?？碱}型14函數(shù)奇偶性的判斷、證明與應(yīng)用奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱考法一：函數(shù)奇偶性的判定與證明1.定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，必須先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.若對稱，再驗證=±或其等價形式±=0是否成立.具體做法如下第一步，確定函數(shù)的定義域.第二步，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若對稱，進(jìn)行第三步.第三步，判斷與的關(guān)系，并確定結(jié)論.若=，則該函數(shù)是偶函數(shù)；若=-，則該函數(shù)是奇函數(shù)；若≠且≠-，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若=且=-，則該函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).2.性質(zhì)法(1)如果一個函數(shù)可以寫成兩個常見函數(shù)的和、差、積、商形式，那么可以根據(jù)這兩個函數(shù)的奇偶性直接判斷出這個函數(shù)的奇偶性.(2)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原理:有偶則偶，同奇為奇.3.分類討論法判斷分段函數(shù)的奇偶性時，要以整體的觀點通過分類討論進(jìn)行判斷.4.配湊法判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性，需要利用已知條件找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，配湊出f(-x)與f(x)的關(guān)系，再利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義加以判斷.考法二：函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用1.求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，要注意:若函數(shù)是奇函數(shù)，則=-；若函數(shù)是偶函數(shù)，則==.2.求函數(shù)解析式利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的步驟(1)將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍.(2)將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式.(3)利用函數(shù)的奇偶性求出解析式.3.求參數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足=-或偶函數(shù)滿足=列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應(yīng)項相等確定參數(shù)的值.4.求不等式的解集已知函數(shù)的奇偶性以及它的部分圖象求解有關(guān)不等式的解集時，可以根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解相關(guān)不等式的解集.5.比較函數(shù)值的大小根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為與的相等或相反關(guān)系，體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題.探究一：利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用函數(shù)為奇函數(shù)求在上的解析式即可?！窘馕觥吭谏嫌校?，又是奇函數(shù)，∴，故.故選：C.【答案】C【變式練習(xí)】1．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，因為是奇函數(shù)，所以．故選：．2．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則在時的(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，又當(dāng)時，，所以，又為奇函數(shù)，則，所以.故選：C．探究二：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．1思路分析：思路分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，整理化簡可求得a的值，即得答案。【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，所以，化簡得恒成立，所以，即,經(jīng)驗證，定義域關(guān)于原點對稱，且滿足，故；故選:A．【答案】A【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，并且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由題得.因為在上單調(diào)遞減，并且，所以，所以或.故選：D2．已知定義在R上的偶函數(shù)．若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．25 D．【答案】B【解析】因是R上的偶函數(shù)，則，即恒成立，平方整理得：4x(m-1)=0，則有m=1，此時，由正實數(shù)a，b滿足得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以，當(dāng)時，的最小值為5.故選：B探究三：利用函數(shù)奇偶性解不等式已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由函數(shù)為偶函數(shù)可得，再由函數(shù)單調(diào)性建立不等式求解即可?！窘馕觥恳驗榈亩x域為,關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故由可得，當(dāng)時，是增函數(shù)，所以，解得，故選：B【答案】B【變式練習(xí)】1．已知為定義在上的偶函數(shù)，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為定義在上的偶函數(shù)，則，即是R上的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，，即，因此，，平方整理得：，解得，所以原不等式的解集是.故選：B2．若定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時，由可得，即，所以，，解得，此時；當(dāng)時，由可得，即，所以，，解得或，此時.綜上所述，滿足不等式的的取值范圍是.故選：D.探究四：利用函數(shù)奇偶性比較大小定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：由題意可知在遞減，結(jié)合偶函數(shù)，即可得到結(jié)果。【解析】因為滿足，對任意的有，所以在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A【答案】A【變式練習(xí)】1．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，則，，，因為奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即.故選：D.2．設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】為奇函數(shù)，∴，又∵∴，，，又∵，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，∴，，故選：A.一、單選題1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．，【答案】B【解析】對于A，的定義域為，所以，所以是奇函數(shù)，所以A不正確；對于B，的定義域為，所以，所以是偶函數(shù)，所以B正確；對于C，的定義域為，所以，所以不是偶函數(shù)，所以C不正確；對于D，的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是偶函數(shù)，所以D不正確；故選：B.2．已知對任意都有，且與都是奇函數(shù)，則在上有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值【答案】D【解析】令，因為，與都是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點對稱．對任意都有，即有最大值，則有最大值，所以時有最小值，而的圖象是由的圖象向上平移個單位得到，所以在有最小值，故選：D．3．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：對于A：定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：定義域為，則，即為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，則，故為奇函數(shù)，故C正確；對于D：定義域為，則，所以為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C4．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，因為，所以，當(dāng)時，；因為當(dāng)時，，所以所以.故選：D.5．某同學(xué)在研究函數(shù)時，分別給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)在R上是增函數(shù) D．方程有實根【答案】D【解析】對于A，，故是偶函數(shù)，，不是奇函數(shù)，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，而是偶函數(shù)，的值域是，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，而是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D，當(dāng)時，，即，解得，故D正確，故選：D6．設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圖象向右平移2個單位，可得的圖象，且是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于點成中心對稱，，圖象向右平移1個單位，可得的圖象，且是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于直線成軸對稱，由對稱性，對稱軸直線關(guān)于成中心對稱的直線為，對稱中心關(guān)于直線成軸對稱的點為，即.故選：A.7．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，在上單調(diào)遞減且；由可得或，則或，解得或.故選：C.8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸為，則有，又由函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱，則，則有，則，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則故選：A．二、填空題9．已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若，則______．【答案】0【解析】解：因為為偶函數(shù)，所以＝，即＝，所以函數(shù)關(guān)于對稱，所以＝，又因為為奇函數(shù)，所以＝－，所以函數(shù)關(guān)于(1,0)對稱，＝－＝－，即＝－，所以＝－，＝－＝，即＝，所以的周期為4，在＝－中令

，得，所以，即，又因為，所以，即，所以，所以當(dāng)時，，所以，所以，，，，所以則0.故答案為：0.10．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，不等式的解集為__________.【答案】【解析】解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，因為當(dāng)時，，所以，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)得時，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減易知當(dāng)時，原不等式，解得；當(dāng)時，無實數(shù)解；當(dāng)，無實數(shù)解；當(dāng)，即時，原不等式，解得；當(dāng)，即時，，，滿足題意；當(dāng)，即時，，，不滿足題意.綜上，原不等式的解集為：故答案為：11．已知偶函數(shù)的定義域為，且圖象是連續(xù)不斷的，若，，當(dāng)時，有，則滿足不等式的實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】令，又因為為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，又，，當(dāng)時，有，故在上為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，不等式等價于，即，所以，解得，即所以實數(shù)a的取值范圍是故答案為：．12．若是定義在上的奇函數(shù)，且．若對任意的兩個正數(shù)，都有，則的解集為__________【答案】【解析】設(shè)，∵對任意的兩個正數(shù)，都有，即，∴在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，∴是定義在上的偶函數(shù)，由得，即，∴，又，故的解集為.故答案為：.三、解答題13．已知是奇函數(shù)，且.(1)求實數(shù)的值．(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．(3)求的最大值．【答案】(1)，；(2)在上為減函數(shù)，證明見解析；(3)．【解析】（1）是奇函數(shù)，．，，，又，解得：.所以.（2）在上為減函數(shù)，證明如下：由（1）知，令，則的單調(diào)性和的單調(diào)性相反，設(shè)，則，，，，，即，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)；（3）由（1）（2）結(jié)合計算可知：在上遞減，在上遞增，在上遞增，在上遞減．又當(dāng)時，，且，．14．設(shè)函數(shù)，．(1)某同學(xué)認(rèn)為，無論實數(shù)a取何值，都不可能是奇函數(shù)，該同學(xué)的觀點正確嗎？請說明你的理由．(2)若是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．(3)在（2）的情況下，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)該同學(xué)的觀點正確，理由見解析(2)0(3)【解析】（1）該同學(xué)的觀點正確，理由如下：，．若為奇函數(shù)，則有，∴．顯然無實數(shù)解，∴不可能是奇函數(shù)．（2）若為偶函數(shù)，則有，∴，即．∴，此時，是偶函數(shù)．∴實數(shù)a的值為0．（3）由（2）知，其圖象如圖所示：由圖象，知，∴，解得．∴實數(shù)m的取值范圍為．15．設(shè)函數(shù)，，令函數(shù)．(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)試判斷：是否存在實數(shù)a，b，使得當(dāng)時，恒成立，若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【解析】（1）解：因為為偶函數(shù)，則，即，所以對任意恒成立，所以；（2）解：當(dāng)時，，對稱軸為，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又，，，所以；（3）解：由題意可得，，又，對稱軸為，當(dāng)，時，恒成立，等價于，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以有，因為且，所以，與矛盾；當(dāng)，即時，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以有，因為，所以，故，與矛盾；當(dāng)，即時，則有，由①可得，結(jié)合②可得，由①③可得，，又，所以，即，再結(jié)合①，則有，解得，此時存在滿足條件，綜上所述，的取值范圍為，此時．16．定義在上的函數(shù)