浙江省9+1高中聯(lián)盟長(zhǎng)興中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則2．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.3．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.54．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.C.1 D.6．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．“”是“函數(shù)在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.9．已知點(diǎn)在平面α上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面α上的是（）A. B.C. D.10．在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率（）A. B.C. D.11．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.12．在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且，則______14．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為______（寫出所有真命題的序號(hào)．）15．已知橢圓交軸于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于A，的任意一點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，，則為定值．現(xiàn)將雙曲線與橢圓類比得到一個(gè)真命題：若雙曲線交軸于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于A，的任意一點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，，則為定值___16．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于、、、四點(diǎn)，求的值.18．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值19．（12分）如圖，已知頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)分別在軸，軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；（3）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若，直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由.20．（12分）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長(zhǎng).21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知是公比不為1的等比數(shù)列，，且為的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時(shí)，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C2、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長(zhǎng)，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A3、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A4、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B5、A【解析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。划?dāng)時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.6、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯(cuò)誤，利用不等式性質(zhì)可判斷D【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，但，故A錯(cuò)；B.當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)；C.當(dāng)時(shí)，，但，故C錯(cuò)；D.若，則，D正確故選：D7、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無極值，所以對(duì)于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.8、D【解析】利用兩角和的正切公式計(jì)算出正確答案.【詳解】.故選：D9、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于B：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于D：記,則.因?yàn)椋渣c(diǎn)不在平面α上.故選：D10、A【解析】先根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【詳解】因?yàn)榍叭?xiàng)的系數(shù)為，，，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，從而概率為.故選：A.11、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B12、A【解析】結(jié)合空間幾何體以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則,,,故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由，，三點(diǎn)共線，推得，由三角形的中位線性質(zhì)可得到準(zhǔn)線的距離，可得的值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準(zhǔn)線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點(diǎn)，所以到準(zhǔn)線的距離為,故答案為：214、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計(jì)算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對(duì)于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對(duì)于②，拋物線化為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，命題②正確；對(duì)于③，令定圓C的圓心為C，因，則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)P與C不重合時(shí)，有，點(diǎn)P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點(diǎn)外)，則命題③不正確；對(duì)于④，曲線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點(diǎn)為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，所以真命題的序號(hào)為②④.故答案為：②④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.15、－【解析】由雙曲線的方程可得，的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線，的方程，令，分別求出，的縱坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，整理可得為定值【詳解】由雙曲線的方程可得，，設(shè)，則，可得，直線的方程為：，令，則，可得，直線的方程為，令，可得，即，∴，，，故答案為：－另解：雙曲線方程化為，只是將的替換為－，故答案也是只需將中的替換為－即可.故答案為：－.16、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為,……3分∴∴拋物線方程為……6分

由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè)，則，……11分∴【解析】（1）設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意得出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)，∴.拋物線方程為：；（2）依題意直線的方程為設(shè)，，則，得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系；由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出拋物線的方程；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義可求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.18、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用弦長(zhǎng)公式可求弦長(zhǎng).（2）根據(jù)圓過原點(diǎn)可得，設(shè)，從而，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得所求的參數(shù)的值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)，由可得，此時(shí)，故.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因?yàn)?，所以，解得，結(jié)合其范圍可得.19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計(jì)算得到，即可計(jì)算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因?yàn)椋裕?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，若直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因?yàn)?，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時(shí)，即直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點(diǎn)問題.20、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運(yùn)算求得向量的模（線段長(zhǎng)度）【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，因?yàn)椋?，，∵，故；?）由，得，所以