2025年高三數(shù)學高考數(shù)據(jù)分析能力模擬試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.數(shù)據(jù)特征分析某學校高三年級1000名學生的數(shù)學模擬考試成績（滿分150分）服從正態(tài)分布$N(105,10^2)$，下列說法正確的是（）A.成績在115分以上的學生約有159人B.成績的中位數(shù)為105，眾數(shù)為100C.若從全體學生中隨機抽取100人，必有50人的成績在95~115分之間D.成績的第84百分位數(shù)約為115分解析：正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$中，$\mu=105$，$\sigma=10$。根據(jù)3σ原則，$\mu+\sigma=115$，對應的概率為$P(X>115)=\frac{1-0.6827}{2}\approx0.1586$，人數(shù)約為$1000\times0.1586\approx159$，A正確；正態(tài)分布的均值、中位數(shù)、眾數(shù)相等，均為105，B錯誤；隨機抽樣不保證必然結(jié)果，C錯誤；第84百分位數(shù)對應$\mu+\sigma=115$，D正確。2.統(tǒng)計圖表應用某電商平臺2024年各季度的銷售額（單位：萬元）如下表所示，若用折線圖展示數(shù)據(jù)趨勢，下列說法錯誤的是（）季度第一季度第二季度第三季度第四季度銷售額320450580620A.銷售額呈逐季度遞增趨勢B.第三季度銷售額環(huán)比增長率高于第二季度C.全年總銷售額為1970萬元D.折線圖中第四季度對應的點的斜率最大解析：環(huán)比增長率=（本季度-上季度）/上季度×100%。第二季度增長率為$(450-320)/320\approx40.6%$，第三季度為$(580-450)/450\approx28.9%$，B錯誤；全年銷售額$320+450+580+620=1970$，C正確；折線圖斜率反映增長速度，第三季度銷售額增長130萬元，斜率最大，D錯誤。3.回歸分析某農(nóng)場研究施肥量$x$（單位：kg/畝）與水稻產(chǎn)量$y$（單位：kg/畝）的關(guān)系，收集10組數(shù)據(jù)并建立線性回歸方程$\hat{y}=2.5x+300$。下列說法正確的是（）A.施肥量每增加1kg/畝，產(chǎn)量平均增加300kg/畝B.若施肥量為100kg/畝，預測產(chǎn)量為550kg/畝C.回歸直線必過樣本點的中心$(\bar{x},\bar{y})$D.相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍是$[0,1]$解析：回歸方程中$x$的系數(shù)為2.5，故施肥量每增加1kg/畝，產(chǎn)量平均增加2.5kg/畝，A錯誤；當$x=100$時，$\hat{y}=2.5\times100+300=550$，B正確；回歸直線必過樣本中心，C正確；相關(guān)系數(shù)$r\in[-1,1]$，D錯誤。4.概率與統(tǒng)計綜合某工廠生產(chǎn)的零件合格率為90%，現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取100個零件進行檢驗，用$X$表示不合格零件數(shù)，則$X$服從（）A.二項分布$B(100,0.1)$B.正態(tài)分布$N(10,9)$C.泊松分布$P(10)$D.超幾何分布解析：獨立重復試驗中，不合格零件數(shù)$X$服從二項分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.1$，A正確；當$n$較大且$p$較小時，二項分布可近似為正態(tài)分布$N(np,np(1-p))=N(10,9)$，但精確分布為二項分布，B錯誤。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）5.分層抽樣某校高三年級有男生600人，女生400人，現(xiàn)按性別分層抽樣抽取50人調(diào)查數(shù)學學習情況，則應抽取男生______人，女生______人。答案：30，20解析：抽樣比為$50/(600+400)=0.05$，男生抽取$600\times0.05=30$人，女生抽取$400\times0.05=20$人。6.方差計算一組數(shù)據(jù)$2,4,5,6,8$的方差為______。答案：4解析：均值$\bar{x}=(2+4+5+6+8)/5=5$，方差$s^2=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2]=\frac{1}{5}(9+1+0+1+9)=4$。7.獨立性檢驗為研究“是否喜歡數(shù)學”與“性別”的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100名學生得到列聯(lián)表，經(jīng)計算$\chi^2=3.841$，則有______%的把握認為兩者相關(guān)（臨界值：$\chi^2\geq3.841$對應$P=0.05$）。答案：95解析：$\chi^2=3.841$時，對應的顯著性水平為0.05，故有95%的把握認為兩者相關(guān)。8.隨機變量分布設(shè)隨機變量$X$的分布列為$P(X=k)=c\cdot(\frac{1}{2})^k$（$k=1,2,3$），則常數(shù)$c=$______。答案：$\frac{4}{7}$解析：由分布列性質(zhì)$\sumP(X=k)=1$，得$c(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=1$，解得$c=\frac{8}{7}$？（修正：應為$c(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=c\cdot\frac{7}{8}=1$，$c=\frac{8}{7}$）三、解答題（本大題共3小題，共60分）9.數(shù)據(jù)可視化與分析（15分）某中學為了解學生每天的體育鍛煉時間，隨機抽取200名學生進行調(diào)查，得到如下頻率分布表：鍛煉時間（分鐘）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]頻率0.10.30.40.150.05（1）繪制頻率分布直方圖，并估計該校學生每天鍛煉時間的中位數(shù)；（2）若鍛煉時間不少于60分鐘為“良好”，估計全校3000名學生中“良好”的人數(shù)；（3）從鍛煉時間在[0,20)和[80,100]的學生中分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機選2人，求兩人鍛煉時間在同一區(qū)間的概率。解答：（1）直方圖中各組的縱坐標為頻率/組距，組距為20，故縱坐標分別為0.005、0.015、0.020、0.0075、0.0025。中位數(shù)位于累計頻率0.5處，前兩組頻率和為0.4，故中位數(shù)在[40,60)內(nèi)，設(shè)為$x$，則$0.4+(x-40)\times0.020=0.5$，解得$x=45$分鐘。（2）“良好”頻率為$0.15+0.05=0.2$，人數(shù)約為$3000\times0.2=600$人。（3）[0,20)的學生人數(shù)為$200\times0.1=20$人，[80,100]為$200\times0.05=10$人，抽樣比為$6/(20+10)=0.2$，故分別抽取4人和2人。記[0,20)的學生為A,B,C,D，[80,100]的為a,b，從6人中選2人的基本事件共15種，兩人在同一區(qū)間的事件有$C_4^2+C_2^2=6+1=7$種，概率為$7/15$。10.回歸模型與預測（20分）某公司為研究廣告費用$x$（萬元）與月銷售額$y$（萬元）的關(guān)系，收集了近6個月的數(shù)據(jù)：$x$123456$y$102025354050（1）繪制散點圖，判斷$x$與$y$是否線性相關(guān)；（2）求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（3）若7月份計劃投入廣告費用8萬元，預測銷售額；并計算當$x=4$時的殘差。解答：（1）散點圖中各點大致分布在一條直線附近，線性相關(guān)。（2）計算得$\bar{x}=3.5$，$\bar{y}=30$，$\sumx_i^2=91$，$\sumx_iy_i=790$，$\hat=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}=\frac{790-6\times3.5\times30}{91-6\times3.5^2}=\frac{790-630}{91-73.5}=\frac{160}{17.5}\approx9.14$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}=30-9.14\times3.5\approx30-32.0=-2.0$，回歸方程為$\hat{y}=9.14x-2.0$。（3）當$x=8$時，$\hat{y}=9.14\times8-2.0=71.12$萬元；當$x=4$時，$\hat{y}=9.14\times4-2.0=34.56$，殘差為$35-34.56=0.44$萬元。11.概率綜合應用（25分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為A,B,C三個等級，合格率分別為98%、95%、90%，且三個等級的產(chǎn)量占比為3:5:2。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件：（1）求該產(chǎn)品為合格品的概率；（2）若已知該產(chǎn)品為合格品，求其為A等級的概率；（3）若隨機抽取10件產(chǎn)品，用$Y$表示合格品數(shù)，求$Y$的數(shù)學期望和方差。解答：（1）設(shè)事件$A,B,C$分別表示產(chǎn)品為A,B,C等級，事件$D$表示合格，則$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，$P(C)=0.2$，$P(D|A)=0.98$，$P(D|B)=0.95$，$P(D|C)=0.90$。由全概率公式$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3\times0.98+0.5\times0.95+0.2\times0.90=0.294+0.475+0.18=0.949$。（2）由貝葉斯公式$P(A|D)=\frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\frac{0.294}{0.949}\approx0.310$。（3）每件產(chǎn)品合格的概率$p=0.949$，$Y\simB(10,0.949)$，故$E(Y)=10\times0.949=9.49$，$D(Y)=10\times0.949\times(1-0.949)\approx0.484$。四、開放探究題（本大題共1小題，20分）12.數(shù)據(jù)分析與決策某市政府為優(yōu)化交通擁堵狀況，收集了市中心某路段早高峰（7:00-9:00）的車流量數(shù)據(jù)（單位：輛/小時），連續(xù)10天的記錄如下：520,580,600,550,630,590,650,570,610,560。（1）計算該路段車流量的均值、方差，并判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布（可通過繪制QQ圖或觀察數(shù)據(jù)分布特征）；（2）若車流量超過600輛/小時需啟動交通疏導預案，估計未來3天內(nèi)至少有1天啟動預案的概率；（3）結(jié)合數(shù)據(jù)分析，為市政府提出兩條緩解交通擁堵的建議。解答：（1）均值$\bar{x}=600$輛/小時，方差$s^2=\frac{1}{10}\sum(x_i-\bar{x})^2=1400$，標準差$s\approx37.42$。數(shù)據(jù)中最大值650，最小值520，極差130，且大致圍繞均值對稱分布，可初步判斷近似服從正態(tài)分布$N(600,37.42^2)$。（2）車流量超過600的概率為$P(X>600)=0