2025-2026學(xué)年度高三上學(xué)期期中考試

高三數(shù)學(xué)試題

考試時(shí)間：2025年11月11日下午15:00-17:00試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并認(rèn)真

核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清楚。

一.單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的)

1.設(shè)集合,集合B=vy=3*},,則A∩B=()

A.B.(0,3)c.(-1,0)D.(0,3)

2.在△ABC中，已知AB=(,√3),BC=(1,-√3),,則△ABC的面積為()

A.√3B.2D.2√3

3.已知實(shí)數(shù)a,b,c,則“ac2≥bc2”是“a≥b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.任意一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成三角形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)

(a,b∈R,r≥0).法國數(shù)學(xué)家棣莫弗創(chuàng)立的棣莫弗定理是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z=r(cosQ?+isinQ),

,則

Z?=r?(cose?+isinθ?),則Z,22=rr?[cos(θ?+8?)+isin(θ+0?)],已知復(fù)數(shù)

z2025+z=()

D.-1

高三數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第1頁

5.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+b|=√7,則a-b在b方向上的投影向量是()

B.

6.與圓(x+2)2+y2=2相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有()

A.2條B.3條C.4條D.6條

7.有四個(gè)半徑為√2的小球，球O?,球O?,球O?放置在水平桌面上，第四個(gè)小球O?放在這三

個(gè)小球的上方，且四個(gè)小球兩兩外切.在四個(gè)小球之間有一個(gè)小球O,與這四個(gè)小球均外

切.則球O的半徑為()

A.2+√2B.2√2C.√3-√2D.√3+√2

8.已知函,則f(x)在下列哪個(gè)區(qū)間上一定存在

極值點(diǎn)()

二.多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)-3,-1,3,7,8,9,11,15的下四分位數(shù)是1

B.若用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則決定系數(shù)R2越大的模型，擬合效果越好

C.已知隨機(jī)變量X～B(n,p),若E(X)=36,D(X)=9,則n=48

D.依據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到x2=6.998>0.635=x.01,則依據(jù)α=0.01

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量沒有關(guān)聯(lián)

10.△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且下列說法正確的是()

A.B.若b=2且△ABC有唯一解，則0<a≤2

C.若sinC=√2sinA,則b=aD.若b=2,則△ABC面積最大值為1+√2

11.數(shù)列{a}滿足an+a+=(-1)"+(n∈n'),且q?=-3,數(shù)列{a。)的前n項(xiàng)和為S,從{a,}的前

2n項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，它們的和為奇數(shù)的概率為P,數(shù)列{P}的前n項(xiàng)積為T,則()

A.a??=14B.S??=-5D.

高三數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第2頁

三.填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.5名同學(xué)站成一排，甲身高最高，排在中間，其他4名同學(xué)身高均不相等，甲的左邊和右邊

均由高到低排列，共有種排法.

13.已知雙曲的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,點(diǎn)P在雙曲線上，且

,|PF|=2|PF2,則雙曲線的離心率e=

14.已知數(shù)列{a}共有m+k項(xiàng)(n=m+k,m≥k,m,keN),其中m項(xiàng)為1,k項(xiàng)為0.若數(shù)列{a.}

滿足對(duì)任意i≤m+k,a,a?,…,a,中的1的個(gè)數(shù)不少于0的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列{a,}為“規(guī)范數(shù)

列”.當(dāng)m=3,k=3時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”的個(gè)數(shù)為,記Pm+k表示數(shù)列{a}是“規(guī)范

數(shù)列”的概率，則Pm+2的最小值為·

四.解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題13分)

已知數(shù)列{a。}滿足

(1)證明：為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和T,.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA=AC,AB//CD,

AB⊥BC,

(1)證明：PA⊥平面ABCD;

(2)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

高三數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第3頁

17.(本小題15分)

欲從甲、乙兩個(gè)無線通信設(shè)備中選出一個(gè)穩(wěn)定設(shè)備作為應(yīng)急通信設(shè)備，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)設(shè)備輪流

發(fā)送信號(hào)進(jìn)行測試，每次發(fā)送一組信號(hào).已知甲設(shè)備每次發(fā)送信號(hào)成功的概率為乙設(shè)備每次

發(fā)送信號(hào)成功的概率為且每次信號(hào)發(fā)送結(jié)果互不影響.

約定1:任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送一組信號(hào)，若信號(hào)發(fā)送成功，便成為穩(wěn)定設(shè)備；

約定2:從甲設(shè)備開始發(fā)送信號(hào)，輪流發(fā)送進(jìn)行測試，先發(fā)送信號(hào)成功的設(shè)備為穩(wěn)定設(shè)備，

當(dāng)決定出穩(wěn)定設(shè)備或兩設(shè)備都發(fā)送信號(hào)3次均失敗，結(jié)束測試.

(1)按照約定1,求在發(fā)送一次信號(hào)就成功的條件下，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率；

(2)按照約定2,

(i)兩個(gè)設(shè)備共發(fā)送信號(hào)不超過4次時(shí)，求甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率；

(ii)測試結(jié)束時(shí)，求乙設(shè)備發(fā)送信號(hào)次數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題17分)

已知橢圓C過點(diǎn),長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)T(4,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)H),設(shè)直線HA,HB的斜率分別為

k?,k?,證明：k?+k?為定值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=e?.

(1)若對(duì)任意的x,af(x)≥x,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)g(x)=xf(x-1)-n,

(i)對(duì)任意正整數(shù)n,證明：函數(shù)g(x)有唯一的零點(diǎn)x?;

(ii)證明：

高三數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第4頁

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2025-2026學(xué)年度高三上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)參考答案

1234567891011

DABCDBCCABCACDACD

12.613.√314.5;

1.D

【分析】求解分式不等式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域再求交集即可.

【詳解

B={y=3*}=(0,+o):4AB=(0,3)

故選：D.

2.A

【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示求出AB|=2,BC=2,,再

由三角形的面積公式求解即得.

【詳解】由

AB=(1,√3),BC=(.,-√3),則4B=√1+3=2,

AB·BC=1×1+√3×(-√3)=-2,

因0≤(AB,BC)≤π,故

所以△ABC的面積為

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】若ac2≥bc2,當(dāng)c=0時(shí)，無論a,b為何值，ac2=bc2=0成立，此時(shí)無法判斷a,

答案第1頁，共12頁

b的大小，則充分性不成立，

若a≥b,兩邊同乘以大于等于零的數(shù)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知ac2≥bc2,則必要性成立，

故選：B.

4.C

【分析】將i化為三角形式，根據(jù)棣莫弗定理可求得Z2?25的值，即可求得答案.

【詳解】由題意可得

故選：C

5.D

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的運(yùn)算求解即可.

【詳解】由于|a|=1,|b=2,|a+b|=√7,

所以a+b=√1+2a·b+4=√7,解得a·b=1,

則a-b在b方向上的投影向量為

故選：D

6.B

【分析】分類討論，①當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)截距為a,②當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方

程為y=kx.

【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以

①當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)截距為a,a≠0.

則直線過點(diǎn)(a,0),(0,a),那么直線斜率

所以直線方程為x+y-a=0.

因?yàn)樵撝本€與圓(x+2)2+y2=2相切，所以圓心(-2,0)到直線的距離等于圓的半徑√2.

即化簡得-2-a|=2,,求解得a=-4或a=0(舍去).

答案第2頁，共12頁

此情況下有一條直線符合題意，直線方程為x+y+4=0.

②當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx,即kx-y=0.

因?yàn)橹本€與圓(x+2)2+y2=2相切，所以圓心(-2,0)到直線的距離等于圓的半徑√2.

即,化簡得k2-1=0,求解得k=±1.

此情況下有兩條直線符合題意，直線方程為y=x,y=-x.

綜上，共有3條直線符合題目要求.

故選：B.

7.C

【分析】連接四個(gè)球的球心可以得到一個(gè)棱長為2√2的正四面體，根據(jù)正四面體的外接球

的半徑公式得到半徑r,即可求得球O的半徑.

【詳解】連接四個(gè)球的球心可以得到一個(gè)棱長為2√2的正四面體，

根據(jù)正四面體的外接球的半徑公式得到半徑

因?yàn)樾∏騉與這四個(gè)小球均外切，

則所求的球O的半徑為√3-√2

故答案為：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造正四面體結(jié)構(gòu)，并求解外接球半徑從而求解小球

半徑.

8.C

【分析】結(jié)合題意可該進(jìn)而結(jié)合極值點(diǎn)的定義求解

即可.

【詳解】由則

要使f(x)存在極值點(diǎn)，則f'(x)一定有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

,則

因?yàn)閍>0,函數(shù)f'(x)開口向上，且

答案第3頁，共12頁

要使上存在極值點(diǎn)，

,即

而m的取值不確定，則f(x)在上不一定存在極值點(diǎn)；

要使f(x)在上存在極值點(diǎn)，

即

而m的取值不確定，則f(x)在)上不一定存在極值點(diǎn)；

要使f(x)在)上存在極值點(diǎn)，

即,則m∈R,

或

所以f(x)在)上一定存在極值點(diǎn)；

要使f(x)在上存在極值點(diǎn)，

亙

即,而m的取值不確定，

或

所以f(x)在)上不一定存在極值點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f(x)在一定存在極值點(diǎn).

故選：C.

9.ABC

【詳解】A:8個(gè)數(shù)從小到大排列，因?yàn)?×0.25=2,可得下四分位數(shù)是1,

故A正確；

B:由決定系數(shù)R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，B對(duì)；

C:因?yàn)閄～B(n,p),E(X)=36,D(X)=9,

答案第4頁，共12頁

則解得：n=48,,故C正確；

D:由x2=6.998>0.635=x0.1,依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)的可

信度越高，錯(cuò).

故選：ABC

10.ACD

【分析】利用正弦定理邊角互化及正弦兩角和差公式化簡可計(jì)算出,再根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)

的條件逐一求解即可.

【詳解】由,√2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,

√2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

由于sinA≠0,所以∵B∈(0,π),∴,故A正確；

由正弦定理得,即a=2√2sinA,又△ABC有唯一解，

所以0<a≤b=2或a=2√2,故B錯(cuò)誤；

由sinC=√2sinA,則

sinA=cosA,即tanA=1,所以,則,所以b=a,故C正確；

若b=2,則由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-√2ac=4,

所以有a2+c2=√2ac+4≥2ac,即ac≤4+2√2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，

△ABC的面積故D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【分析】當(dāng)n=1時(shí)，可求出a?=4,由a+a?+1=(-1)”+1可得a+1+a+2=(-1)+2,兩式相減

可得an+2-a=-2×(-1)“+,從而得到{a,}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式可判斷A;分別對(duì){a}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和可判斷B(或相鄰兩項(xiàng)求和也可);

由古典概型的概率計(jì)算公式可判斷C(或直接計(jì)算P?也可);由數(shù)列放縮可判斷D.

答案第5頁，共12頁

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)n=1時(shí)，a?+a?=1,又a=-3,∴a?=4,

又an+a=(-1)“+(nen*),∴a?+a?+2=(-1)”+2,∴a?+2-a=(-1)+2-(-1)+1=-2×(-1)”+,

∴{a,}的奇數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是首項(xiàng)為-3,公差為-2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是首項(xiàng)

為4,公差為2的等差數(shù)列，

∴a??=a?+5×2=14,故A正確；

對(duì)于B,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)n≥2,n∈N時(shí)，

,故D正確.

故選：ACD.

12.6

【分析】先對(duì)4名同學(xué)作全排列，再去掉兩邊2人的排序即可求解.

【詳解】將除甲外的4名同學(xué)全排列，甲左邊2名同學(xué)與右邊2名同學(xué)順序一定，

所以排法共有種

故答案為：6.

13.√3

【分析】設(shè)|PF?|=x,PF?|=2x,由雙曲線定義求出x=2a,求出P|F?|=2a,PF?|=4a,由余

弦定理求出c=√3a,得到離心率.

【詳解】設(shè)|PF?|=x,PF|=2x,由雙曲線定義可得|PF|-|PF?|=2x-x=2a,

即x=2a,所以|PF?|=2a,|PF?|=4a,

又FF?|=2c,

答案第6頁，共12頁

在△PF?F?中，由余弦定理

,解得c=√3a,故離心率

故答案為：√3

14.5

【分析】根據(jù)定義列出當(dāng)m=3,k=3條件下的所有“規(guī)范數(shù)列”,由此可得第一空結(jié)論，結(jié)

合組合數(shù)定義確定有m個(gè)0,2個(gè)1,m≥2,meN*時(shí)數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)，再求其中“規(guī)范數(shù)

列”的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)m=3,k=3時(shí)，滿足要求的“規(guī)范數(shù)列”有

1,1,1,0,0,0;1,1,0,1,0,0;1,1,0,0,1,0;1,0,1,1,0,0;1,0,1,0,1,0;

所以當(dāng)m=3,k=3時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”的個(gè)數(shù)為5.

(2)n=m+k,m≥k,m,k∈N時(shí)，具有“規(guī)范數(shù)列”數(shù)列特征的數(shù)列{a,}的個(gè)數(shù)為f(m,k),

當(dāng)k=2,m≥2,meN'時(shí)，由已知數(shù)列{a}共有m+2項(xiàng)，其中m項(xiàng)為1,2項(xiàng)為0,

所以滿足條件的數(shù)列{a,}的個(gè)數(shù)為C2+2,

若數(shù)列{an}為“規(guī)范數(shù)列”,則第一項(xiàng)為1,

若第一項(xiàng)為1,第二項(xiàng)為1時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”個(gè)數(shù)為C2,

當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)為1,第二項(xiàng)為0,第三項(xiàng)必然為1,此時(shí)“規(guī)范數(shù)列”個(gè)數(shù)為Cm-1,

所以

答案第7頁，共12頁

因?yàn)楹瘮?shù)在[2,+∞]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)m=2時(shí)，Pm+2取最小值，

故答案為：

15.(1)因?yàn)閍?=1,所以則

又因?yàn)樗詳?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.…………6分

(2)由(1)可知

……13分

16.(1)取CD中點(diǎn)G,連接AG,如圖所示，

則AB//CG,所以四邊形ABCG為平行四邊形，

∴AC⊥AD.……………2分

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD,平面PACn平面ABCD=AC,ADc平面ABCD,

所以AD⊥平面PAC.……………4分

又PAc平面PAC,所以AD⊥PA.又PA⊥BC,AD與BC相交，AD,BCc平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD.………………………6分

(2)由(1)可知PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,所以PA,AC,AD兩兩垂直，如圖建立空

間直角坐標(biāo)系，

答案第8頁，共12頁

則

,c(√2,0,0),pP(0,0,√2),D(0,√2,0),4(0,0,0)7分

AP=(0,0,√2)

設(shè)平面PBA法向量m=(x,y,z),則

令x=1,則y=1,z=0,∴m=(1,1,0);………10分

PC=(√2,0,-√2),CD=(-√2,√2,0),

設(shè)平面PCD法向量n=(a,b,c),則

令a=1,則b=1,c=1,∴n=(1,1,1),……13分

設(shè)平面PAB與平面PCD夾角為θ,則

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.·………………15分

17.(1)設(shè)“任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送信號(hào)，該頻道是甲設(shè)備”為事件M,“任選一設(shè)備發(fā)送信號(hào)，

該頻道是乙設(shè)備”為事件N,“任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送信號(hào)，該設(shè)備發(fā)送信號(hào)放成功”為事件C,

所以…………2分

在發(fā)送一次信號(hào)就成功的條件下，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為

………………4分

(2)(i)發(fā)送信號(hào)1次，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為,……………6分

答案第9頁，共12頁

發(fā)送信號(hào)3次，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為,……………8分

兩個(gè)設(shè)備共發(fā)送不超過4次時(shí)，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為..9分

(ii)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

,…………14分

所以X的分布列為：

X0123

P

所以數(shù)學(xué)期望

18.(1)由題意可得，2a=4,故a=2,b=√3,所以橢圓的方程為

..…………6分

(2)證明：由已知直線1過點(diǎn)T(4,0),且交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，所以直線1的斜率存在.

當(dāng)直線1的斜率為0時(shí)，1:y=0,此時(shí)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),

…………………9分

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，由已知設(shè)直線l:x=my+4,點(diǎn)A(x?,y?),B(x?,y?),

聯(lián)立直線1與橢圓C的方程

整理得(3m2+4)y2+24my+36=0,則△=(24m)2-144(3m2+4)>0,即m2-4>0,

解得m>2或m<-2,,……………13分

所以

答案第10頁，共12頁

…………………16分

綜上，k?+k?為定值，且k?+k?=1.…………17分

19.(1)由af(x)≥x可得，,記……2分