2025年內(nèi)蒙古重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將一張坐標紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.2．某校開學(xué)“迎新”活動中要把3名男生，2名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.363．【山東省濰坊市二?！恳阎p曲線的離心率為，其左焦點為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.5．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.46．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.7．若存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若a，b，c為實數(shù)，且，則以下不等式成立的是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0C.1 D.210．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．若，都為正實數(shù)，，則的最大值是（）A. B.C. D.12．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數(shù)的值為__________.14．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.16．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.18．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求；（2）若，求的面積的最大值19．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點.（1）證明：PB∥面AEC；（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點A到平面PBC的距離.20．（12分）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求該拋物線的方程；（2）若點A在第一象限，且拋物線在點A處的切線交y軸于點M，求的面積.21．（12分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個年級學(xué)生人數(shù)如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5分的概率.22．（10分）設(shè)命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點坐標，折痕與直線AB垂直，進而求出斜率，用點斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點坐標為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D2、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A3、D【解析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標準方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點為∴，∴∵∴∴雙曲線的標準方程為故選D.點睛：本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件求出，，的值是解決本題的關(guān)鍵.4、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.5、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A6、A【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個公共點推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，，，而，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個公共點，不符合要求，當時，由得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點睛】思路點睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).8、C【解析】利用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)和取值驗證相結(jié)合可解.【詳解】取可排除ABD；由不等式的性質(zhì)易得C正確.故選：C9、C【解析】令可求得其零點，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為又當時，為增函數(shù)，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題10、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，都為正實數(shù)，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D12、D【解析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因為，則，即，解得.故答案為：.14、【解析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求得坐標，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當，的最小值是2，所以，取，，，當時，最小值為.故答案為：.15、①.②.【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設(shè)，，所以點到平面的距離，所以故答案為：；16、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因為同號，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，于是有以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，此時最小，當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵∴,∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，即，當且僅當時取等號，∴，當且僅當時等號成立，∴的面積的最大值為19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)設(shè)BD交AC于點O，連結(jié)EO，根據(jù)三角形中位線證明BP∥EO即可；(2)根據(jù)三棱錐P－ABD的體積求出AB長度，過A作AH⊥BP于H，可證AH即為要求的距離，根據(jù)直角三角形等面積法即可求AH長度.【小問1詳解】設(shè)BD交AC于點O，連結(jié)EO.∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點.又E為PD的中點，∴EO∥PB，又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.【小問2詳解】，又V＝，可得AB＝2.在面PAB內(nèi)過點A作交于.由題設(shè)易知平面，∴故平面，由等面積法得：，∴點A到平面的距離為.20、（1）;（2）10.【解析】（1）由根據(jù)拋物線的定義求出可得拋物線方程；（2）求出拋物線過點A的切線，得出點M的坐標即可求三角形面積.【小問1詳解】由拋物線的定義可知，即，拋物線的方程為.【小問2詳解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，顯然切線的斜率存在，故可設(shè)其方程為，由，消去得，即，令，解得，切線方程為.令x=0，得，即,又，，.21、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)該校總?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，