專題強(qiáng)化02：有理數(shù)的運(yùn)算題型歸納【題型歸納】題型一：有理數(shù)加法法則及其運(yùn)算律題型二：有理數(shù)的減法法則題型三：有理數(shù)加減混合計(jì)算題型四：有理數(shù)的乘法法則及其運(yùn)算律題型五：有理數(shù)的除法法則題型六：倒數(shù)題型七：科學(xué)記數(shù)法題型八：近似數(shù)題型九：有理數(shù)的乘方題型十：有理數(shù)的四則運(yùn)算法則題型十一：有理數(shù)運(yùn)算的綜合【題型探究】題型一：有理數(shù)加法法則及其運(yùn)算律【例1】．（24-25七年級(jí)上·天津·期中）把轉(zhuǎn)化成幾個(gè)有理數(shù)相加的形式，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．將每個(gè)減法轉(zhuǎn)化為加法，并改變減數(shù)的符號(hào)即可．【詳解】解：第一個(gè)減號(hào)：轉(zhuǎn)化為；第二個(gè)減號(hào)：轉(zhuǎn)化為；因此，原式轉(zhuǎn)化為：故選B．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各式運(yùn)用加法結(jié)合律變形錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的加法結(jié)合律，解決本題的關(guān)鍵在于運(yùn)用加法結(jié)合律時(shí)，要對(duì)符號(hào)進(jìn)行正確處理.根據(jù)加法的結(jié)合律，逐一判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：A、，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B、原式，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C、原式，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、原式，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列交換加數(shù)的位置的變形中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)加法交換律，注意在交換加數(shù)的位置時(shí)，一定要連同前面的符號(hào)一起移動(dòng)．根據(jù)有理數(shù)加法交換律逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原變形正確，符合題意；故選：D．題型二：有理數(shù)的減法法則【例2】．（25-26七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)【答案】(1) (2) (3)【分析】（）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可；（）利用加法運(yùn)算律計(jì)算即可；本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）不改變?cè)降闹担÷运闶街械睦ㄌ?hào)和加號(hào)后，可以寫(xiě)成的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算法則，先對(duì)每個(gè)選項(xiàng)中的算式去括號(hào)，省略括號(hào)和加號(hào)，再將結(jié)果與進(jìn)行比較，選出正確選項(xiàng)．【詳解】解：A項(xiàng)：寫(xiě)成省略括號(hào)和加號(hào)的形式為，不符合題意；B項(xiàng)：寫(xiě)成省略括號(hào)和加號(hào)的形式為，符合題意；C項(xiàng)：寫(xiě)成省略括號(hào)和加號(hào)的形式為，不符合題意；D項(xiàng)：寫(xiě)成省略括號(hào)和加號(hào)的形式為，不符合題意．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1) (2)4 (3) (4)4【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可；（2）先變減法為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）先變減法為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）先變減法為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：.題型三：有理數(shù)加減混合計(jì)算【例3】．（25-26七年級(jí)上·新疆和田·階段練習(xí)）計(jì)算：用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，涉及減法轉(zhuǎn)化為加法、加法運(yùn)算律的應(yīng)用以及絕對(duì)值的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律以及絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照從左到右的順序依次計(jì)算；（2）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；（3）利用加法交換律和結(jié)合律，把分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起進(jìn)行計(jì)算；（4）先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，再將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，熟知有理數(shù)的加減計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）先將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）先計(jì)算絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．題型四：有理數(shù)的乘法法則及其運(yùn)算律【例4】．（25-26七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）下列式子中，計(jì)算正確的有(

)①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，逐一計(jì)算判斷即可．【詳解】解：①，該項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；②，該項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；③，該項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；④，該項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；即計(jì)算正確的有②③．故答案為：B．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·廣東珠?！るA段練習(xí)）在中，運(yùn)用了（

）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律C．分配律 D．乘法交換律和乘法結(jié)合律【答案】D【分析】本題考查了乘法的運(yùn)算律，熟練掌握乘法交換律和乘法結(jié)合律是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)算式結(jié)合乘法運(yùn)算律判斷即可．【詳解】解：在中，運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級(jí)上·北京西城·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)的運(yùn)算，先觀察整理得，，故原式，再進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：依題意，，則，故選：C．題型五：有理數(shù)的除法法則【例5】．（25-26七年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）將轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)除法運(yùn)算．將除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)將除數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的倒數(shù)即可．【詳解】，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·浙江杭州·期中）下列算式中可以運(yùn)用分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的是理解乘法分配律的意義，以及除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把乘得的兩個(gè)積加起來(lái)，掌握概念并靈活運(yùn)用即可解題．【詳解】解：A、，該算式不適合使用分配律，不符合題意．B、，可以使用分配律，但運(yùn)算沒(méi)有更簡(jiǎn)便，不符合題意．C、，可以使用分配律，且運(yùn)算更簡(jiǎn)便，符合題意．D、，可以使用分配律，但運(yùn)算沒(méi)有更簡(jiǎn)便，不符合題意．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】．（20-21七年級(jí)上·山東聊城·期中）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握乘除混合運(yùn)算法則及除法法則．利用乘除混合運(yùn)算法則及除法法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，故A選項(xiàng)成立，B、D選項(xiàng)不符合題意；，故C選項(xiàng)不符合題意；故選：A．題型六：倒數(shù)【例6】．（2025-2026七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，形式上是符號(hào)不變，交換分子分母的位置即可.據(jù)此計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】解：∵乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，又∵，∴的倒數(shù)是.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）如果有理數(shù)a，b滿足，則的倒數(shù)是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的減法，倒數(shù)的定義，解答即可．本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的減法，倒數(shù)的定義，熟練掌握定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，得，解得，故，的倒數(shù)為，故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（25-26七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的定義，熟練運(yùn)用整體代入及分類討論思想．根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的定義求出，，，再利用整體代入法求解即可．【詳解】解：a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2，，，；．故選：C．題型七：科學(xué)記數(shù)法【例7】．（25-26七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）安徽亳州是聞名遐邇的“中華藥都”．2024年，亳州現(xiàn)代中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè)規(guī)模突破2102億元，其中2102億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)數(shù)．【詳解】解：億，億用科學(xué)記數(shù)法表示為：，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期中）芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術(shù)追求體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的功耗，我國(guó)某品牌手機(jī)自主研發(fā)了最新型號(hào)芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000007毫米，將數(shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的0）．絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)為原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的0）．【詳解】解：．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練3】．．（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期中）石墨烯材料可能會(huì)成為制造芯片的關(guān)鍵材料，如圖是二維石墨烯的晶格結(jié)構(gòu)，圖中標(biāo)注出了石墨烯每?jī)蓚€(gè)相鄰碳原子間的鍵長(zhǎng)，用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：B．題型八：近似數(shù)【例8】．（25-26七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）一張紙的長(zhǎng)度約為，下列關(guān)于該數(shù)值說(shuō)法正確的是（

）．A．這個(gè)數(shù)是準(zhǔn)確數(shù) B．這個(gè)數(shù)是近似數(shù)，它精確到C．這個(gè)數(shù)是近似數(shù)，它精確到百分位 D．這個(gè)數(shù)是近似數(shù)，它精確到個(gè)位【答案】B【分析】本題主要考查了近似數(shù)，熟練掌握有效數(shù)字和精確度是關(guān)鍵．根據(jù)長(zhǎng)度約為判定該數(shù)為近似數(shù)，它精確到0.1．【詳解】解：由一張紙的長(zhǎng)度約為知，是近似數(shù)，它精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，即．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）按括號(hào)內(nèi)的要求用四舍五入法取近似數(shù)，下列錯(cuò)誤的是（

）A．（精確到） B．（精確到）C．（精確到個(gè)位） D．（精確到百分位）【答案】A【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法；從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；本題根據(jù)四舍五入的規(guī)則，逐一判斷各選項(xiàng)是否符合精確度的要求，然后即可求解；【詳解】解：選項(xiàng)A：精確到（十分位），應(yīng)看百分位上的數(shù)字，百分位上的數(shù)字是0，小于5，應(yīng)舍去，結(jié)果為。選項(xiàng)結(jié)果為，與要求不符，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：精確到（百分位），需看千分位的數(shù)字，千分位是9，，故百分位2進(jìn)1得，正確；選項(xiàng)C：精確到個(gè)位，需看十分位的數(shù)字，十分位是3，，故個(gè)位4保持不變，結(jié)果為，正確；選項(xiàng)D：精確到百分位，需看千分位的數(shù)字，千分位是4，，故百分位0保持不變，結(jié)果為，正確；綜上，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A，故選：A；【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．近似數(shù)和精確度相同B．（用四舍五入法精確到）C．由四舍五入得到的近似數(shù)，精確到百分位D．取，身高約，其中和165都是近似數(shù)【答案】D【分析】本題考查了近似數(shù)，正確理解近似數(shù)的精確度是解題的關(guān)鍵．根據(jù)近似數(shù)的精確度逐一判斷即可．【詳解】解：A、近似數(shù)精確到十分位，精確到百分位，兩者精確度不同，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、（用四舍五入法精確到），所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由四舍五入得到的近似數(shù)，精確到百位，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；D、是無(wú)理數(shù)，取是取其近似值；身高約是測(cè)量所得的近似值，故和165都是近似數(shù)，該說(shuō)法正確．故選：D．題型九：有理數(shù)的乘方【例9】．（25-26七年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）現(xiàn)有一根長(zhǎng)的鐵絲，小明第一次剪去鐵絲的，第二次剪去剩下鐵絲的，第三次再剪去剩下鐵絲的，…，如此剪下去，則第次剪完后剩下鐵絲的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得第一次剪去鐵絲剩下的鐵絲長(zhǎng)度，依次求得第二次剪去鐵絲剩下的鐵絲長(zhǎng)度，第三次剪去鐵絲剩下的鐵絲長(zhǎng)度，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解第次剪完后剩下鐵絲的長(zhǎng)度．【詳解】解：第一次剪去鐵絲的，剩下的鐵絲長(zhǎng)度為，第二次剪去剩下鐵絲的，剩下的鐵絲長(zhǎng)度為，第三次再剪去剩下鐵絲的，剩下的鐵絲長(zhǎng)度為，，則第次剪完后剩下鐵絲的長(zhǎng)度是．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，和相等B．和一定互為相反數(shù)C．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，和相等D．和一定不相等【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，難點(diǎn)在于分n是偶數(shù)和奇數(shù)討論.比較表達(dá)式和在不同奇偶性指數(shù)下的結(jié)果，判斷各選項(xiàng)的正確性.【詳解】解：A、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，而為的相反數(shù)，故A不符合題意；B、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)與相等，而非互為相反數(shù)，故B不符合題意；C、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，故C符合題意；D、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，與相等，故D不符合題意.故選：C.【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列代數(shù)式，有理數(shù)的運(yùn)算，乘法、乘方的運(yùn)算定義，根據(jù)乘法的定義：個(gè)相加表示為，根據(jù)乘方的定義：個(gè)相乘表示為，由此求解即可．【詳解】解：故選：C.題型十：有理數(shù)的四則運(yùn)算法則【例10】30．（25-26七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）結(jié)合加法結(jié)合律和交換律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（5）先將除法化為乘法，再將變形為，利用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（6）利用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：（6）解：【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2【分析】本題考查有理數(shù)的四則運(yùn)算，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；（5）根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；（6）根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；（7）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（8）根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．（7）．（8）．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)5(2)(3)(4)4【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則，明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序．（1）先去括號(hào)，再進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算；（2）先進(jìn)行乘方運(yùn)算，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用分配律展開(kāi)，再進(jìn)行加減計(jì)算；（3）先利用分配律展開(kāi)，再進(jìn)行加減法計(jì)算；（4）先算乘方，再算乘法，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有絕對(duì)值，要先做絕對(duì)值內(nèi)的運(yùn)算．【詳解】（1）解：；（2）原式；（3）；（4）．題型十一：有理數(shù)運(yùn)算的綜合【例11】．（25-26七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦了“變廢為寶”活動(dòng)，各班收集的廢紙均以為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的記作“”，不足的記作“”，該校七年級(jí)六個(gè)班收集的廢紙情況如表所示，統(tǒng)計(jì)員同學(xué)不小心將其中一個(gè)數(shù)據(jù)弄臟看不清了，但他記得四班收集的廢紙最少，且收集廢紙最多和最少的班級(jí)質(zhì)量差為．班級(jí)一二三四五六與標(biāo)準(zhǔn)量的差值0(1)請(qǐng)你幫忙計(jì)算七年級(jí)五班同學(xué)收集廢紙的質(zhì)量；(2)若本次活動(dòng)每個(gè)年級(jí)收集廢紙質(zhì)量排名前三的班級(jí)可以獲得榮譽(yù)稱號(hào)，請(qǐng)計(jì)算七年級(jí)獲得榮譽(yù)稱號(hào)的班級(jí)收集廢紙的總質(zhì)量；(3)若七年級(jí)六個(gè)班級(jí)將本次活動(dòng)收集的廢紙集中賣出，之內(nèi)的為2元，超出的部分為元，求廢紙賣出的總價(jià)格．【答案】(1)(2)(3)67.5元【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的混合運(yùn)算，（1）根據(jù)四班收集廢紙最少，收集廢紙最多和最少的班級(jí)的質(zhì)量差為得五班收集廢紙的質(zhì)量最多，可得超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為，即可得五班收集廢紙的質(zhì)量；（2）由（1）得五班收集廢紙的質(zhì)量最大，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，可得本次活動(dòng)收集廢紙質(zhì)量排名前三的班級(jí)為一班、二班、六班，即可得獲得榮譽(yù)稱號(hào)的班級(jí)收集廢紙的總質(zhì)量；（3）七年級(jí)六個(gè)班級(jí)將本次活動(dòng)收集的廢紙集中賣出，可算出賣出的廢紙的總質(zhì)量，進(jìn)而列算式計(jì)算，可得廢紙賣出的總價(jià)格．【詳解】（1）解：∵四班收集廢紙最少，收集廢紙最多和最少的班級(jí)的質(zhì)量差為，∴五班收集廢紙的質(zhì)量最多，超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為：，∴五班收集廢紙的質(zhì)量為：，答：五班收集廢紙的質(zhì)量為；（2）解：由（1）得五班收集廢紙的質(zhì)量最大，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，∴本次活動(dòng)收集廢紙質(zhì)量排名前三的班級(jí)為一班、二班、五班，∴獲得榮譽(yù)稱號(hào)的班級(jí)收集廢紙的總質(zhì)量為：．答：獲得榮譽(yù)稱號(hào)的班級(jí)收集廢紙的總質(zhì)量為；（3）解：七年級(jí)六個(gè)班級(jí)將本次活動(dòng)收集的廢紙集中賣出，賣出的廢紙的總質(zhì)量為：，∴廢紙賣出的總價(jià)格為：（元）．答：廢紙賣出的總價(jià)格為67.5元．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成下面任務(wù)：巧用乘法分配律計(jì)算周末的一天，我在一本數(shù)學(xué)雜志上看到這樣一道題：計(jì)算：，該雜志上的解法有如下兩種方法：方法1：原式；方法2：原式的倒數(shù)，所以原式．任務(wù)：(1)材料中的方法1是先求括號(hào)內(nèi)的________運(yùn)算，再求括號(hào)外的________運(yùn)算（填“加法”“減法”“乘法”或“除法”）；(2)小明聯(lián)想到材料的方法，給出了如下解法．答案解：原式①②③④．⑤顯然小明的解法是錯(cuò)誤的，從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(3)根據(jù)材料中的方法2計(jì)算：．【答案】(1)減法，除法(2)①(3)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則判斷即可；（2）根據(jù)除法法則解答即可；（3）仿照材料中的方法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：材料中的方法1是先求括號(hào)內(nèi)的減法運(yùn)算，再求括號(hào)外的除法運(yùn)算，故答案為：減法，除法；（2）顯然小明的解法是錯(cuò)誤的，從第①步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：①；（3）原式的倒數(shù)，原式．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·階段練習(xí)）請(qǐng)你觀察：；；；……；；……以上方法稱為“裂項(xiàng)相消求和法”．請(qǐng)類比上面的方法，完成下列各題．(1)計(jì)算：______．(2)計(jì)算：(3)計(jì)算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)裂項(xiàng)相消求和法的理解與應(yīng)用．（1）參照所給的方法進(jìn)行求解即可；（2）參照所給的方法進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)所給的式子，由，據(jù)此把其余各項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）解：．【專題訓(xùn)練】一、單選題1．（25-26七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）我國(guó)古代用算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，如圖1可列式計(jì)算為，由此推算圖2可列的算式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，理解題意，正確的列式是解題的關(guān)鍵；根據(jù)正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，列式計(jì)算即可．【詳解】解：6個(gè)小棍正放表示，8個(gè)小棍斜放表示，因此圖2可列的算式為，故選：B．2．（25-26七年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）已知有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的大小比較的原則，逐一判斷即可．本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法，數(shù)軸的意義，熟練掌握數(shù)軸的意義，有理數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得，且，∴，，，故D錯(cuò)誤；A，B，C正確；故選：D．3．（25-26七年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）中國(guó)信息通信研究院測(cè)算，年，中國(guó)商用帶動(dòng)的信息消費(fèi)規(guī)模將超過(guò)萬(wàn)億元．其中數(shù)據(jù)萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中時(shí)，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同；當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．根據(jù)“萬(wàn)億”表示萬(wàn)億，即萬(wàn)，億，進(jìn)而表示即可．【詳解】解：萬(wàn)億．故選：D．4．（25-26七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）把寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式后的式子是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查把有理數(shù)加減法寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先根據(jù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式即可．【詳解】解：，，．故選：A．5．（25-26七年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）在下面每組算式中，不能用等號(hào)連接的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握算理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故本選項(xiàng)符合題意；C、，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．6．（25-26七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．絕對(duì)值等于本身的數(shù)是正數(shù)B．0除以任何數(shù)都得0C．如果兩個(gè)數(shù)相除，商是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)異號(hào)D．幾個(gè)有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，其積的符號(hào)為負(fù)【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)算法則來(lái)解答．根據(jù)有理數(shù)乘除法的運(yùn)算法則和絕對(duì)值的運(yùn)算法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A．絕對(duì)值等于本身的數(shù)是正數(shù)和0，故本選項(xiàng)不符合題意；B．0除以任何不等于0的數(shù)都得0，故本選項(xiàng)不符合題意；C．如果兩個(gè)數(shù)相除，商是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)異號(hào)，故本選項(xiàng)符合題意；D．幾個(gè)有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，其積的符號(hào)為負(fù)，0除外，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：C．7．（25-26七年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）運(yùn)用了（

）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法分配律【答案】C【分析】本題考查了乘法運(yùn)算律，根據(jù)乘法分配律即可求解，熟練掌握乘法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：運(yùn)用了乘法分配律，故選：．8．（25-26七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀材料：求的值．解：設(shè)，記為①式，將①式兩邊同時(shí)乘以2得：，記為②式，將②式減去①式，得即即仿照此法計(jì)算（其中為正整數(shù)）的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，讀懂材料是解題的關(guān)鍵．仿照所給的解答方式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘以3得：，將下式減去上式得，即，即，故選：B.二、填空題9．（25-26七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是，則這個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)．先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)倒數(shù)的定義作答即可．【詳解】，∵，∴若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是，則這個(gè)數(shù)是．故答案為：．10．（25-26七年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積為1，有理數(shù)的加減乘法的混合運(yùn)算，計(jì)算即可．本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，代數(shù)式的值，有理數(shù)的乘法，加減法，熟練掌握相反數(shù)，倒數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，∴，∴，故答案為：．11．（25-26七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①若，則；②若a、b互為倒數(shù)，則③若，則；④若，則a、b互為相反數(shù)．其中正確的有（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）．【答案】④【分析】本題考查有理數(shù)的加除法，相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù)．根據(jù)有理數(shù)的加除法法則，相反數(shù)的定義，絕對(duì)值性質(zhì)，倒數(shù)性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①若，則或，故該項(xiàng)不正確；②若a、b互為倒數(shù)，則，所以，故該項(xiàng)不正確；③，則，故該項(xiàng)不正確；④若，則a、b互為相反數(shù)，故該項(xiàng)正確．故正確的只有④．故答案為：④．12．（25-26七年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）新定義規(guī)定圖形表示運(yùn)算，表示運(yùn)算，則．【答案】1【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法的應(yīng)用，根據(jù)新定義要求列出算式，再根據(jù)有理數(shù)加法法則計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，待求式.故答案為：1.13．（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）年月日，全球首次“人機(jī)共跑”半程馬拉松在北京開(kāi)跑．本次比賽全程約公里，這意味著采用雙足步態(tài)的人形機(jī)器人要完成約萬(wàn)次精密關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是正確確定的值以及的值．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，即可求值．【詳解】解：，，．故答案為：．14．（25-26七年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）如果a，b，c是有理數(shù)，且，那么的值為．【答案】或0或4【分析】本題考查絕對(duì)值的意義、有理數(shù)四則混合運(yùn)算，應(yīng)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵．根據(jù)、、是非零有理數(shù)，可知，，為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正或三正或三負(fù)，按四種情況分別討論代數(shù)式的可能的取值即可．【詳解】解：∵為非零有理數(shù)，由已知可得：，，為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正或三正或三負(fù)．①當(dāng)，b，c為兩正一負(fù)時(shí)，不妨設(shè)為正，為負(fù)，∴，∴；②當(dāng)，b，c為兩負(fù)一正時(shí)，不妨設(shè)為負(fù)，為正，∴∴；③當(dāng)，b，c為三正時(shí)，∴∴；④當(dāng)，b，c為三負(fù)時(shí)，∴∴；綜上所述，的值為0或或．故答案為：0或或．三、解答題15．（25-26七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可；（2）利用加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（3）將除法化為乘法計(jì)算即可；（4）根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式16．（25-26七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】本題考查有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（5）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（6）根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（7）根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可；（8）利用乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：；（7）解：；（8）解：．17．（25-26七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成下面任務(wù)：巧用乘法分配律計(jì)算周末的一天，我在一本數(shù)學(xué)雜志上看到這樣一道題：計(jì)算：，該雜志上的解法有如下兩種方法：方法1：原式；方法2：原式的倒數(shù)，所以原式．任務(wù)：