2026屆湖南省衡陽縣清潭中學高二上數學期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列{}滿足，則（）A. B.C. D.2．橢圓上的一點M到其左焦點的距離為2，N是的中點，則等于（）A.1 B.2C.4 D.83．設數列的前項和為，數列是公比為2的等比數列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1294．設函數在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A. B.C. D.5．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小張在D處觀測，測得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.106．設雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.7．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或8．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.49．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（）A. B.C. D.10．已知公比不為1的等比數列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.2511．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1（如圖2中算盤表示整數51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數的個數為（）A.8 B.10C.15 D.1612．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點為雙曲線上一點，為焦點，如果則雙曲線的離心率為___________.14．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.15．復數的實部為_________16．平面內n條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點，將其交點個數記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數，且，是否存在兩條曲線，其交點P與點滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值19．（12分）某港口船舶停靠的方案是先到先停，且每次只能?？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機選一個數，若兩數之和為奇數，則甲先?？?；若兩數之和為偶數，則乙先?？?，這種方式對雙方是否公平？請說明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.20．（12分）設圓的圓心為﹐直線l過點且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點.過作的平行線交于點P.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點，C在線段上運動，原點O關于C的對稱點為Q，求四邊形面積的取值范圍；21．（12分）已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程22．（10分）某快遞公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）在這60天中包裹件數在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應分別抽取多少件？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【詳解】因為，.故選：B2、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.3、C【解析】由題設可得，再由即可求值.【詳解】由數列是公比為2的等比數列，且，∴，即，∴.故選：C.4、D【解析】根據函數的單調性得到導數的正負，從而得到函數的圖象.【詳解】由函數的圖象可知，當時，單調遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當時，先增，再減，然后再增，則先正，再負，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數的單調性和導數的關系，意在考查學生對該知識的掌握水平，屬于基礎題.一般地，函數在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是增函數；函數在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是減函數.5、C【解析】分別在和中，求得的長度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因為，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故選：C.6、B【解析】根據雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B7、A【解析】利用等比數列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A8、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A9、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B10、B【解析】設等比數列的公比為，根據求得，從而可得出答案.【詳解】解：設等比數列的公比為，則，所以，則.故選：B.11、A【解析】根據給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數原理得共有8種方法，所以表示不同整數的個數為8.故選：A12、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數函數性質二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據雙曲線的定義可得：，.故答案為：14、【解析】結合圖形可以發(fā)現，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設可得，聯立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系，利用數形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.15、【解析】復數，其實部為.考點：復數的乘法運算、實部.16、①.6；②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個交點得出與的關系后可得結論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個交點，因此，同理，由此得到第條直線與前條直線相交有個交點，所以，即所以故答案為：6；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時，方程表示橢圓，時，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當且僅當分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當且僅當分母異號時，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實軸，進而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點，從而可求【詳解】（1）當且僅當時，方程表示橢圓；當且僅當時，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實軸為，當時，雙曲線實軸最長為此時雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結合圖象的幾何性質任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點設，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點睛】方法點睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數法；若曲線類型未知時，則可利用直接法、定義法、相關點法等求解或者利用分類討論思想求解.18、（1）；（2）1.【解析】(1)根據給定條件結合列式計算得解.(2)設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯立，借助韋達定理結合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題19、（1）不公平，理由見解析.（2）【解析】（1）通過計算概率來進行判斷.（2）利用幾何概型計算出所求概率.【小問1詳解】兩數之和為奇數的概率為，兩數之和為偶數的概率為，兩個概率不相等，所以不公平.【小問2詳解】設甲到的時刻為，乙到的時刻為，則，若它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出，則或，畫出可行域如下圖陰影部分所示，所以所求的概率為：.20、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設四邊形的面積為，，設直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理代入，整理后再利用函數單調性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因為，所以，因為，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設四邊形面積為，則，可設直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，>0恒成立.設，則，=，令，則，在上單調遞增，，即四邊形面積的取值范圍.21、（1）（2）【解析】（1）由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線的方程；（2）根據題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標準方程【小問1詳解】解：由題意知，解得，直線和的交點為；設直線的斜率為，與直線垂直，；直線的方程為，化為一般形式為；【小問2詳解】解：設圓的半徑為，則