期中真題百練通關(guān)（95題15大壓軸題型）題型一：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用?題型九：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程?題型二：空間位置關(guān)系的向量判斷?題型十：橢圓的基礎(chǔ)性質(zhì)應(yīng)用?題型三：空間角度的向量求法?題型十一：橢圓的離心率問題?題型四：空間距離的向量求法?題型十二：橢圓上的距離與焦點三角形問題?題型五：直線對稱與反射問題?題型十三：直線與橢圓的位置關(guān)系?題型六：直線與圓的位置關(guān)系?題型十四：橢圓中的弦長與中點弦問題?題型七：圓的切線與弦長問題?題型十五：橢圓中的綜合問題題型八：圓與圓的位置關(guān)系?題型一：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用?1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）正方體的棱長為，空間中的動點滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間向量及向量模長公式計算求解得出球的方程，再應(yīng)用三角換元結(jié)合值域計算求解.【詳解】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，點，，因為，所以，化簡得：，表示以為球心，半徑為的球.設(shè)，，，所以的取值范圍為，向量，故的范圍為.故選：C.2．（24-25高二上·上海靜安·期中）如圖，在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且，則CD的長為．【答案】【分析】由題設(shè)，應(yīng)用向量數(shù)量積定義、運算律求線段長．【詳解】由題設(shè)，，，所以，所以.故答案為：3．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）如圖，線段平面，在平面內(nèi)，，與平面成角，點與點在的同側(cè)，已知，則的長為.【答案】【分析】由空間向量的線性運算可知，兩邊平方，再利用向量的數(shù)量積公式即可得解．【詳解】設(shè)平面于F，平面，，又與平面成角，，與的夾角為，又平面，平面，，又，，．故答案為：.4．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）如圖，在空間四邊形OABC中，D為棱BC上一點，且滿足，E為線段AD的中點，設(shè)．(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算法，結(jié)合，即可求解；（2）由，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】（1）解：因為，由向量的線性運算法則，可得：.（2）解：由，所以.5．（23-24高二上·北京延慶·期中）已知正三棱錐的底面的邊長為，是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)中點為，連接，設(shè)中點為，連接，，，利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.【詳解】設(shè)中點為，連接，設(shè)中點為，連接，，，則，，當(dāng)與重合時，取最小值0，此時有最小值.故選：.題型二：空間位置關(guān)系的向量判斷?6．【多選】（23-24高二上·山西運城·期中）已知向量，，，則下列說法正確的是（

）.A． B．C．是平面的一個法向量 D．【答案】ABC【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)量積公式計算判斷A，B，應(yīng)用線面垂直判定定理結(jié)合法向量定義判斷C，應(yīng)用向量減法及模長公式計算判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，A選項正確；對于B：，所以，B選項正確；對于C：因為，，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，C選項正確；對于D：因為，所以，D選項錯誤；故選：ABC.7．【多選】（22-23高一下·廣東深圳·期中）如圖，已知正方體的棱長為2，P是正方形（包括邊界）底面內(nèi)的一動點，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．三棱錐的體積為定值B．存在點P，使得C．若，則P點在正方形內(nèi)的運動軌跡長度為D．若點P為的中點，點Q為的中點，過P，Q作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】利用等體積法判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積判斷B；確定軌跡并求出長度判斷C；作出符合要求的正方體的截面并求出面積判斷D.【詳解】對于A，在正方體中，平面平面，則點P到平面距離為定值，的面積為定值，為定值，A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)，，，不垂直，因此不存在點P，使，B錯誤；對于C，連接，平面，平面，則，而，又平面，則平面，又平面，則.同理得，又平面，則平面，由，得平面，又平面，因此點軌跡為平面與底面交線，即為線段，又，C正確；

對于D，取中點為，連接，平面，由平行于，平面，得，又，則平面，又取中點為，則，有四點共面，則平面平面.平面即為平面，設(shè)平面分別與交于，由平面平面，平面，平面，則，又都是中點，則是中點，同理是中點，于是平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長為2，則，所以截面面積為，D正確.

故選：ACD8．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知平面的法向量為，，平面的法向量為，若，則（

）A．最大值為2 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為2【答案】B【分析】根據(jù)，可得，則，進(jìn)而可求出的關(guān)系及符號，再利用基本不等式即可得解.【詳解】因為，所以，則存在唯一實數(shù)，使得，即，所以，所以，因為，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.故選：B.9．【多選】（23-24高二上·海南?？凇て谥校ǘ噙x）若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點，則（

）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷AB，利用等體積法求體積判斷C，再由三棱錐外接球即為長方體外接球求出半徑判斷D.【詳解】長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點，在A中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∵，∴與不垂直，故A錯誤；在B中，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵，不共線，∴平面與平面相交，故B錯誤；在C中，三棱錐的體積為：，故C正確；在D中，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，∴三棱錐的外接球半徑，∴三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：CD.10．【多選】（24-25高二上·廣東深圳·期中）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，則在上的投影向量為【答案】CD【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項；利用空間向量基底的概念可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A項，由已知可得，所以或，故A項錯誤；對于B項，因為，所以四點不共面，故B項錯誤；對于C項，根據(jù)空間向量基底的概念，可知C項正確；對于D項，因為，所以，在上的投影向量為，故D項正確.故選：CD.題型三：空間角度的向量求法?11．【多選】（25-26高二上·全國·期中）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（不含端點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．不存在點，使得異面直線與所成的角為C．當(dāng)點運動到中點時，平面的法向量可以為D．三棱錐體積的取值范圍為【答案】BCD【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點使得，利用向量數(shù)量積為0求出可判斷A；假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，由向量夾角公式計算可判斷B；求出平面的法向量可判斷C；對于D，方法一

利用向量法求出點到平面距離，再求三棱錐的體積可判斷D；方法二

利用等體積可判斷D．【詳解】以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．對于A，假設(shè)存在點，使得，因為，，所以，解得，不合題意，故A錯誤；對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，因為，，所以，解得，不符合，則不存在點，使得異面直線與所成的角為，故B正確；對于C，當(dāng)點運動到中點時，，又，，所以，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，故C正確；對于D，方法一

因為，，所以，，則，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，設(shè)，則，則點到平面的距離，則三棱錐的體積為，因為，所以，故D正確．方法二設(shè)，則，因為，，點到平面的距離，所以，因為，所以，故D正確．故選：BCD.12．【多選】（24-25高二下·四川廣安·期中）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點，，則下列說法正確的是（

）

A．若，則異面直線和所成的角的余弦值為B．若，則點到平面的距離為C．存在，使得平面D．若三棱柱存在內(nèi)切球，則【答案】AB【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法判斷ABC，首先求等邊三角形內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)三棱柱存在內(nèi)切球，再計算.【詳解】如圖，以點為原點，向量為軸的正方向，再作，若，，，，，，，，故A正確；，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以平面的一個法向量為，且,所以點到平面的距離為，故B正確；

C.設(shè)，則，，，所以不存在，使得平面，故C錯誤；D.等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若三棱柱存在內(nèi)切球，則，故D錯誤.故選：AB13．（24-25高三下·云南·期中）如圖，在六面體中，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)若平面，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，中點分別為，，由面面平行性質(zhì)定理證明，再證明，，由此證明，由平行的傳遞性證明，再由線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，中點分別為，，連接，；由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，又是的中點，則，由于，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，可得又，所以．

所以確定平面，又平面平面，平面平面，所以，由于是的中位線，則，所以，而平面，平面，所以平面．（2）在中，因為，，，所以，則．由于平面，所以以為原點，、、分別軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，

，所以，取，則，所以為平面的一個法向量．

設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．14．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，等腰梯形是由三個邊長為2的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿翻折至，使得，如圖2所示.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)試問在內(nèi)是否存在一點，使得平面？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析；【分析】（1）根據(jù)全等三角形性質(zhì)，利用線面垂直判定定理可證明平面，再由線面垂直性質(zhì)可得；（2）利用空間向量，求出平面法向量以及直線的方向向量，根據(jù)線面角與空間向量之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，利用向量法能求出點的坐標(biāo)，從而求出的長度．【詳解】（1）在圖1連接交于點，在圖2中，知、都是等邊三角形，得，，又，平面，可得平面；又直線平面，所以.（2）因為，，則在中，由，由余弦定理得，作，垂足為，連接，得，，如圖，以的中點為原點，，，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因此，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則；即向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為，（3）假設(shè)在內(nèi)存在點，使得平面成立，，設(shè)，，，，由，得，解得，不滿足題意，所以不存在使得平面成立；15．（24-25高二下·天津·期中）在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，四邊形是矩形，平面，，，點E為的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在直線上存在動點P，使得直線與平面所成角的余弦值為求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）通過線線平行證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解夾角問題；（3）設(shè)，利用線面角的余弦值求出正弦值，利用空間向量建立等式求出，再利用空間兩點間的距離公式進(jìn)行求解．【詳解】（1）設(shè)與交于點，連接四邊形是菱形，是矩形，所以且，且，則且，四邊形是平行四邊形，則是的中點．是的中點，，平面，平面，平面．（2）連接，由四邊形是菱形，，為正三角形，又是的中點，得，即，平面，、平面，，，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，得，，，設(shè)平面的一個法向量為則令，得，，平面的一個法向量為，令，得，，，得，平面與平面所成角的余弦值為；（3）設(shè)，且，由（2）知平面的法向量為，設(shè)直線與平面的所成角為，則，所以，解得或，或．16．（24-25高二下·甘肅慶陽·期中）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是邊長為1的正方形，，與交于點D．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得，由，證得平面，得到，再利用線面垂直的判定定理，即可證得⊥平面；（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為四邊形是正方形，所以．又因為四邊形是正方形，所以，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，且平面，所以平面．（2）解：由四邊形和是正方形且，可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為θ，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（24-25高二下·廣東佛山·期中）如圖，將圓沿直徑折成直二面角，已知三棱錐的頂點在半圓周上，，在另外的半圓周上，．(1)若，求證：；(2)若，，直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意得到平面，推出，再結(jié)合可求證；（2）以為坐標(biāo)原點，，所在直線為，軸，過點作平面的垂線作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由直線與平面所成的角為，確定的坐標(biāo)，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意知平面平面，平面平面，，且平面，故平面，又平面，故；又，且，，平面，故平面，而平面，故；（2）以為坐標(biāo)原點，，所在直線為，軸，過點作平面的垂線作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由于，，則，，設(shè)，，則，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則可得，由于直線與平面所成的角為，故，解得，結(jié)合，則，所以，所以，又平面，所以．18．（24-25高二下·云南曲靖·期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面平面.(1)證明：；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別取，的中點，，連接、、，則可證，由空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化可證，從而可證；（2）在平面內(nèi)過作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：分別取，的中點，，連接，，，如圖，則，，四邊形為平行四邊形，，由，得，又平面平面，平面平面，平面，平面，則平面，平面，，又為的中點，.（2）由（1）知，平面，平面，得，而，，，平面，則平面，又，則平面，在平面內(nèi)過作，則，直線，，兩兩垂直，以點為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，得，而，解得，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，則平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.19．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，在三棱柱中，是的中點，、均為邊長為的正三角形，且.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接、，因為、均為邊長為的正三角形，所以，，且，同理可得，又因為，故，所以，又因為，、平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面．（2）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，由得，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖1，是底邊為2的等腰三角形，且，為等腰直角三角形，，將沿翻折到的位置，且點不在平面內(nèi)（如圖2），點為線段的中點．(1)證明：；(2)當(dāng)平面平面時，求直線與平面所成角的余弦值；(3)若直線與所成角的余弦值為時，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）取中點為，連接，，易得，，再由線面垂直的判定和性質(zhì)，即可證；（2）根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，求出直線與平面的方向向量和法向量，最后應(yīng)用向量法求夾角余弦值；（3）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，應(yīng)用異面直線夾角的向量求法及已知列方程求得，即可得.【詳解】（1）取中點為，連接，，，，，，又，、平面，平面，又平面，．（2）平面平面，平面平面，，平面，平面，易知，，兩兩互相垂直，以為原點，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，直線與平面所成角的余弦值為.（3）以為原點，以為軸，為軸，垂直于平面所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，為等腰三角形，，，則，，，設(shè)，則，則，，故，或（舍），又，．21．（24-25高二下·云南·期中）如圖，平面且為的中點．(1)過點N作一個平面，使與平面平行，并說明理由；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)答案見解析(2)．【分析】（1）由中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)，可得線線平行，根據(jù)線面平行的判定以及面面平行的判定，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案.【詳解】（1）取中點記為M，連接，如下圖：平面即為平面，下面證明平面平面．因為分別為的中點，所以，由，則，由，則，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，平面，所以平面平面.（2）過A作于點E，則，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，所以，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．22．（23-24高二上·吉林長春·期中）如圖甲，在矩形中，，為線段的中點，沿直線折起，使得，點為的中點，連接、，如圖乙．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點、使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由：若存在，求出點的位置．【答案】(1)證明見解析(2)存在，點是線段的中點【分析】（1）取線段的中點可得，由余弦定理求出，根據(jù)勾股定理逆定理可得，結(jié)合以及線面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)為，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．【詳解】（1）取線段的中點，連接，

在中，，，在中，，由余弦定理可得：，，在中，，，因為，，，平面，所以平面；（2）過作的平行線，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點是線段的中點．題型四：空間距離的向量求法?23．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，M為棱PC的中點.(1)證明：平面；(2)若（i）求二面角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，得出線線平行，再應(yīng)用線面平行判定定理證明；（2）（i）先應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函數(shù)關(guān)系求解正弦；（ii）設(shè)再應(yīng)用點到平面距離即可計算求參.【詳解】（1）取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：為棱PC的中點，四邊形ABMN是平行四邊形，又平面，平面，

平面.（2）平面平面，平面平面，平面，平面，又平面ABCD，又以點D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，則為棱PC的中點，（i）設(shè)平面的一個法向量為則令則平面的一個法向量為根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為.（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設(shè)則由（i）知平面的一個法向量為點Q到平面的距離是24．（24-25高二下·福建福州·期中）如圖，在梯形中，，，，現(xiàn)將所在平面沿對角線翻折，使點翻折至點，且成直二面角．(1)證明：平面平面；(2)若異面直線與所成角的余弦值為，求平面與平面所成角的余弦值；(3)在（2）的條件下，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點E，連接，利用平面幾何知識證明，再利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，即可得證；（2）取的中點O，連接，以點O為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，利用向量求異面直線與所成角，列方程求出，進(jìn)而通過向量法求出平面與平面夾角的余弦值；（3）根據(jù)點到平面的距離計算可得.【詳解】（1）取的中點，連接，因為，，，則，，故四邊形為平行四邊形，所以，則，所以，又，故，故，即，又平面平面，且平面平面，平面，故平面，又平面，故平面平面；（2）取的中點，連接，則，所以，且，則兩兩互相垂直，故以點O為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，故，所以，因為異面直線與所成角的余弦值為，所以，解得（負(fù)值已舍去），故，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，可得，由（1）可知平面的一個法向量為，，所以平面與平面的夾角的余弦值.（3）因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離.25．（24-25高二下·甘肅定西·期中）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，．以的中心為球心，為直徑的球面交于點，交于點．(1)求該球體的體積．(2)求直線與平面所成的角的大?。?3)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)球的體積公式計算即可；（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到的坐標(biāo)，利用，求出的值，再求出平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，利用公式計算即可；（3）設(shè)，得到的坐標(biāo)，利用，求出的值，設(shè)點到平面的距離為，再根據(jù)公式計算即可．【詳解】（1）球的直徑，球的半徑，；（2）以為坐標(biāo)原點，以，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則，，，，.設(shè)（），，，，是以為直徑的圓上一點，，，解得或（舍），.設(shè)平面的一個法向量，則，得，令，則，，設(shè)直線與平面所成角為，，直線與平面所成角為；（3）設(shè)，，，由，可得，解得，，設(shè)點到平面的距離為，．26．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如圖，在四棱錐中．底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若，且點到平面的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)；(3)．【分析】（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以向量為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值；（3）由（2）可得，再由求解即可.【詳解】（1）如圖，連結(jié)，交于點，連結(jié)，因為點是的中點，底面為矩形，所以點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）如圖，以向量為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，且平面的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）由（2）可得，，，，，，平面的法向量，故，設(shè)點與平面的距離為，則，解得．27．【多選】（24-25高二下·江蘇常州·期中）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（

）A．異面直線和所成的角為B．平面和平面有相同的法向量C．異面直線和的距離為D．二面角的余弦值為【答案】ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運用坐標(biāo)法計算異面直線所成角、平面法向量及二面角可判斷A項、B項、D項；在線段任取一點，在線段任取一點，設(shè)，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算可得設(shè)，當(dāng)時，即為異面直線和的距離，從而求得的值，求解，即可得判斷C項．【詳解】連接、交于點，連接，，因為四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以，，三點共線，且面，所以以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，對于A：，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A正確；對于B：，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，因為設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以平面和平面有相同的法向量，故B正確；對于C：在線段任取一點，在線段任取一點，鏈接則可設(shè)，因為，所以，則當(dāng)時，即為異面直線和的距離，所以，則，所以，故異面直線和的距離為，故C正確；對于D：因為，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為，故D錯誤；故選：ABC.題型五：直線對稱與反射問題?28．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光線過點，經(jīng)傾斜角為的且過的直線反射后過點，則反射后的光線不會經(jīng)過下列哪個點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點斜式求得直線，再利用點關(guān)于直線對稱求得點關(guān)于直線的對稱點，進(jìn)而利用兩點式求得反射光線的方程，再逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】傾斜角為的且過的直線的方程為，即，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，即，解得，即，于是反射后的光線所在的直線方程為，即，對于A：時，；對于B：時，；對于C：時，；對于D：時，.故選：D29．（24-25高二上·浙江臺州·期中）已知，．(1)若直線l過點，且點A，B到l的距離相等，求直線l的方程；(2)在y軸上存在一點P，使得的值最小，求出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)和(2)【分析】（1）易知當(dāng)直線l過線段AB中點時，l的方程為；當(dāng)直線l與線段AB平行時，利用直線的點斜式方程計算即可求解；（2）易知點關(guān)于y軸對稱的點為，當(dāng)且僅當(dāng)，P，B三點共線時，利用直線的兩點式方程求出直線的方程，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)直線l過線段AB中點時，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為，∵直線l過點，且點A，B到l的距離相等，∴直線l的方程為，當(dāng)直線l與線段AB平行時，則，得直線l的方程為：，即，∴綜上所知：所求的直線l的方程為和；（2）點關(guān)于y軸對稱的點為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，P，B三點共線時，的最小值為5.由兩點式可知，直線的方程為，化簡，得，當(dāng)時，，所以點P的坐標(biāo)為.30．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直線：，：，直線與交于點(1)求過點且與垂直的直線的方程；(2)點是直線上異于的一點，若為的角平分線，求點所在的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，再寫出點斜式方程即可；（2）取點，求出其關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，再利用點斜式方程即可.【詳解】（1）令，則，解得，則，因為直線的斜率，則，則直線的方程為，即.（2）取點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點，則，解得.則點所在的直線的方程，即.

31．（24-25高二上·吉林長春·期中）已知為直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】利用兩點的距離公式結(jié)合“將軍飲馬”模型計算最值即可.【詳解】如圖，為點到原點和到點的距離之和，即．設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即，則，當(dāng)三點共線時，取到最小值，且最小值為．故選：D.32．（24-25高三上·廣東·期中）已知點，，，，平面上僅在線段，，所在位置分別放置一個雙面鏡．現(xiàn)有一道光束沿向量的方向從線段上某點（不含端點）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后從線段上某點射出，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)初始入射點設(shè)，確定入射點和反射點的坐標(biāo)從而利用直線的點斜式方程得入射與反射直線，利用點在線段，，，上從而可得對應(yīng)坐標(biāo)范圍，建立的不等關(guān)系，根據(jù)的范圍得的取值范圍即可.【詳解】設(shè)線段上的入射點為，依次在，，上的反射點為，最后射出的點為設(shè)關(guān)于對稱的點為，關(guān)于對稱的點為，設(shè)，且，則，由可得，所以直線，由對稱性可得，所以直線，則，所以直線，故，所以，故，則由題可得（*），又，所以，，所以所以不等式組（*）解得，因為，函數(shù)在上均為增函數(shù)，所以，故的取值范圍是.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線方程的應(yīng)用，涉及光線入射及反射問題，設(shè)關(guān)鍵的入射點坐標(biāo)，利用直線方程的對稱性、入射點及反射點的坐標(biāo)關(guān)系，從而建立不等關(guān)系求解參數(shù)范圍.33．（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知點，直線.(1)求過點，且與直線平行的直線的方程；(2)光線通過點，經(jīng)直線反射，其反射光線通過點，求反射光線所在直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行設(shè)出直線方程，再根據(jù)點在線上求參即可；（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，再根據(jù)斜率及中點在直線上求出，最后應(yīng)用兩點式寫出直線方程.【詳解】（1）因為直線與直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，因為點在直線上，所以，所以，所以直線的方程為（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為．由題意得，解得，所以點的坐標(biāo)為，所以反射光線所在直線斜率為，直線方程為．34．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于、的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)、反射后又回到原點，光線經(jīng)過的重心.（若、、、分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為、、、，則有.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，請求的重心的坐標(biāo)；(2)求點的坐標(biāo)；(3)求的周長.【答案】(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫出三個頂點的坐標(biāo)，即可求出該三角形重心的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求出點直線、的對稱點、的坐標(biāo)，根據(jù)、、、共線且光線經(jīng)過的重心，結(jié)合斜率公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出點的坐標(biāo)；（3）由對稱性可知，，可得出的周長為，結(jié)合兩點間的距離公式求解即可.【詳解】（1）在等腰直角三角形中，，則，以為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，故的重心的坐標(biāo)為，即；（2）設(shè)，關(guān)于直線、的對稱點分別設(shè)為、，則，設(shè)，直線的方程為，則，解得，即，由光的反射原理可知、、、共線，且光線經(jīng)過的重心，故，解得或（舍去），故.（3）由（2）可得、，由題意可知，，故的周長.35．【多選】（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線與相交于點B．直線和軸圍成的三角形的面積為C．直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為D．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為【答案】AC【分析】通過聯(lián)立方程組求得交點坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對稱性等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由解得，所以交點坐標(biāo)為，A選項正確.直線與軸的交點為，與軸的交點為，直線過原點，由圖可知，直線和軸圍成的三角形的面積為，所以B選項錯誤.由上述分析可知，直線關(guān)于原點O對稱的直線過點，所以直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為，所以C選項正確.點關(guān)于直線的對稱點是；點關(guān)于直線的對稱點是，所以直線關(guān)于直線對稱的直線方程為，即，所以D選項錯誤.故選：AC36．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直線?的方程為?，點?的坐標(biāo)為?.(1)若直線與?關(guān)于點?對稱，求?的方程;(2)若點?與?關(guān)于直線?對稱，求?的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線與直線互相平行，且點到兩直線距離相等，列方程即可求解；（2）由直線垂直平分線段，列方程組即可求解.【詳解】（1）易知直線與直線互相平行，設(shè)的方程為?，點到兩直線距離相等，有?，即?，或?(舍去)，故?的方程為?.（2）設(shè)點?的坐標(biāo)為?，直線，且的中點在直線上，而直線的斜率為，，故有?，解得，?故?的坐標(biāo)為.37．（23-24高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線，直線，則關(guān)于對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)所求直線上任一點，關(guān)于直線的對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組解出，由點在直線上，代入方程可得答案.【詳解】設(shè)所求直線上任一點，關(guān)于直線的對稱點，則，解得，∵點在直線上，即，∴，化簡得，即為所求直線方程.故選：B.38．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，出塞詩是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為．(1)求將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的最短總路程；(2)設(shè)“將軍飲馬”路程最短時的飲馬點為，在△中，求邊中線所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于直線對稱可得對稱點，即可根據(jù)兩點距離公式求解，（2）根據(jù)兩直線的方程可得交點，即可根據(jù)中點坐標(biāo)可得，進(jìn)而根據(jù)兩點坐標(biāo)求解直線方程.【詳解】（1）由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為三點共線滿足題意，點為使得總路程最短的“最佳飲水點”，則，解得，即，此時“將軍飲馬”走過的總路程為．

（2）由（1）知,故直線方程為，故直線的方程是，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為，邊的中點，則，即，∴直線斜率，∴直線的方程為，整理得．∴△中邊中線所在的直線方程為．題型六：直線與圓的位置關(guān)系?39．【多選】（23-24高二上·吉林長春·期中）已知圓．直線，則（

）A．直線在軸上的截距為1B．圓上的點到直線的最大距離為C．直線與圓有2個交點D．過作圓的切線方程為【答案】AC【分析】對于A，令驗算即可；對于C，比較圓心到直線的距離與半徑即可判斷；對于B，由C選項分析即可驗算；對于D，考慮切線方程斜率不存在也滿足即可排除D.【詳解】A.當(dāng)時，，直線在y軸上的截距為1，故A正確；C.圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以直線與圓有2個交點，故C正確；B.根據(jù)C可知，圓上的點到直線的最大距離為，故B錯誤；D.過作圓的切線方程，若切線方程斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為1，等于半徑1，故也是圓的一條切線方程，故D錯誤.故選：AC.40．【多選】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知直線，圓，則下列說法正確的有（

）A．若，則l與圓C相切B．若l與圓C相交，則或C．圓C可能關(guān)于l對稱D．若，則l被圓C截得的弦長為4【答案】ABD【分析】由題意可得直線所過定點以及圓心與半徑，對于A，利用圓的切線性質(zhì)以及點到直線距離公式，可得其正誤；對于B，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用點到直線距離公式，建立不等式，可得其正誤；對于C，將圓心代入直線方程，檢驗可得其正誤；對于D，利用園內(nèi)弦長公式，根據(jù)點到直線距離公式，可得其正誤.【詳解】直線l過定點，圓，所以圓心為，半徑為．對于A，若，則圓心到直線的距離為，所以l與圓C相切，故A正確；對于B，依題意，由圓心到直線的距離為，解得或，故B正確；對于C，將代入到l的方程，得不成立，故l不能經(jīng)過圓心C，則圓C不可能關(guān)于l對稱，故C錯誤；對于D，若，圓心到直線的距離為，則弦長為，故D正確．故選：ABD．41．（24-25高二下·貴州遵義·期中）已知點滿足，點，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析出點的運動軌跡，判斷線段最大值時點所在位置，求出長度.【詳解】因為，變形得，所以軌跡是以為圓心，以為半徑的圓的上半部分，如圖所示，則當(dāng)與點重合時線段長度最大，可知當(dāng)與點重合時，,在中根據(jù)勾股定理可知.故選：C.42．【多選】（24-25高二下·廣東惠州·期中）已知直線，則下列說法錯誤的是（

）A．直線l的縱截距是1 B．點在直線l上，則C．直線l與圓相切 D．直線l與直線間的距離為【答案】AC【分析】令即可判斷；將點代入直線方程即可判斷；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較即可判斷；根據(jù)平行線的距離公式即可判斷.【詳解】因為直線，當(dāng)時，，所以直線l的縱截距是，故錯誤；因為點在直線l上，所以，故正確；因為直線，即，所以圓心到直線的距離為，所以直線l與圓不相切，故錯誤；因為直線，即，所以直線與直線平行，所以兩直線的距離為，故正確.故選：.題型七：圓的切線與弦長問題?43．（24-25高二上·廣東·期中）已知圓：，直線過點.(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；(2)若與圓相切，求的方程；(3)若與圓相交于，兩點，且（其中為圓的圓心）為直角三角形，求的方程.【答案】(1)或.(2)(3)或.【分析】（1）按直線過原點，不過原點分兩類求解；（2）確定在圓上，軸，易得切線方程；（3）確定直線斜率存在，由直角三角形可得圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，由點到直線距離公式求得參數(shù)得直線方程．【詳解】（1）若經(jīng)過原點，設(shè)方程為，由得，則的方程為.若不經(jīng)過原點，則可設(shè)的方程為，因為過點，所以，解得，所以的方程為，即.故的方程為或.（2）由圓：，可得圓心，半徑為2.因為點在圓上，軸，所以直線的方程為.（3）因為為直角三角形，且，所以，則圓心到的距離為.由題意易得的斜率一定存在，所以可設(shè)的方程為，即.由，解得或，故的方程為或.44．（24-25高二上·江蘇常州·期中）已知和為圓上兩點.(1)求圓的方程；(2)過點向圓作切線，求切線的方程；(3)若過的直線交于另一點，若的面積最大，求此時的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）將點、的坐標(biāo)代入圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接檢驗即可；在直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，求出參數(shù)值，綜合可得出直線的方程；（3）分析可知，當(dāng)時，的面積最大，求出圓心到直線的距離，然后對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接檢驗即可；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用點到直線的距離公式求出的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）由題意可得，解得，故圓的方程為.（2）圓的圓心為，半徑為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（3）因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，是等腰直角三角形，且，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，不合乎題意，

所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，整理得，解得或，因此，直線的方程為或，即直線的方程為或.45．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點和.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程；(3)過點的直線與圓交于兩點，若（為坐標(biāo)原點），求直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）圓心在直線上，且在的垂直平分線上，聯(lián)立兩直線方程求得圓心，半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意點在圓上，求出，則得切線斜率，由點斜式方程求出切線方程；（3）由題意可知直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線，與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積的運算求出即可.【詳解】（1）因為圓關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，因為圓經(jīng)過點，所以圓心在的垂直平分線上，因為，中點為，所以的垂直平分線方程為，即，則，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為，所以點在圓上，又，則切線斜率為，所以切線方程為，即為，所以過點且與圓相切的直線方程為.（3）由題意可知直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線，設(shè)，則，則，故，，因為，則，解得或（舍去），所以直線的方程為.46．（24-25高二下·上?！て谥校┻^點與圓相切的兩條直線的夾角為，則．【答案】/0.96【分析】根據(jù)圓的切線的求解方法可求得切線斜率，利用直線夾角公式可求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由得：，則圓心為，半徑；則過點作圓的切線，切線斜率必存在，可設(shè)切線方程為：，即，圓心到切線的距離，解得：，，，又，.故答案為：.47．【多選】（24-25高二上·四川樂山·期中）設(shè)圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則下列說法中正確的有（

）A．圓上恰有兩個點到直線的距離為1 B．四邊形面積的最小值為C．存在點使 D．直線過定點（0，0）【答案】ABD【分析】根據(jù)圓心到直線距離判斷A，切線長公式即可求解B，C，設(shè)出點的坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，因為圓的半徑為，所以，所以圓上恰有兩個點到直線的距離為1，所以A正確；，因為圓的半徑為，根據(jù)切線長公式可得，當(dāng)時取等號，所以的取值范圍為，因為，所以四邊形面積等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因為，整理得，方程無解，所以不存在點使，故C不正確；對于D，設(shè)，則，，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得，所以為圓與以為直徑的圓的公共弦，聯(lián)立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過定點，故D正確；故選：ABD48．【多選】（24-25高二上·廣東·階段練習(xí)）已知圓是直線上一動點，過點P作直線PA，PB分別與圓C相切于點A，B，則（

）A．圓C上恰有1個點到直線l的距離為B．|PA|的最小值是C．|AB|存在最大值D．|AB|的最小值是【答案】ABD【分析】求出圓心到直線的距離判斷A；利用切線長定理計算判斷B；利用四邊形面積求得，借助的范圍求解判斷CD.【詳解】圓的圓心，半徑，對于A，點到直線的距離，點到直線的距離的最小值為，因此圓C上恰有1個點到直線l的距離為，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于CD，由垂直平分得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確，C錯誤.故選：ABD49．（23-24高二下·廣西南寧·期中）若直線與圓交于兩點，且直線不過圓心，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】由直線方程可得直線恒過定點，由圓的幾何性質(zhì)可得當(dāng)時，周長最小，由此可求的值，即而得出圓心到直線的距離及弦長，求出面積即可.【詳解】由可得，故圓心，半徑，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，因為所以點在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，最小，周長最小，又，所以，此時，即直線，所以圓心到直線的距離，所以，所以，故選：B50．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及過點的切線方程；(2)直線與圓相交于兩點，且，求實數(shù)的值．【答案】(1)，或；(2)或【分析】（1）由圓心所在的直線設(shè)出圓心坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式求解；按切線斜率存在與否分類，借助點到直線距離公式求出切線方程.（2）由（1）的結(jié)論及已知求出圓心到直線的距離，再利用點到直線距離公式求出參數(shù)值.【詳解】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心，由，得，解得，因此圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)切線斜率不存在時，圓心到直線的距離為半徑3，則直線是符合題意的切線；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，，解得，直線方程為，所以切線方程為或.（2）由（1）知，圓的圓心，半徑，由，得圓心到直線的距離，則，即，則，解得或，所以實數(shù)的值為或.51．（24-25高二下·上?！るA段練習(xí)）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若過定點的直線被圓所截得的弦長為6，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，然后與直線聯(lián)立方程組可求出圓心的坐標(biāo)，從而可求出圓的半徑，進(jìn)而可求出圓的方程；（2）先求出圓心到直線的距離，然后判斷出直線的斜率存在，設(shè)直線為，再利用點到直線的距離公式列方程求出，從而可求出直線的方程.【詳解】（1）由題意得線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即，由，得，即，所以圓的半徑為，所以圓的方程為；（2）因為直線被圓所截得的弦長為6，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，則圓心到直線的距離為3，不合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線為，即，則，化簡整理得，解得或，所以直線為或.52．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圓過點、且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)，結(jié)合兩點間的距離公式，求出的值，可求出圓的半徑，進(jìn)而可得出圓的方程；（2）求出圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接檢驗即可；在直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)值，綜合可得出直線的方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓心為，由，可得，解得，所以，圓心為，半徑為，因此，圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，直線與圓相交于點、，且，則，又因為直線經(jīng)過點，當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線的方程為，點到的距離為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時直線的方程為，即．所以直線的方程為或．53．（24-25高二上·云南曲靖·期中）點在圓上運動，直線與圓交于、兩點，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心到直線的距離，可求出點到直線距離的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則，點到直線距離的最大值為，所以，面積的最大值為.故選：A.題型八：圓與圓的位置關(guān)系?54．【多選】（25-26高二上·全國·期中）已知圓和圓，則（

）．A．圓的半徑為4B．y軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有3個點到直線的距離為1【答案】BC【分析】對于A項，將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式即得；對于B項，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對于C項，只需將兩圓方程相減化簡，即得公共弦直線方程；對于D項，需要結(jié)合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【詳解】對于A，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為2，故A錯誤．對于B，因為圓心到y(tǒng)軸的距離為1，等于圓的半徑，所以圓與y軸相切，同理圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，所以圓與y軸相切，故y軸為圓與的公切線，故B正確．對于C，將與左右分別相減，得圓與的公共弦所在的直線方程為，故C正確．對于D，如圖，因為直線同時經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線與，其中與和圓都相切，各有一個公共點，與和圓都相交，各有兩個交點，故圓與上共有6個點到直線的距離為1，故D錯誤.故選：BC.55．【多選】（24-25高二下·山西·期中）定義：表示點到曲線上任意一點的距離的最小值.已知是圓上的動點，圓，則的取值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】理解新定義，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】易知兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，記為坐標(biāo)原點，圓的半徑為1，結(jié)合圖像易知，則.符合條件的有ABC，故選：ABC56．（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知圓，直線，則下列錯誤的是（）A．直線l與圓C不可能相切B．當(dāng)時，圓C上恰有三個點到直線l距離等于1C．直線l與直線垂直D．若圓C與圓恰有三條公切線，則【答案】B【分析】對于A項，求出直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)，判斷該點與圓的關(guān)系，即可判斷；對于B項，代入，得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對于C項，根據(jù)兩直線的系數(shù)計算即可得出；對于D項，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】對于A項，整理直線可得出，解方程組可得，直線過定點.圓的圓心為，半徑為，則，所以點在圓內(nèi)，即直線過圓內(nèi)一定點，所以，直線l與圓C一定相交，不可能相切.故A正確；對于B項，當(dāng)時，直線化為.此時有圓心到直線的距離，且，因此圓C上只有兩個點到直線l的距離等于1.故B錯誤；對于C項，因為，所以直線l與直線垂直.故C正確；對于D項，要使圓C與圓恰有三條公切線，則應(yīng)滿足兩圓外切.圓可化為，圓心為，半徑為.因為兩圓外切，所以有，即，整理可得，化簡可得，解得.故D項正確.故選：B57．【多選】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圓與圓交于兩點，則（

）A．圓與圓有兩條公切線B．直線的方程為C．D．線段的垂直平分線的方程為【答案】ABD【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，進(jìn)而判斷圓的位置關(guān)系確定切線條數(shù)，兩圓方程作差求相交弦方程，應(yīng)用幾何法求相交弦長，垂直關(guān)系求斜率并應(yīng)用點斜式求直線方程.【詳解】由，則圓心，半徑，由，則圓心，半徑，所以，即，故兩圓相交，所以圓與圓有兩條公切線，A對；兩圓作差有，整理得，B對；由到的距離，則，C錯；由B知，則線段的垂直平分線的斜率，故線段的垂直平分線的方程為，D對.故選：ABD58．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓：上存在點P，且點P關(guān)于直線的對稱點Q在圓：上，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)出點P坐標(biāo)為，根據(jù)題意表示出點Q坐標(biāo)為；再根據(jù)點在圓上列出方程組，得出點P的幾何意義是表示圓和圓的交點；最后利用兩點間距離公式和兩圓的位置關(guān)系列出關(guān)于r的不等式，求解即可.【詳解】設(shè)點P坐標(biāo)為，點Q坐標(biāo)為.因為點P和點Q關(guān)于直線對稱，所以，整理得：，即點Q坐標(biāo)為.因為點P在圓：上，點Q在圓：上，所以，即.則是方程組的解，則圓和圓的位置關(guān)系是相切或者相交.又因為圓的圓心坐標(biāo)為圓，半徑為；圓的圓心坐標(biāo)為圓，半徑為，所以兩圓的圓心間距離為，則由兩圓的位置關(guān)系可得：，解得：.故選：C.題型九：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程?59．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，已知是橢圓的左焦點，為橢圓的下頂點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，射線與圓交于點，則的取值范圍為.

【答案】【分析】由題意求得點軌跡，根據(jù)軌跡判斷計算的取值范圍.【詳解】設(shè)為橢圓的右焦點，連接，如圖所示：

、分別為、的中點，，為直徑，，，所以點軌跡是以為圓心為半徑的圓，在圓內(nèi)，且，所以，，，即的取值范圍為.故答案為：.60．（24-25高二上·河南·期中）設(shè)為橢圓上一動點，分別為橢圓的左?右焦點，，則的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】B【分析】利用橢圓的定義式，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形分析判斷得出的最小值，即得的最小值.【詳解】如圖，連接,因，則，由圖知，當(dāng)三點共線，且點在之間時，的值最小，最小值為,此時，的最小值為.故選：B.61．（24-25高二上·河北張家口·期中）已知動圓過點，并且在圓內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)兩圓位置關(guān)系得到，再利用橢圓的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動圓圓心為，半徑為因為圓的圓心為，半徑為，由題有，又動圓過點，得，即，則到兩定點的距離之和為，由橢圓的定義可知，點在以為焦點，長軸長為的橢圓上，因為，得到，所以動圓圓心的軌跡方程為，故選：C.62．（22-23高二上·北京·期中）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可求得方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義可得答案.【詳解】因為，所以可以轉(zhuǎn)化為到的距離，同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，因為，所以到兩定點和的距離之和為，所以在以點和為焦點的橢圓上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，即，又，所以，所以橢圓的方程為：，由，得，解得，.故選：D.題型十：橢圓的基礎(chǔ)性質(zhì)應(yīng)用?63．【多選】（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓相交于、兩點，則（

）A．B．當(dāng)，，不共線時，的周長為C．存在，使得D．【答案】BD【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，由橢圓性質(zhì)判斷A，由橢圓定義判斷B，由以為直徑的圓與橢圓有沒有公共點，判斷C，由焦點弦長最長是長軸，最短的是通徑，從而可判斷D．【詳解】由題意，，，因此，A錯；當(dāng)，，不共線時，的周長為，B正確；由于，因此以為直徑的圓與橢圓沒有公共點，從而橢圓上不存在點，使得，C錯；，，D正確，故選：BD．64．【多選】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是橢圓上的動點，是圓上的動點，則（

）A．橢圓的焦距為 B．橢圓的離心率為C．的最大值為3 D．的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，可判斷A和B；設(shè)橢圓上一點，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值，進(jìn)而判斷C和D.【詳解】對于AB，由橢圓，可得，所以，所以橢圓的焦距，離心率為，故A不正確，B正確；對于CD，由圓，得圓心，半徑，設(shè)橢圓上任意一點，則，令，其圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，可得，所以，則的最小值為，故C正確，D不正確.故選：BC.65．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知曲線C的方程為，則下列說法正確的是．①曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；

②y的取值范圍是；③曲線C是一個橢圓；

④曲線C圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積．【答案】①②④【分析】①在曲線C上任取一個點，找到它關(guān)于原點對稱的點，判斷是否也在曲線C上即可.②把用表示，借助的范圍即可得y的取值范圍.③分析曲線C的圖形是兩個拋物線的部分組成的即可.④在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線C的圖形的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】曲線C的方程為，可變?yōu)?①設(shè)點，滿足，則點關(guān)于原點對稱的點為，因為，所以點也在曲線C上，即曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.故①正確.②因為，所以，則y的取值范圍是.故②正確.③時，曲線C的方程可化為，其中，時，曲線C的方程可化為，其中，所以曲線C的圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓.故③不正確.④當(dāng)時，，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線C的上方.根據(jù)曲線C和橢圓的對稱性可得橢圓的圖形在曲線C的外部（四個頂點都在曲線C上），所以曲線C圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.故④正確.故答案為：①②④.題型十一：橢圓的離心率問題?66．（2025·山東·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過作的垂線與在第一象限內(nèi)交于點，且．設(shè)的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)橢圓定義和已知線段關(guān)系求出相關(guān)線段長度，再通過三角函數(shù)關(guān)系求出，最后利用余弦定理建立關(guān)于橢圓離心率的方程并求解.【詳解】如圖，連接，設(shè)與交于點M.由，可設(shè)，則，其中，由橢圓的定義，得，從而，又因為，所以，在中，設(shè)，則為銳角，所以，即，由余弦定理，得，即，解得.故選：C.67．（24-25高二下·上海寶山·期中）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內(nèi)層橢圓引切線、（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過、和、的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由分別轉(zhuǎn)化出、的表達(dá)式，結(jié)合可求與的關(guān)系式，齊次化可求離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因為內(nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設(shè)成，設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡得：，設(shè)切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：B.68．（2025·廣東·期中）設(shè)橢圓的右焦點為.為上一點，的半徑為，過作軸的垂線，交于兩點，在的左側(cè).記的離心率為，點軌跡的離心率為，點軌跡的離心率為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先設(shè)點，應(yīng)用兩點間距離公式得出，再分類討論得出離心率大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，故，故帶入有，同理得，由有，故，，故，故答案為：D.69．（24-25高二上·浙江·期中）已知橢圓的兩個焦點為，設(shè)過點組平行于的直線交于點Q．若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得，由，可得，從而得到關(guān)于，的齊次式方程，解得即可.【詳解】由題意，，，過點組平行于的直線方程為，聯(lián)立，可得，則，，由，可得，即，即，即，整理得，兩邊同時除以，可得，又，可得，則．故選：C．70．（24-25高二下·云南·期中）已知橢圓，為橢圓的半焦距長，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓的定義即可得出離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑，顯然，且，因此可得，所以，可得，可得，又，由余弦定理可得，解得，再由橢圓的定義可得，即，因此離心率.故答案為：71．（24-25高二下·陜西安康·期中）已知橢圓的左，右焦點分別為，，E的離心率為，過作斜率為的直線交于A，B兩點，則外接圓的半徑為【答案】/【分析】由題意可得的離心率，不妨記點在軸上方,再根據(jù)過的斜率為，余弦定理求解，求解半徑.【詳解】由題意可得的離心率為，不妨記點在軸上方，則，由可知，解得，，故可知點到直線的距離，設(shè)，則，由余弦定理知，即，解得，故，所以，故，設(shè)則故，即，解得，故，，在中，利用正弦定理得，代入數(shù)據(jù)得.故答案為：；.72．（23-24高二上·貴州安順·期中）已知橢圓和圓，過橢圓C上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B.若橢圓上存在點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是【答案】【分析】由已知及圓的性質(zhì)，得四邊形是正方形，得，由得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】由，得，又是圓的切線，由圓的性質(zhì)，得四邊形是正方形，則，因此，橢圓離心率，所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.故答案為：73．（24-25高二上·江蘇·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，定義為“曼哈頓距離”.若，則點的軌跡所圍成圖形的面積為，若橢圓上有且僅有8個點滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”列方程，結(jié)合絕對值的知識求得點的軌跡所圍成圖形的面積.根據(jù)已知條件列不等式，求得的范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，若，則；若，則；若，則；若，則，由此畫出點的軌跡如下圖所示（正方形），由圖可知點的軌跡所圍成圖形的面積為.橢圓，對應(yīng)，，要使橢圓上有且僅有8個點滿足，根據(jù)對稱性，由方程組有兩個解，且，所以，整理得，，解得，所以.故答案為：【點睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.74．（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點，過可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【分析】首先通過橢圓的四條特殊切線可知道蒙日圓的半徑，問題轉(zhuǎn)化為直線與蒙日圓有交點問題，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式即可求解.【詳解】由橢圓方程可知蒙日圓半徑為，所以蒙日圓方程為，∵點在橢圓的蒙日圓上，又因為點在直線上，∴直線和蒙日圓有公共點.∴圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為：.題型十二：橢圓上的距離與焦點三角形問題?75．【多選】（24-25高三上·遼寧大連·期中）已知橢圓的左右兩個焦點分別為、，左右兩個頂點分別為、，P點是橢圓上任意一點（與不重合），，則下列命題中，正確的命題是（

）A． B．的最大面積為C．存在點P，使得 D．的周長最大值是【答案】ABD【分析】設(shè)，表示出和，利用橢圓方程化簡即可判斷AC；結(jié)合圖形求解可判斷B；利用橢圓定義將的周長轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形求解可判斷D.【詳解】對A，由題知，，則，設(shè)，，則，A正確；對B，易知當(dāng)點為短軸端點時，的面積最大，最大值為，B正確；對C，，則，C錯誤；對D，由橢圓定義可知，，所以，又，所以，當(dāng)三點共線，且在線段上時，等號成立，D正確.故選：ABD76．【多選】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知點是橢圓：上一點，，是橢圓的左、右焦點，且的面積為4，則下列說法正確的是（

）A．點的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】BC【分析】此題先算出橢圓的基本量，運用三角形面積公式即得；再利用點的坐標(biāo)易于求得的邊長，運用勾股定理逆定理即得；根據(jù)橢圓的定義式可得的周長；最后利用面積相等即得內(nèi)切圓半徑.【詳解】依題意，不妨設(shè)點，由可得故，則的面積為解得：，對于A選項，由上分析知點的縱坐標(biāo)為，故A項錯誤；對于B選項，由知，此時點為橢圓短軸頂點，故，又由知，故B項正確；對于C選項，因點在橢圓上，故有于是的周長為故C項正確；對于D選項，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積相等可得：，解之得：故D項錯誤.故選：BC.77．（24-25高二上·天津·期中）設(shè)是橢圓上的一點，，是該橢圓的兩個焦點，且，則的面積為，內(nèi)切圓半徑為.【答案】/【分析】利用橢圓的定義及余弦定理求出，即可求出的面積，再由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由橢圓方程可得，，則，，，在中，，即，解得，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的周長為，所以，解得.故答案為：；.【點睛】78．（24-25高一下·浙江·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為是上在第二象限內(nèi)的一點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義和條件求解焦半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】由條件可知，，得，，且所以，且，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以直線的斜率為.故選：B79．（24-25高二上·遼寧撫順·期中）已知圓，橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，為橢圓上一點，直線與圓交于點，，若，則.【答案】6【分析】利用求出，然后將轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】設(shè)，由于，而，則，所以，．故答案為：680．【多選】（25-26高二上·全國·期中）橢圓的兩個焦點分別為，則下列說法正確的是（

）A．若為上一點，則面積的最大值為B．過點的直線與橢圓交于A，B兩點，則的周長為8C．若直線與恒有公共點，則的取值范圍為D．若上存在點，使得，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】當(dāng)為橢圓上頂點或下頂點時，面積最大，計算可判斷A；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點所在的位置分析可判斷B；因為直線過定點，可知定點在橢圓內(nèi)部或橢圓邊界上，列式計算可判斷C；分析可知當(dāng)位于短軸頂點時，最大，此時，分類討論焦點所在位置分析求解可判斷D.【詳解】選項正誤原因A√若，則，則，由題意，當(dāng)為橢圓上頂點或下頂點時，面積最大，此時．B×由橢圓的定義可得的周長為，但焦點不一定在軸上，若橢圓焦點在軸上，則的周長為4m．C√因為直線過定點，直線與恒有公共點，所以點在橢圓內(nèi)部或橢圓邊界上，則，即．又因為且，所以的取值范圍為．D√若，則．當(dāng)位于短軸端點時，最大，此時（O為坐標(biāo)原點），可知，即，當(dāng)焦點在軸，即時，得，解得，當(dāng)焦點在軸，即時，得，解得．綜上所述，的取值范圍為．

故選：ACD題型十三：直線與橢圓的位置關(guān)系?81．（24-25高二下·福建廈門·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為，過點作斜率不為0的直線，與交于兩個不同的點.若，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)關(guān)系，和離心率定義，求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）對于直線斜率不為0，和斜率存在，取用不同的直線設(shè)法，選用不同的方程聯(lián)立，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，和韋達(dá)定理求出直線斜率，求出方程.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：因為直線的斜率存不為0，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理可得，因為，所以，，又，，且，故，于是，化簡得，解得，所以直線的方程為：，即或；解法二：當(dāng)斜率不存在時，直線與橢圓交于,可得，則，不符合條件，所以直線的斜率存在且不為0，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，