常考題型14函數奇偶性的判斷、證明與應用奇偶性定義圖象特點偶函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱考法一：函數奇偶性的判定與證明1.定義法判斷函數的奇偶性時，必須先判斷函數定義域是否關于原點對稱.若對稱，再驗證=±或其等價形式±=0是否成立.具體做法如下第一步，確定函數的定義域.第二步，判斷定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數既不是奇函數也不是偶函數，若對稱，進行第三步.第三步，判斷與的關系，并確定結論.若=，則該函數是偶函數；若=-，則該函數是奇函數；若≠且≠-，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數；若=且=-，則該函數既是奇函數也是偶函數.2.性質法(1)如果一個函數可以寫成兩個常見函數的和、差、積、商形式，那么可以根據這兩個函數的奇偶性直接判斷出這個函數的奇偶性.(2)復合函數的奇偶性原理:有偶則偶，同奇為奇.3.分類討論法判斷分段函數的奇偶性時，要以整體的觀點通過分類討論進行判斷.4.配湊法判斷或證明抽象函數的奇偶性，需要利用已知條件找準方向，巧妙賦值，配湊出f(-x)與f(x)的關系，再利用奇函數、偶函數的定義加以判斷.考法二：函數的奇偶性的應用1.求函數值利用函數的奇偶性求函數值時，要注意:若函數是奇函數，則=-；若函數是偶函數，則==.2.求函數解析式利用函數的奇偶性求函數解析式的步驟(1)將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍.(2)將轉化后的自變量代入已知解析式.(3)利用函數的奇偶性求出解析式.3.求參數在定義域關于原點對稱的前提下，根據奇函數滿足=-或偶函數滿足=列等式，根據等式兩側對應項相等確定參數的值.4.求不等式的解集已知函數的奇偶性以及它的部分圖象求解有關不等式的解集時，可以根據奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，畫出函數的圖象，結合圖象求解相關不等式的解集.5.比較函數值的大小根據函數奇偶性的定義知，函數的奇偶性主要體現(xiàn)為與的相等或相反關系，體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數的單調性體現(xiàn)的是函數值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數的奇偶性來確定函數在另一區(qū)間上的單調性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調性來解決相關問題.探究一：利用函數奇偶性求函數解析式已知是奇函數，當時，，則當時，（

）A． B． C． D．【變式練習】1．已知是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，（

）A． B．C． D．2．定義在上的奇函數，當時，，則在時的(

)A． B． C． D．探究二：利用函數奇偶性求參數若函數為奇函數，則（

）A． B． C． D．1【變式練習】1．已知函數為定義在上的偶函數，在上單調遞減，并且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知定義在R上的偶函數．若正實數a，b滿足，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．25 D．探究三：利用函數奇偶性解不等式已知，若，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式練習】1．已知為定義在上的偶函數，，且當時，單調遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．若定義在上的偶函數在區(qū)間上單調遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．探究四：利用函數奇偶性比較大小定義在上的偶函數滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【變式練習】1．已知定義在上的奇函數滿足，且在區(qū)間上是增函數，則（

）A． B．C． D．2．設函數是定義在實數集上的奇函數，在區(qū)間上是增函數，且，則有（

）A． B．C． D．一、單選題1．下列函數是偶函數的是（

）A． B． C． D．，2．已知對任意都有，且與都是奇函數，則在上有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值3．下列函數是奇函數的是（

）A． B． C． D．4．若函數是定義在上的奇函數，且滿足，當時，，則當時，函數的解析式為（

）A． B． C． D．5．某同學在研究函數時，分別給出下面四個結論，其中正確的結論是（

）A．函數是奇函數 B．函數的值域是C．函數在R上是增函數 D．方程有實根6．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則一定有（

）A． B． C． D．7．已知定義在R上的奇函數在上單調遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數是偶函數，且函數的圖像關于點對稱，當時，，則（

）A． B． C．0 D．2二、填空題9．已知函數的定義域為R，為偶函數，為奇函數，且當時，．若，則______．10．函數是定義在上的奇函數，，當時，，不等式的解集為__________.11．已知偶函數的定義域為，且圖象是連續(xù)不斷的，若，，當時，有，則滿足不等式的實數a的取值范圍是________．12．若是定義在上的奇函數，且．若對任意的兩個正數，都有，則的解集為__________三、解答題13．已知是奇函數，且.(1)求實數的值．(2)判斷函數在上的單調性，并加以證明．(3)求的最大值．14．設函數，．(1)某同學認為，無論實數a取何值，都不可能是奇函數，該同學的觀點正確嗎？請說明你的理由．(2)若是偶函數，求實數a的值．(3)在（2）的情況下，恒成立，求實數m的取值范圍．15．設函數，，令函數．(1)若函數為偶函數，求實數a的值；(2)若，求函數在區(qū)間上的最大值；(3)試判斷