九年級數(shù)學(xué)上冊期中沖刺九年級數(shù)學(xué)上冊期中沖刺TOC\o"12"\h\u??必背知識點 2第二十一章一元二次方程 2第二十二章二次函數(shù) 3第二十三章旋轉(zhuǎn) 3??考點精講 4考點1：一元二次方程的解法（基礎(chǔ)考點） 4考點2：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)（高頻考點） 5考點3：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用（中檔考點） 5??重難點突破 6難點1：一元二次方程的實際應(yīng)用（利潤最值問題） 6難點2：二次函數(shù)與幾何綜合（面積最值） 6難點3：旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（構(gòu)造全等） 7??易錯點避雷手冊 8??九年級上冊數(shù)學(xué)期中模擬試題 9一、選擇題（共12小題，每題3分，滿分36分） 9二、填空題（共8小題，每題3分，滿分24分） 10三、解答題（共5小題，滿分60分） 10

??必背知識點第二十一章一元二次方程定義與一般形式只含一個未知數(shù)，最高次為2的整式方程：ax注意：a=0時退化為一元一次方程，不屬于二次方程。核心解法解法適用場景關(guān)鍵步驟直接開平方法(x+m開方得x=?m±因式分解法左邊可分解為兩個一次因式乘積化為(x?x1公式法所有二次方程（通用）先算判別式Δ=b^24ac，再代入求根公式x=配方法二次項系數(shù)為1且一次項系數(shù)為偶數(shù)移項→化1→配方（加一次項系數(shù)一半的平方）→開方關(guān)鍵定理與公式判別式：Δ=b韋達(dá)定理：若x1、x實際應(yīng)用模型：增長率/下降率a(1±x)n第二十二章二次函數(shù)表達(dá)式形式一般式：y=ax頂點式：y=a(x??)交點式：y=a(x?x圖象與性質(zhì)性質(zhì)a>0（開口向上）a<0（開口向下）對稱軸x=?bx=?b頂點坐標(biāo)(?b(?b增減性左減右增左增右減最值頂點處取最小值4ac?頂點處取最大值4ac?平移規(guī)律遵循“上加下減，左加右減”（針對頂點式）：y=a(x??)2向右平移n個單位→y=a(x???n第二十三章旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)三要素旋轉(zhuǎn)中心：固定不動的點旋轉(zhuǎn)方向：順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)角：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角（如∠AOA'，A'為A的對應(yīng)點）核心性質(zhì)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA=OA'）對應(yīng)線段相等（AB=A'B'）、對應(yīng)角相等（∠B=∠B'）旋轉(zhuǎn)前后圖形全等中心對稱與中心對稱圖形類型定義性質(zhì)中心對稱兩圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°重合對稱點連線過對稱中心且被平分中心對稱圖形自身繞某點旋轉(zhuǎn)180°與自身重合如平行四邊形、正方形、圓（等邊三角形不是）??考點精講考點1：一元二次方程的解法（基礎(chǔ)考點）例題：解方程x【答案】x【解析】用配方法求解：移項：x2配方：x開方：x?2=求解：x=2±【點睛】配方法的關(guān)鍵是“加一次項系數(shù)一半的平方”，確保等式平衡；若系數(shù)復(fù)雜，可優(yōu)先用公式法。考點2：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)（高頻考點）例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c【答案】a>0，b<0【解析】1.由A、B是與x軸交點，得對稱軸x=?1+32=1，即2.圖象過C(0,3)，代入得c=3；3.拋物線與x軸交于兩點且開口向上（因A、B在x軸上，C在y軸負(fù)半軸，圖象呈“U”型），故a>0；4.由b=2a，a>0得b<0。【點睛】二次函數(shù)系數(shù)符號判斷：a看開口方向，b看對稱軸（“左同右異”，對稱軸在y軸左則a、b同號），c看與y軸交點。考點3：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用（中檔考點）例題：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，若AB=4，∠BAC=30°，求∠BAE的度數(shù)?！敬鸢浮?0°【解析】1.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角∠BAD=∠CAE=60°（對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角）；2.已知∠BAC=30°，則∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°?！军c睛】旋轉(zhuǎn)角是“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線夾角”，需準(zhǔn)確識別對應(yīng)點（如B→D，C→E），避免誤將∠BDE當(dāng)作旋轉(zhuǎn)角。??重難點突破難點1：一元二次方程的實際應(yīng)用（利潤最值問題）例題：某文創(chuàng)產(chǎn)品成本30元，售價40元時日售60件，售價每降1元日售多10件，求利潤630元時的降價金額。【答案】降價1元或3元【解析】1.設(shè)降價x元，則每件利潤(40x30)=(10x)元，日銷量(60+10x)件；2.列方程：(10x)(60+10x)=630；3.整理：?10x4.因式分解：(x?1)(x?3)=0→x【點睛】利潤問題需明確“單利”和“銷量”的表達(dá)式，列方程后優(yōu)先用因式分解法求解；若求最大利潤，可將函數(shù)化為頂點式（y=?10(x?2)難點2：二次函數(shù)與幾何綜合（面積最值）例題：矩形花園長24米，一面靠墻，用籬笆圍三邊，求面積最大時的邊長。【答案】垂直墻邊長6米，平行墻邊長12米，最大面積72㎡【解析】1.設(shè)垂直墻邊長x米，平行墻邊長y=242x米（籬笆長24米），面積S=x(24?2x)=?2x2.化為頂點式：S=?2(x?6)3.因a=2<0，頂點(6,72)為最大值點，故x=6，y=12?！军c睛】幾何面積問題需用含x的式子表示邊長，建立二次函數(shù)模型，結(jié)合自變量取值范圍（如y≤墻長）求最值。難點3：旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（構(gòu)造全等）例題：正方形ABCD中，E、F在AB、BC上，∠EDF=45°，將△DAE繞D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DCG，求證EF=FG。【答案】見解析【解析】1.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：△DAE≌△DCG→DE=DG，AE=CG，∠ADE=∠CDG；2.因∠EDF=45°，∠ADC=90°，故∠ADE+∠FDC=45°→∠CDG+∠FDC=∠FDG=45°；3.證△EDF≌△GDF（SAS）：DE=DG，∠EDF=∠FDG，DF=DF→EF=FG。【點睛】正方形、等腰三角形中常用“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等”，將分散的線段/角集中，突破證明難點。

??易錯點避雷手冊易錯誤區(qū)錯誤原因正確結(jié)論一元二次方程忽略a≠0認(rèn)為ax需滿足a≠0，若a=0則為一次方程（如kx二次函數(shù)平移“左加右減”錯誤將y=a(x??)2向右平移n個單位應(yīng)為y=a(x???n)旋轉(zhuǎn)角判斷錯誤誤將圖形上任意角當(dāng)作旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角是“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線夾角”（如△ABC繞O旋轉(zhuǎn)得△A'B'C'，旋轉(zhuǎn)角為∠AOA'）韋達(dá)定理忽略Δ≥0直接用韋達(dá)定理求參數(shù)，不驗證根的存在性用韋達(dá)定理前需保證Δ≥0（如方程x2?mx+2=0有兩正根，需中心對稱圖形與軸對稱混淆認(rèn)為等邊三角形是中心對稱圖形等邊三角形繞中心旋轉(zhuǎn)180°不重合，是軸對稱圖形，非中心對稱圖形

??九年級上冊數(shù)學(xué)期中模擬試題一、選擇題（共12小題，每題3分，滿分36分）A. B. C.1 D.4下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）。A.等邊三角形 B.矩形 C.正五邊形 D.等腰梯形二次函數(shù)y=x2?2x?3的頂點坐標(biāo)為（）A.(1,4) B.(1,4) C.(1,4) D.(1,4)一元二次方程x2?3x+2=0的兩根之和為（）。A.3 B.3 C.2 D.2將拋物線y=2x2向右平移3個單位，得到的解析式為（）。A.y=2(x?3)2B.y=2(x+3)2C.y=2△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得△A'B'C'，若OA=5，則OA'的長度為（）。A.2.5 B.5 C.10 D.無法確定下列一元二次方程中，有兩個不相等實根的是（）。A.x2+1=0B.x2?2x+1=0C.二次函數(shù)y=?x2+4x?1的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)得正方形AB'C'D'，若∠BAB'=30°，則旋轉(zhuǎn)角為（）。A.30° B.60° C.90° D.120°若x1、x2A.32 B.?32 C.12 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過原點，且開口向下，則（）A.a>0，c=0 B.a<0，c=0 C.a>0，c≠0 D.a<0，c≠0下列圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）。A.正三角形 B.平行四邊形 C.正方形 D.等腰梯形二、填空題（共8小題，每題3分，滿分24分）一元二次方程x2?5x=0的根為__________。二次函數(shù)y=(x?2)2+3的對稱軸為__________。將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A'B'C'，若∠AOB=40°，則∠A'OB'=__________。若方程x2?4x+m=0有兩不等實根，則m的取值范圍為__________。二次函數(shù)y=x2?2x+3與y軸的交點坐標(biāo)為__________【試題來源：2025年山西】點A(2,3)關(guān)于原點成中心對稱的點坐標(biāo)為__________。某公司2023年營收500萬元，2025年營收605萬元，年平均增長率為__________。將拋物線y=?x2向上平移2個單位，再向左平移1個單位，得到的解析式為__________。三、解答題（共5小題，滿分60分）解方程：2x2?5x?3=0已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c過A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)，