第07講基本不等式【人教A版】模塊一模塊一兩個(gè)不等式1.兩個(gè)不等式不等式內(nèi)容等號(hào)成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2.基本不等式的常見變形【題型1基本不等式的理解及常見變形】【例1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若x∈R，且x≠0，則4x+x≥4 B．當(dāng)x>0C．當(dāng)x≥2時(shí)，x+1x的最小值為2 D．當(dāng)0<x≤2【變式1.1】（2425高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如果m>0，那么當(dāng)m+16m取得最小值時(shí)A．－4 B．4 C．8 D．16【變式1.2】（2425高一上·貴州貴陽·期中）如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,?BC=b．過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD,?BD．可證△ACD~△DCB，因而CD=abA．如果a>b>0，那么aB．如果a>b>0，那么aC．對(duì)?a>0,?b>0，都有a+b2D．對(duì)?a>0,?b>0，都有a2【變式1.3】（2425高一上·河北石家莊·期中）下列不等式中，正確的是（

）A．a(chǎn)+4a≥4C．a(chǎn)+b2≥ab【題型2由基本不等式比較大小】【例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)a、b為正數(shù)，且a+2b=1，比較ab的值與18的大?。?/p>

）A．a(chǎn)b≤18 B．a(chǎn)b<18 C．【變式2.1】（2425高一上·四川遂寧·期中）已知a>0，b>0，則a+b2，ab，a2+b2A．a(chǎn)2+b22 B．a(chǎn)b 【變式2.2】（2425高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）近來牛肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的牛肉價(jià)格分別為a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙購買牛肉的方式不同，甲每周購買30元錢的牛肉，乙每周購買6斤牛肉，甲、乙這兩周購買牛肉的平均單價(jià)分別記為m1，m2，則下列結(jié)論正確的是（A．m1=m2 B．m1>m2 【變式2.3】（2425高一上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知a、b為互不相等的正實(shí)數(shù)，下列四個(gè)數(shù)中最大的是（

）A．a(chǎn)b B．21a+1b 【題型3利用基本不等式證明不等式】【例3】（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知a>0,b>0,a+b=1，求證：(1)1a(2)1+1【變式3.1】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足x+y=1．證明：x+1【變式3.2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）（1）若a，b，c，d都是正數(shù)，求證：ab+cdac+bd（2）若a，b，c都是正數(shù)，求證：ab【變式3.3】（2425高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，證明：(1)a2(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1?a)(1?b)(1?c).模塊二模塊二基本不等式與最值1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.從上面可以看出，利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”．2．常見的求最值模型立；等號(hào)成立.3．利用基本不等式求最值的幾種常見方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型4利用基本不等式求最值（無條件）】【例4】（2425高一上·天津南開·階段練習(xí)）函數(shù)y=x+1x?1+5x>1A．5 B．6 C．7 D．8【變式4.1】（2425高一上·云南昭通·階段練習(xí)）函數(shù)y=x2?2x+2A．2 B．6 C．4 D．2【變式4.2】（2425高一上·吉林通化·階段練習(xí)）（1）已知x>2，y=x+1x?2，

求（2）已知0<x<3，求y=2x3?x的最大值【變式4.3】（2425高一上·海南·期中）（1）若0<x<2，求y=x(2?x)的最大值；（2）已知x>?1，求y=x【題型5條件等式求最值】【例5】（2425高二下·山東日照·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>3，且xy+2x?3y=10，則x+y的最小值為（

）A．4 B．5C．32 D．【變式5.1】（2425高一上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知實(shí)數(shù)a>1,b>1，且ab=a+b+3，則a+9b的最小值為（

）A．16 B．18 C．22 D．26【變式5.2】（2425高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值和x?12(2)求x+4【變式5.3】（2425高一上·江西·期中）已知正數(shù)a，b滿足ab=2a+b+2.(1)求a+2b的最小值；(2)求1a【題型6基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（2425高一下·安徽合肥·期末）已知x+y=4，且x>0，y>0，則1x+1yA．1 B．2 C．2 D．2【變式6.1】（2425高一上·河南漯河·期末）已知實(shí)數(shù)x>0,y>0，且2x+y=1，則1x+2A．4+42 B．82 C．8【變式6.2】（2425高一上·廣西南寧·期末）已知x>0，y>0，且2x+y=1．(1)求xy的最大值；(2)求1x【變式6.3】（2425高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知正數(shù)x，y滿足1x(1)求xy的最小值；(2)求x+2y的最小值.【題型7基本不等式的恒成立、有解問題】【例7】（2425高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1恒成立，則實(shí)數(shù)A．?∞,116 B．?∞,【變式7.1】（2425高一上·江西南昌·期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．{m|?1<m<4} B．{m|m<?4或m>1}C．{m|?4<m<1} D．{m|m<?1或m>4}【變式7.2】（2425高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足2x+y?xy=0.(1)求4xx?1(2)若xy+2?42【變式7.3】（2425高一上·湖北武漢·期中）已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【題型8利用基本不等式解決實(shí)際問題】【例8】（2425高一上·江蘇南通·期末）用總長為20m的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出2m的缺口作為進(jìn)出通道.若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長為（

A．2m B．3m C．3.5m【變式8.1】（2425高一上·遼寧錦州·期末）某污水處理廠為使處理后的污水達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，需要加入某種藥劑，加入藥劑后，藥劑的濃度C（單位：mgm3）隨時(shí)間t（單位：h）的變化關(guān)系可近似的用函數(shù)CtA．1h B．2h C．3h D．4h【變式8.2】（2425高一上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，為了開展勞動(dòng)教育，某校在“一米農(nóng)莊”內(nèi)計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長）的矩形育苗區(qū).設(shè)育苗區(qū)的長為x米，寬為y米.(1)若育苗區(qū)面積為8平方米，則x，y為何值時(shí)，所用籬笆總長最??；(2)若使用的籬笆總長為10米，求2x+yxy【變式8.3】（2425高一上·江蘇蘇州·期中）某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米.甲工程隊(duì)參與投標(biāo)，給出的報(bào)價(jià)為：池底每平米的造價(jià)為150元，池壁每平米造價(jià)為120元.設(shè)總造價(jià)為S元，池底一邊長為x米，另一邊長為y米.(1)若按照甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)，怎樣設(shè)計(jì)能使水池造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與投標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為ax2+一、單選題1．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知x>0，則2x4?2x的最大值為（

A．0 B．1 C．2 D．32．（2425高一上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）設(shè)a，b∈R，且a<b<0，則（

A．1a<1b B．ba>3．（2425高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知a>0,?b>0,?3a+4A．13 B．19 C．21 D．274．（2025高三·全國·專題練習(xí)）某同學(xué)使用一架兩臂不等長的天平稱一批重物．他先將10g的砝碼放在天平的左盤，取一部分重物放在天平的右盤，使天平平衡；第二次將10g的砝碼放在天平的右盤，取另一部分重物放在天平的左盤，使天平平衡，則兩次稱得重物的總重量（

）A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．與左右臂的長度有關(guān)5．（2425高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知x>0，y>?1，z>0，2y+3z=2?x，則3x+1A．72+6 B．7+62 6．（2425高一上·廣東廣州·期末）某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3mA．元 B．元C．元 D．元7．（2425高一上·福建漳州·期末）用maxa,b表示a與b的最大者，記M=max4x+1y,1x+yA．22 B．3 C．8 D．8．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知x>0,y>0，且x+2y=1，若不等式2x+1y≥A．m∣?8≤m≤1 B．{m∣m≤?8，或m≥1}C．m∣?1≤m≤8 D．{m∣m≤?1，或m≥8}二、多選題9．（2425高一上·四川廣安·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)x>0時(shí)，xB．當(dāng)x>1時(shí)，x+1C．當(dāng)x<54時(shí)，D．設(shè)x>0，y>0，且x+y=2，則1x+10．（2425高一上·山東棗莊·期末）已知正數(shù)x，y滿足2x+y=1，則（

）A．1x+4y≥12 B．8xy≤1 11．（2425高一上·四川眉山·期中）已知x>0,y>0且xy=x+y+3，則下列說法正確的有（

）A．xy的最小值為9B．x+y的最小值為6C．11?x?D．4x+y的最小值為9三、填空題12．（2526高一上·甘肅武威·開學(xué)考試）已知x>13，則3x+413．（2526高一上·廣西·開學(xué)考試）已知a>0,b>0，且a+b=1，則a2+b14．（2425高一上·廣東深圳·期末）已知a>0,b>0，且2a+b=2，若t2?3t≤ab+2a四、解答題15．（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）求下列各題的最值．(1)已知x>0，求y=12(2)設(shè)0<x<32，求函數(shù)16．（2526高一上·廣東廣州·開學(xué)考試）已知正數(shù)x、y滿足x+y=2．(1)求xy的最大值，并求出此時(shí)x、y的值；(2)求1x+2y的最小值，并求出此時(shí)17．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知實(shí)數(shù)a,b,c均大于0，證明：ab（2）已知a>0,b>0，證明：ab18．（2526高一上·全國·單元測(cè)試）某學(xué)校引入種