清單03反比例函數(shù)（9個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】反比例函數(shù)的定義1、定義：一般地，表達(dá)式形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).自變量2、反比例函數(shù)的三種表達(dá)形式：（1）y=k（2）y=kx（3）xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）【注意】反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=k【清單02】反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)圖象的特點(diǎn)：（1）反比例函數(shù)y=k（2）反比例函數(shù)圖象的兩支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）雙曲線的兩支都無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）雙曲線既是中心對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是原點(diǎn))，又是軸對(duì)稱圖形(對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=x).如圖：2、反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)ykx（K的符號(hào)k>0k<0圖象圖像位置第一、三象限第二、四象限增減性在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【清單03】求反比例函數(shù)的表達(dá)式1、確定反比例函數(shù)表達(dá)式的方法由于在反比例函數(shù)y=k2、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式的一般步驟【注意】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式的實(shí)質(zhì)是代入一對(duì)對(duì)對(duì)應(yīng)值，解一元一次方程.當(dāng)題目中已經(jīng)明確“y是x的反比例關(guān)系”時(shí)，可直接設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=k【清單04】反比例函數(shù)中k的幾何性質(zhì)1、矩形面積如圖，過(guò)雙曲線y=kx上任意一點(diǎn)p（x，y）分別作x軸、y軸的垂線PM，PN，所得的矩形PMON的面積S=PMS=PM?PN=x?2、三角形的面積如圖，過(guò)雙曲線y=kx上的任意一點(diǎn)E作EF垂直于y軸，垂足為F，連接EO，則S?EOF【考點(diǎn)題型一】判定是否是反比例函數(shù)【例1】（2022·北京大興·一模）某市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為立方米的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室，記儲(chǔ)存室的底面半徑為r米，高為h米，底面積為S平方米，當(dāng)h，r在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，S隨h，r的變化而變化，則S與h，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出S隨h，S隨r變化的函數(shù)關(guān)系式即可得到解答．【詳解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104，∴S=，∴S與h，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系分別是反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)類型的判別，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)解析式并根據(jù)解析式的特征判斷函數(shù)的類型是解題關(guān)鍵．【變式11】（2024·北京順義·一模）已知y是x的函數(shù)，下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：x…124…y…421…y與x的函數(shù)關(guān)系有以下3個(gè)描述：①可能是一次函數(shù)關(guān)系；②可能是反比例函數(shù)關(guān)系；③可能是二次函數(shù)關(guān)系，所有正確描述的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查了用列表法表示函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的判定，根據(jù)表格數(shù)據(jù)的特點(diǎn)判斷出三點(diǎn)不共線，且三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的積都為4是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可知，三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上即可判斷不是一次函數(shù)可能是二次函數(shù)，三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的積都為4，即可判斷可能是反比例函數(shù)．【詳解】解：觀察可知，三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，故①錯(cuò)誤，③正確；故選：C．【變式12】（2223九年級(jí)上·北京順義·期末）下面兩個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①矩形的周長(zhǎng)為20，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x；②矩形的面積為20，矩形的寬y與矩形的長(zhǎng)x．其中變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系表述正確的是（）A．①是反比例函數(shù)，②是二次函數(shù) B．①是二次函數(shù)，②是反比例函數(shù)C．①②都是二次函數(shù) D．①②都是反比例函數(shù)【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的周長(zhǎng)和面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：①∵矩形的周長(zhǎng)為20，一邊長(zhǎng)x②∵矩形的面積為20，矩形的長(zhǎng)x故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的判定等知識(shí)點(diǎn)，正確列出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)定義求未知數(shù)值【答案】故答案為：．【答案】D【分析】只需把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果是的，就在此函數(shù)圖象上．∴只需把各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果為的點(diǎn)在函數(shù)圖象上，四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)符合．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．【答案】故答案為：．【答案】1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是求出的值，得到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程即可求出結(jié)果，本題較為基礎(chǔ)．【考點(diǎn)題型三】反比例函數(shù)求值【答案】0【詳解】解：∵點(diǎn)和在反比例函數(shù)圖象上，故答案為：0；【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)，掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．【答案】四∴點(diǎn)P在第四象限．故答案為：四．【答案】0【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故答案為：0．【答案】即的值為．故答案為：．【考點(diǎn)題型四】根據(jù)函數(shù)值求自變量的值【答案】0故答案為：0．【答案】/0.5【分析】將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出t的值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式是解題關(guān)鍵．【答案】﹣3故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)知識(shí)和計(jì)算準(zhǔn)確性是解決本題的關(guān)鍵，難度較小．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)解析式，把坐標(biāo)代入解析式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型五】求反比例函數(shù)解析式A．3 B． C． D．【答案】D故選：D．【變式51】（2425九年級(jí)上·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）已知是的反比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)．(2)證明：是的反比例函數(shù)．(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（）利用待定系數(shù)法求解即可；（）根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可求證；本題考查了求正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)定義及求解析式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵是的反比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，（2）∵是的反比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，∴是的反比例函數(shù)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)12【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在（1）中求得點(diǎn)坐標(biāo)、在（2）中求得點(diǎn)到的距離是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得，可求得反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式解答即可；【答案】8故答案為：8．【考點(diǎn)題型六】反比例函數(shù)圖像【答案】A故選：A．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先假設(shè)點(diǎn)A在該反比例函數(shù)圖象上，即可求出此時(shí)k的值．再根據(jù)實(shí)際，即可判斷k的取值范圍，即可選擇．【詳解】假設(shè)點(diǎn)A在該反比例函數(shù)圖象上，∵點(diǎn)A實(shí)際在該反比例函數(shù)圖象上方，選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)的值小于2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．

【答案】（答案不唯一）∴滿足圖象的一個(gè)的值可以為，故答案為：．

【答案】2（答案不唯一）【分析】先確定的取值范圍，然后在范圍內(nèi)去一個(gè)值即可．

∴k的值可以是2．故答案為：2．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)取幾組y與x的對(duì)應(yīng)值，填寫(xiě)在表中，其中______；x…023…y…1244m1…(2)2(3)見(jiàn)解析(4)【分析】（1）只需要求出分母不為0時(shí)自變量的取值范圍即可；（3）先描點(diǎn)，再連線，畫(huà)出函數(shù)圖象即可；故答案為：2；（3）解：如圖所示，即為所求；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求自變量的取值范圍，求函數(shù)值，畫(huà)反比例函數(shù)圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)等等，正確利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】反比例函數(shù)的增減性【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可．故選C．【答案】B【分析】本題綜合考查了二次函數(shù)、正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)．掌握二次函數(shù)、正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)解答即可．∴隨的增大而增大，故本選項(xiàng)不符合題意；∴它的圖象在一象限，隨的增大而增大，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【答案】A【分析】本題主要考查反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，在第一象限中，函數(shù)值y隨x的增大而減小，故選：A．【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（1）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求解即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求解即可；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求解即可．【答案】在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，故答案為：【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)在雙曲線的每一支上，隨的增大而減小，求的取值范圍．【答案】(1)13(3)【分析】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及反比例函數(shù)的性質(zhì)．∴在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．故答案為：【考點(diǎn)題型八】比例系數(shù)與特殊圖形面積【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的幾何意義和三角形的面積公式故選：D.A．3 B． C．6 D．【答案】B【詳解】如圖，連接，故選：B．A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，故選：D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，坐標(biāo)與圖形；故選：B．

【答案】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義；【詳解】故答案為:.【答案】2【詳解】解：如圖所示，故答案為：2．

【答案】16

故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解答本題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型九】一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；【分析】（2）畫(huà)出圖形，分兩種情況進(jìn)行討論即可．（2）如圖所示，①當(dāng)線段在點(diǎn)A上方時(shí)，點(diǎn)P在7和8之間時(shí)，恰有3個(gè)整點(diǎn)，②當(dāng)線段在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)P在1和2之間時(shí)，恰有3個(gè)整點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，會(huì)畫(huà)函數(shù)圖象．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)．因?yàn)閗的符號(hào)不確定，所以應(yīng)根據(jù)k的符號(hào)及一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵當(dāng)反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，∴該直線與y軸交于正半軸，故B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【答案】（答案不唯一，小于）故答案為：．（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握一次函數(shù)和的反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(1)求一次函數(shù)的解析式；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．(1)求k，m的值；①n=1時(shí)，用等式表示線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若0<PN≤3PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【答案】(1)k=4，m=1．(2)①PN=3PM．②n≥1且n≠2．【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線解析式中和直線解析式中，求解即可得出結(jié)論．（2）①先求出點(diǎn)M，N點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．②根據(jù)①當(dāng)n=1時(shí)，PN=3PM，結(jié)合函數(shù)圖象可以求解結(jié)果．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y＝(x＞0)的圖象與直線y=mx交于點(diǎn)A（2，2），∴k=2×2=4，2=2m，∴m=1，∴k=4，m=1．（2）解：①由（1）知，k=4，m=1，∴雙曲線的解析式為y＝，直線OA的解析式為y=x，∵n=1，∴P（1，1），∵PM//x軸，∴M（0，1），N（4，1），∴PM=1，PN=41=3，∴PN=3PM．②如圖，根據(jù)①可知：當(dāng)n=1時(shí)，PN=3PM．當(dāng)n≥1且n≠2時(shí)，0＜PN≤3PM．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象，求解不等式，掌握數(shù)形結(jié)合思想．（）根據(jù)函數(shù)圖象和一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．(1)求反比例函數(shù)的解析式；【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練掌握交點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．C?2,0，(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式；（2）①將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解決本題的關(guān)鍵．(1)求m的值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；【分析】該題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合，重點(diǎn)掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，解析式求解，交點(diǎn)問(wèn)題；（2）分兩種情況畫(huà)圖解答即可；

【變式910】（2023·北京東城·二模）某校學(xué)生參加學(xué)農(nóng)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，計(jì)劃圍一個(gè)面積為4平方米的矩形圍欄．設(shè)矩形圍欄周長(zhǎng)為米，對(duì)于的最小值問(wèn)題，小明嘗試從“函數(shù)圖象”的角度進(jìn)行探究，過(guò)程如下．請(qǐng)你補(bǔ)全探究過(guò)程．