常考題型23三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2.二倍角公式①②；；③3.降冪公式4.輔助角公式：(其中)5.半角公式（1）.（2）.（3）.6.常用結(jié)論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④1.萬能公式（1）（2）（3）其中2.和差化積公式3.積化和差公式4.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．5.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等6.湊角基本思路先判斷角是否是2倍關(guān)系：（1）若是2倍關(guān)系，則單倍角乘以2變成同倍角；（2）若不是2倍關(guān)系，則為同倍角，則采用誘導(dǎo)公式或兩角和差公式，將兩角進(jìn)行相加減（異號相加，同號相減）7.三角函數(shù)的簡單恒等變換(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點探究一：兩角和與差的三角函數(shù)若，，且，是方程的兩個根，則（

）A． B． C．或 D．或思路分析：思路分析：根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡求解即可．【答案】B【詳解】解：、是方程的兩個根，，，，，即、,，則，則，故選：B．【變式練習(xí)】1．已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．18【答案】C【詳解】，，、均為銳角，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．的最小值為8．故選：C2．已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，所以，，所以，，所以，因為，所以，，所以，故選：B探究二：二倍角公式和半角公式的應(yīng)用已知，且，則等于（

）A．0 B． C． D．2思路分析：思路分析：根據(jù)余弦的二倍角公式以及可得，進(jìn)而可得，代入即可求值.【答案】C【詳解】由得，因為，所以，進(jìn)而得，故，所以，故選：C【變式練習(xí)】1．，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】．故選：D.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，，，，所以.故選：A.探究三：萬能公式的應(yīng)用已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：求出，由兩角和的正切公式展開，結(jié)合已知求得和，然后求得，再由兩角差的正弦公式計算．【答案】C【詳解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此時不是銳角），，是銳角，，，，則，所以．故選：C．【變式練習(xí)】1．已知，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【詳解】由①，，所以②，由①②可得③，由①③得，，所以角為第二象限角，所以為第一、三象限角，，故選A.2．已知直線的傾斜角為，則的值是．A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：，選C.探究四：降冪公式的應(yīng)用已知函數(shù)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.【答案】B【詳解】由題設(shè)，，所以最小正周期為.故選：B【變式練習(xí)】1．已知，，則=（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】D【詳解】因，，則，所以.故選：D2．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵所以，又因為，，所以，即，所以，又因為，所以，．故選：C．探究五：三角恒等式的化簡與求值問題已知，均為銳角，，則＝______．思路分析：思路分析：由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入即可求出值．【答案】【詳解】，都是銳角，，又，，所以，，則．故答案為：.【變式練習(xí)】1．已知，則的值是____.【答案】【詳解】，兩邊平方，可得，可得，．故答案為：2．已知，，均為銳角，則___．【答案】【詳解】因為為銳角，且，則有，，又，則，又為銳角，所以．故答案為：一、單選題1．已知銳角、滿足，，則等于（

）A． B．或C． D．【答案】C【詳解】，為銳角，，，所以，，，所以的值等于.故選：C．2．已知，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】∵，∴.故選：D.3．已知，則的值為（

）A．0 B．C． D．0或±【答案】C【詳解】因為，兩式相加可得，即.故選：C.4．已知，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：，即，解得（舍去）.故選：D.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，故選：D6．已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個最值點和4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因為，所以，又因為函數(shù)在內(nèi)恰有個最值點和4個零點，由圖像得：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A7．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，因為，所以，于是，所以．故選：B8．已知，為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，又所以.∵，為銳角，且，∴，即，∴，∴，∴，∴的取值范圍為.故選：A二、多選題9．若，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】解：因為，所以，因為，，所以，從而，于是，所以，從而．故選：BC.10．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的圖像關(guān)于點對稱【答案】ABC【詳解】因為，所以的最大值為2，故A正確.最小正周期是，故B正確.將代入，可得，則其圖像關(guān)于直線對稱，故C正確.當(dāng)時，，所以的圖像關(guān)于點對稱．故D錯誤.故選:ABC.11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點對稱C．的值域為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為，【答案】AC【詳解】對于A選項，因為，故函數(shù)為周期函數(shù)，A對；對于B選項，，為偶函數(shù)，B錯；對于C選項，由A選項可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，不妨考慮函數(shù)在上的值域即可，當(dāng)時，則，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的值域也為，因此，函數(shù)的值域為，C對；對于D選項，考慮函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為、，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的減區(qū)間為、、，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、、，D錯.故選：AC.三、填空題12．函數(shù)的最大值和最小值是、，則________.【答案】1【詳解】設(shè)，即，即，即，所以，兩邊平方并化簡得，設(shè)關(guān)于的方程的兩根是，則，而不等式的解為：，即分別是函數(shù)的最小值和最大值，所以.故答案為：1.13．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是___________．①函數(shù)的最小正周期為

②時，取得最大值③在上單調(diào)遞增

④的對稱中心坐標(biāo)是【答案】①③【詳解】；對于①，的最小正周期，①正確；對于②，當(dāng)時，，此時不取最大值，②錯誤；對于③，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，③正確；對于④，令，解得：，此時，的對稱中心為，④錯誤.故答案為：①③.14．?dāng)?shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)也可以表示成，則_________.【答案】2【詳解】.故答案為：2.四、解答題15．已知，．求：(1)的值．(2)的值．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）依題意，，則，，，，代入，得，，，解得，所以.所以.（2）由（1）得，，.16．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）在中,，求角.【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）依題意，；（2）；（3）由,可得,由兩角和的正切公式得，因為為三角形內(nèi)角，故，可得，由誘導(dǎo)公式得，又,所以.17．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1），；（2），，∵，∴.18．設(shè)函數(shù).(1)設(shè)，在處取得最大值，求；(2)關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有12個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解：因為，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，因為