，連接AB可得PC=22因為PA且∠ACB=π-∠APB，則即3-cos∠APB=5+5cos即∠APB為鈍角，則cosα=且α為銳角，所以sinα=方法三：圓x2+y2-4x-1=0若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離d=2>r，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx-2，即kx-y-2=0，則2k-2k2+1=設(shè)兩切線斜率分別為k1,k可得k1所以tanα=k1-k則sin2且α∈0,π，則sinα>0故選：B.

42．（2023·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓A．55 B．255 C．3【答案】D〖祥解〗根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳析】由e=5，則c解得ba所以雙曲線的漸近線為y=±2x，當(dāng)漸近線為y=-2x時，圓心(2,3)到該漸近線的距離d=|2×2+3|當(dāng)漸近線為y=2x時，則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2-3|所以弦長|AB|=2r故選：D43．（2023·全國乙卷·高考真題）已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0A．1+322 B．4 C．1+3【答案】C〖祥解〗法一：令x-y=k，利用判別式法即可；法二：通過整理得x-22+y-12【詳析】法一：令x-y=k，則x=k+y，代入原式化簡得2y因為存在實數(shù)y，則Δ≥0，即2k-6化簡得k2-2k-17≤0，解得故x-y的最大值是32法二：x2+y令x=3cosθ+2，y=3sin則x-y=3cos∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π法三：由x2+y設(shè)x-y=k，則圓心到直線x-y=k的距離d=|2-1-k|解得1-3故選：C.44．（2022·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知關(guān)于點集Ω=①存在直線l，使得集合Ω中不存在點在直線l上，而存在點在l的兩側(cè)；②存在直線l，使得集合Ω中存在無數(shù)個點在直線上.則下列判斷正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B〖祥解〗對于①只需要找一條直線，使得一部分圓在直線的方程，余下圓在直線的下方即可.對于②從極限的思想考慮.【詳析】對于①，取直線y=20.5,則對于任意的0<k≤4，有故圓x-k2+y-而對任意的k≥4，有k故圓x-k2+y-而當(dāng)k=0時，x-k2+y-故此時集合Ω中所有的點均不在直線y=20.5上，且存在點在直線y=20.5的兩側(cè).所以①成立.對于②，設(shè)直線l的方程為y=mx+t，則圓心k,k2到直線l當(dāng)k→+∞時d=mk-k2+t1+故選：B45．（2021·北京·高考真題）已知直線y=kx+m（m為常數(shù)）與圓x2+y2=4交于點M，N，當(dāng)kA．±1 B．±2 C．±3 D【答案】C〖祥解〗先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出m【詳析】由題可得圓心為0,0，半徑為2，則圓心到直線的距離d=m則弦長為|MN則當(dāng)k=0時，MN取得最小值為24-m2故選：C.46．（2020·全國II卷·高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（

）A．55 B．255 C．3【答案】B〖祥解〗由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),a>0，可得圓的半徑為a，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(2,1)在圓上，求得實數(shù)a的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.【詳析】由于圓上的點(2,1)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)，則圓的半徑為a，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2由題意可得(2-a)2可得a2-6a+5=0，解得a=1或所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5)，圓心到直線的距離均為d1=|2×1-1-3|圓心到直線的距離均為d2=圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=|-2|所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為25故選：B.【『點石成金』】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.47．（2020·全國I卷·高考真題）已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當(dāng)|PM|?|AB|A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0【答案】D〖祥解〗由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點A,P,B,M共圓，且AB⊥MP，根據(jù)PM?AB=4S△PAM=4PA可知，當(dāng)直線MP⊥l時，【詳析】圓的方程可化為x-12+y-12=4，點M到直線l的距離為依圓的知識可知，四點A,P,B,M四點共圓，且AB⊥MP，所以PM?AB=4S當(dāng)直線MP⊥l時，MPmin=5，PA∴MP:y-1=12x-1即y=12x+所以以MP為直徑的圓的方程為x-1x+1+yy-1=0兩圓的方程相減可得：2x+y+1=0，即為直線AB的方程．故選：D.【『點石成金』】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．48．（2020·全國III卷·高考真題）若直線l與曲線y=x和x2+y2=15都相切，則l的方程為（

A．y=2x+1 B．y=2x+12 C．y=12x+1 D．y=12【答案】D〖祥解〗根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線l的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳析】設(shè)直線l在曲線y=x上的切點為(x0函數(shù)y=x的導(dǎo)數(shù)為y'=12設(shè)直線l的方程為y-x0=由于直線l與圓x2+y兩邊平方并整理得5x02-4x則直線l的方程為x-2y+1=0，即y=1故選：D.【『點石成金』】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.二、多選題49．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一條切線，Q為切點，過A．l與⊙A相切B．當(dāng)P，A，B三點共線時，|PQ|=C．當(dāng)|PB|=2時，PA⊥ABD．滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個【答案】ABD〖祥解〗A選項，拋物線準(zhǔn)線為x=-1，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，P,A,B三點共線時，先求出P的坐標(biāo)，進而得出切線長；C選項，根據(jù)PB=2先算出P的坐標(biāo)，然后驗證kPAkAB=-1是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，于是問題轉(zhuǎn)化成PA=【詳析】A選項，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為⊙A的圓心(0,4)到直線x=-1的距離顯然是1，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線l和⊙A相切，A選項正確；B選項，P,A,B三點共線時，即PA⊥l，則P的縱坐標(biāo)yP由yP2=4xP此時切線長PQ=PA2C選項，當(dāng)PB=2時，xP=1，此時yP2當(dāng)P(1,2)時，A(0,4),B(-1,2)，kPA=4-2不滿足kPA當(dāng)P(1,-2)時，A(0,4),B(-1,-2)，kPA=4-(-2)不滿足kPA于是PA⊥AB不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，這里于是PA=PB時P點的存在性問題轉(zhuǎn)化成PA=A(0,4),F(1,0)，AF中點12,2，AF中垂線的斜率為于是AF的中垂線方程為：y=2x+158，與拋物線y2Δ=162即存在兩個P點，使得PA=PF，D方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t根據(jù)兩點間的距離公式，t416+Δ=162即存在兩個這樣的P點，D選項正確.故選：ABD50．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知點P在圓x-52+y-52=16上，點AA．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時，PBD．當(dāng)∠PBA最大時，PB【答案】ACD〖祥解〗計算出圓心到直線AB的距離，可得出點P到直線AB的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳析】圓x-52+y-52=16直線AB的方程為x4+y圓心M到直線AB的距離為5+2×5-41所以，點P到直線AB的距離的最小值為1155-4<2，最大值為1155如下圖所示：當(dāng)∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0-52+2-52=34故選：ACD.【『點石成金』】結(jié)論『點石成金』：若直線l與半徑為r的圓C相離，圓心C到直線l的距離為d，則圓C上一點P到直線l的距離的取值范圍是d-r,d+r.三、填空題51．（2025·天津·高考真題）l1:x-y+6=0，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與(x+1)2+(y-3)2=r2交于【答案】2〖祥解〗先根據(jù)兩點間距離公式得出|AB|=62，再計算出圓心到直線的距離d，根據(jù)弦長公式|CD|=2r【詳析】因為直線l1:x-y+6=0與x軸交于A-6,0，與y軸交于B0,6，所以圓(x+1)2+y-32=r2的半徑為r故CD=2r2故答案為：2.52．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線l:x-my+1=0與⊙C:x-12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為8【答案】2（2,-2,1〖祥解〗根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長AB，以及點C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳析】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案為：2（2,-2,153．（2023·天津·高考真題）已知過原點O的一條直線l與圓C:(x+2)2+y2=3相切，且l與拋物線y2=【答案】6〖祥解〗根據(jù)圓x+22+y2=3和曲線y2=2px【詳析】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當(dāng)k=-3故答案為：6．54．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點A(-2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1【答案】1〖祥解〗首先求出點A關(guān)于y=a對稱點A'的坐標(biāo)，即可得到直線l【詳析】解：A-2,3關(guān)于y=a對稱的點的坐標(biāo)為A'-2,2a-3，B所以A'B所在直線即為直線l，所以直線l為y=a-3圓C:x+32+y+22依題意圓心到直線l的距離d=-3即5-5a2≤a-32+故答案為：155．（2022·天津·高考真題）若直線x-y+m=0m>0被圓x-12+y-12=3截得的弦長為【答案】2〖祥解〗計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【詳析】圓x-12+y-12=3圓心到直線x-y+m=0m>0的距離為1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.56．（2021·天津·高考真題）若斜率為3的直線與y軸交于點A，與圓x2+y-12=1相切于點【答案】3〖祥解〗設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點A0,b，利用直線AB與圓x2+y-12【詳析】設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點由于直線AB與圓x2+y-12=1則b-12=1，解得b=-1或b=3，所以因為BC=1，故AB故答案為：3.57．（2020·天津·高考真題）已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2【答案】5〖祥解〗根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d，進而利用弦長公式|AB|=2r2-【詳析】因為圓心(0,0)到直線x-3y+8=0的距離由|AB|=2r2-d2故答案為：5．【『點石成金』】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．58．（2020·浙江·高考真題）設(shè)直線l:y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y【答案】33〖祥解〗由直線與兩圓相切建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可.【詳析】設(shè)C1:x2+y2=1，所以|b|=|4k+b|，所以k=0（舍）或者b=-2k，解得k=3故答案為：3【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.59．（2018·天津·高考真題）已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C，直線x=-1+22t,y=3-22【答案】1〖祥解〗由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.【詳析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x-12直線的直角坐標(biāo)方程為：y-3=-x+1，即x+y-2=0則圓心到直線的距離：d=1+0-2由弦長公式可得：AB=2×則SΔABC【『點石成金』】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．60．（2018·全國I卷·高考真題）直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于【答案】2〖祥解〗方法一：先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳析】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應(yīng)用根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+1)2=4弦心距d=0+1+112故答案為：22［方法二］：距離公式的應(yīng)用由y=x+1x2+y2+2y-3=0解得：所以AB=故答案為：22［方法三］：參數(shù)方程的應(yīng)用直線y=x+1的參數(shù)方程為x=0+22ty=1+22t，將其代入x2+故答案為：22【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應(yīng)用．61．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點，B5,0，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若AB?CD=0，則點【答案】3〖祥解〗方法一：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.【詳析】［方法一］：【通性通法】直譯法設(shè)Aa,2a(a>0)，則由圓心C為AB中點得Ca+52,a,易得⊙C:所以D1,2.所以AB由AB?CD即a2-2a-3=0，解得：a=3或a=-1，因為a>0故答案為：3．［方法二］：【最優(yōu)解】幾何法如圖3，因為AB為直徑，所以AD⊥BD，AB?CD=0

設(shè)|OE|=t，則|DE|=|AF|=2t,|DF|=|BE|=4t，所以|OB|=|OE|+|EB|=5t=5，即t=1．所以，A點的坐標(biāo)為(3,6)，則點A的橫坐標(biāo)為3．［方法三］：數(shù)形結(jié)合如圖4，由已知，得BD⊥l，則kBD=-12，所以

由y=2x,y=-12設(shè)A(a,2a)，則C5+a2,a所以AB?CD=(5-a)?-3-a2又a>0，所以a=3．即點A的橫坐標(biāo)為3．［方法四］：數(shù)形結(jié)合＋斜率公式由AB?CD=0，得AB⊥CD，又C是AB又AD⊥BD，所以∠BAD=45°．設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=2，從而k設(shè)A(a,2a)，則2aa-5=-3，解得a=3．即點A的橫坐標(biāo)為［方法五］：數(shù)形結(jié)合＋解三角形由方法四，知tanα=2，則sin在Rt△BDO中，BD=OB在等腰Rt△ADB中，AB=設(shè)A(a,2a)，則(a-5)2+(2a)2=2又a>0，所以a=3．即點A的橫坐標(biāo)為3．［方法六］：數(shù)形結(jié)合＋解三角形設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=2，則sin由方法四知∠OAB=π4，于是在△OAB中，由正弦定理知OAsin∠OBA=故點A的橫坐標(biāo)為OA?cos［方法七］：數(shù)形結(jié)合＋解三角形因為D為以AB為直徑的圓C上一點，所以BD⊥AD，C為AB的中點．因為AB?CD=0，所以AB⊥CD，△ABD在Rt△OBD中，tan又OD2+B因為A在第一象限，所以O(shè)A=OD+AD=35又yAxA【整體點評】方法一：直接根據(jù)題意逐句翻譯成數(shù)學(xué)語言，通過運算解出，是該題的通性通法；方法二：作出簡圖，利用平面幾何知識求解，運算簡單，是該題的最優(yōu)解；方法三：通過圓的幾何性質(zhì)，利用直線方程聯(lián)立求點D的坐標(biāo)，簡化計算；方法四：通過圓的幾何性質(zhì)，求出直線AB的傾斜角，從而得出斜率，根據(jù)斜率公解出，是不錯的解法；方法五：同法四，通過圓的幾何性質(zhì)，求出直線AB的傾斜角，從而得出斜率，再通過解三角形求出；方法六：基本原理同方法五；方法七：基本原理同方法五．62．（2016·全國III卷·高考真題）已知直線l：mx+y+3m-3=0與圓