23/31專題01空間向量及其運(yùn)算（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律共線向量掌握空間向量的線性運(yùn)算,增強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題共面向量理解空間任一向量可用空間不共面的三個已知向量唯一線性表示,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題空間向量基本定理及其應(yīng)用1、會在簡單問題中選用空間三個不共面向量作基底表示其他的向量,強(qiáng)化直觀想象的核心素養(yǎng).2、會用空間向量基本定理證明平行、垂直問題和求夾角、模長、數(shù)量積,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).高頻易錯點，數(shù)量積、模長、夾角的運(yùn)算及最值（范圍）出錯空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用1、掌握向量平行、向量垂直的坐標(biāo)表示,并能解決相關(guān)的向量的平行、向量的垂直問題,強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、能熟練應(yīng)用兩個向量數(shù)量積、夾角與向量長度的坐標(biāo)計算公式,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題知識點01空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.知識點02空間向量的加法、減法運(yùn)算1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點為起點，作向量，2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即4、空間向量的加法運(yùn)算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：知識點03空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2、數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反知識點04共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．4、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使5、空間共面向量的表示如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．6、拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識點05空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，那么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.知識點06空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影①如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．②如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運(yùn)算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點07空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2、基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．3、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．4、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．知識點08空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系.(2)相關(guān)概念：叫做原點，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．2、空間向量的坐標(biāo)表示①空間一點的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對空間任意一點，對應(yīng)一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點的橫坐標(biāo)，叫做點的縱坐標(biāo)，叫做點的豎坐標(biāo)．②空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記作.知識點09空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1、設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積2、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）3、向量長度的坐標(biāo)計算公式若，則，即空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度4、兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式設(shè)，則5、兩點間的距離公式已知，則6、中點坐標(biāo)公式設(shè)點為，的中點，則.題型一空間向量的線性運(yùn)算解｜題｜技｜巧1．（23-24高二上·河南南陽·月考）求為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·江蘇鹽城·月考）已知空間四邊形中，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，則等于（

）A． B． C． D．3．已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（）A．B．C．D．4．在三棱錐中，若是正三角形，為其重心，則化簡的結(jié)果為．5．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在四面體中，，，棱，的中點分別為，，若，則.題型二空間向量共線問題解｜題｜技｜巧1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．1．（24-25高二上·河南許昌·月考）在長方體中，，分別為，的中點，則下列向量中與向量平行的向量是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或33．設(shè)，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且、、三點共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．84．（23-24高二上·北京·月考）若空間三點，，共線，則實數(shù).5．已知點和點，則靠近點的三等分點的坐標(biāo)為．6．（23-24高二上·陜西·月考）在正四棱臺中，，，，，，若平面，則．

題型三空間向量共面問題解｜題｜技｜巧1、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使2、拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．1．（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面2．（24-25高二下·江蘇淮安·期中）已知空間向量，，，若向量共面，則實數(shù)的值為（

）.A．9 B．10 C．11 D．123．（23-24高二上·福建廈門·月考）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，，與平面交于點，則（

）A． B． C． D．4．（多選題）以下能判定空間中四點共面的條件是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·陜西漢中·月考）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則的值是．6．（24-25高二上·上海寶山·期中）若，，是三個不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，則．7．（24-25高二下·江蘇淮安·期末）已知空間四點，，，構(gòu)成梯形，則實數(shù)的值為．題型四用基底表示向量解｜題｜技｜巧用基底表示向量的步驟（1）定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.（2）找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡,最后求出結(jié)果.（3）下結(jié)論:利用空間向量的一個基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）在平行六面體中，為與的交點．若，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．2．如圖，在空間四邊形中，，，，點在上，且，為的中點，則等于（）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，4．（24-25高二下·甘肅金昌·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B．2 C． D．5．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面體中，N是面的中心，設(shè)，，，則用、、的線性組合可表示為．6．在正四面體中，為的重心，記，，．若，，則．（用，，表示）題型五空間向量基本定理求數(shù)量積、模長、夾角解｜題｜技｜巧1、合理選擇基底,使其能方便表示有關(guān)向量,并能進(jìn)行運(yùn)算,特別是數(shù)量積運(yùn)算.①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.③代入求解.2、模長（1）將相應(yīng)線段用向量表示,通過向量運(yùn)算來求對應(yīng)向量的模.（2）因為,所以,這是利用向量解決長度或距離問題的基本公式.另外,該公式還可以推廣為.3、夾角（1）求兩異面直線的夾角,可轉(zhuǎn)化為求兩直線的方向向量的夾角.（2）由兩個向量的數(shù)量積定義得,求的大小,轉(zhuǎn)化為求兩個向量的數(shù)量積及兩個向量的模,求出的余弦值,進(jìn)而求的大小,在求時注意結(jié)合空間圖形,把用基向量表示出來,進(jìn)而化簡得出的值.（3）異面直線AB,CD的夾角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→1．（24-25高二上·廣東東莞·期中）如圖，在平行六面體中，底面和側(cè)面都是正方形，，點是與的交點，則（

）A． B．2 C．4 D．62．（23-24高二上·山東濟(jì)南·月考）如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，且各棱長均相等，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．1 B． C． D．3．（23-24高二上·河北滄州·月考）（多選題）如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且，設(shè)．若，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C． D．直線與所成角的余弦值為4．（24-25高二上·河南濮陽·月考）如圖所示，平行六面體的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為3，，則對角線的長是．5．（23-24高二下·江蘇南京·月考）在正三棱錐中，是的中心，，則．題型六空間直角坐標(biāo)系解｜題｜技｜巧建系確定點的坐標(biāo)的原則（1）建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則:①讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi).②充分利用幾何圖形的對稱性.（2）求某點的坐標(biāo)時,一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面的射影,確定其兩個坐標(biāo),再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號)確定第三個坐標(biāo).1．（24-25高二下·甘肅定西·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，點在坐標(biāo)平面上的射影的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·黑龍江·開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知正方體的棱長為2，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·甘肅金昌·月考）已知點O為坐標(biāo)原點，，則線段的中點坐標(biāo)為.5．如圖，在直三棱柱的底面三角形中，，，，為的中點，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(1)寫出，，，四點的坐標(biāo)；(2)寫出向量，，的坐標(biāo)．6．在平行六面體中，底面是矩形，，，平行六面體高為，頂點在底面的射影是中點，設(shè)的重心，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出點的坐標(biāo).題型七數(shù)量積、模長、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算（含平行、垂直的應(yīng)用）解｜題｜技｜巧1、設(shè)，2、利用向量方法求長度或距離的基本方法若，則，即3、求兩個非零向量夾角的兩種途徑設(shè)，則4、平行與垂直（1）兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）（2）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件;已知兩向量平行或垂直求參數(shù)的值,則利用平行或垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,列方程(組)求解.1．（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知，，若，則（

）A． B． C．4 D．2．（25-26高二上·安徽阜陽·開學(xué)考試）已知，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知空間中三點，平面的一個法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．4．（多選題）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，則（

）A．B．與夾角的余弦值為C．是等腰直角三角形D．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或5．（23-24高二上·廣東珠?！ぴ驴迹┮阎蛄?，，，若向量與所成角為銳角，則實數(shù)的范圍是.6．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知.(1)若，求的值；(2)若且，求的值.7．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知(1)，求的坐標(biāo)；(2)求；(3)若與互相垂直，求實數(shù)的值.8．已知，，．(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值；(3)設(shè)，若，求的值．題型八投影向量的計算解｜題｜技｜巧向量稱為向量在向量上的投影向量1．（24-25高二下·江蘇泰州·期末）在棱長為的正方體中，是棱上任意一點，則在平面上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·廣西河池·期末）若空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．已知向量，則在方向上投影的數(shù)量為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·貴州六盤水·期末）已知向量，若四點共面，則向量在上的投影向量的模為（

）A．12 B． C． D．題型九空間向量運(yùn)算證明垂直與平行問題（含坐標(biāo)法）解｜題｜技｜巧1、利用空間向量基本定理（1）合理選擇基底,使其能方便表示有關(guān)向量,并能進(jìn)行運(yùn)算,特別是數(shù)量積運(yùn)算.（2）當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時,常?？紤]證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運(yùn)算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關(guān)系的判定.（3）證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問題,利用向量共線的充要條件證明.2、利用坐標(biāo)（1）利用向量證明直線平行或垂直,則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量的坐標(biāo),利用向量平行、垂直的充要條件證明.1．在長方體中，M是與的交點，E是上一點．若，，，利用向量法證明：．2．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，.用向量方法證明：平面.3．已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個點（如圖所示），并且，，，，．求證：(1)A，B，C，D四點共面，E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)；(3)三點共線．4．（24-25高二上·天津南開·期中）如圖，三棱柱，底面底面中，，，棱，分別是，的中點.(1)求的模：(2)求的值；(3)求證：.5．（24-25高二上·廣東·月考）如圖所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中點.

(1)用，，表示向量；(2)在線段上存在一點，且，求證：.6．如圖，在三棱柱中，分別是的中點，平面，且，，.求證：平面.7．如圖，在空間中平移到，連接對應(yīng)頂點，設(shè)分別是的中點，是上一點．(1)若為的中點，用向量法證明：；(2)若，問是否存在點使得，并說明理由．題型十空間向量運(yùn)算中的最值范圍問題1．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知平面的法向量為，，平面的法向量為，若，則（

）A．最大值為2 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為22．（24-25高二上·河南鄭州·期末）在邊長為2的正方體中，分別為的中點，分別為線段上的動點(不包括端點)滿足，則線段的長度最小值為（

）A． B．2 C． D．3．（24-25高二下·云南·期末）在體積為的正四棱錐中，為底面內(nèi)的任意兩點，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．4．如圖，正四棱柱的底面邊長為，為上任意一點，為中點，若棱上至少存在一點使得，則棱長的最大值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·河北保定·月考）在棱長為1的正方體中，P為正方體內(nèi)一動點（包括表面），若，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·貴州貴陽·月考）已知正方體的棱長為1，若動點在線段上運(yùn)動，則的最大值是．7．設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上，記，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為．8．（24-25高二下·云南文山·月考）已知在長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是.9．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為1的正方形，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點（包括邊界），底面ABCD，底面ABCD，且，則的最小值與最大值的和為．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：60分鐘）1．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知點是點在平面上的射影，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點，點關(guān)于軸對稱的點為，點關(guān)于平面對稱的點為，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·陜西·月考）若，，三點共線，則（

）A．4 B． C．1 D．04．在任意四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，若，則（

）A． B．1 C．2 D．35．（24-25高二上·廣東·期末）如圖，在四面體OABC中，為BC的中點，，且為OG的中點，則（

）A．B．C． D．6．（24-25高二下·江蘇淮安·月考）已知空間向量，，，若向量共面，則實數(shù)的值為（

）.A．8 B．9 C．10 D．117．（24-25高二上·山東·期中）已知，若四點共面，則（

）A． B．2 C．4 D．58．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知為空間的一組基底．則下列向量能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．9．已知A，B，C三點共線，O為空間任一點，則①；②存在三個不為0的實數(shù)，m，n，使，那么使①②成立的與的值分別為（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，010．（24-25高二下·江蘇連云港·月考）在三棱錐O-ABC中，G是的重心，，若，則（

）A． B． C． D．11．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．如圖，已知在塹堵中，，則（

）A． B．1 C． D．12．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B．7 C． D．13．（24-25高二上·廣東江門·期末）如圖，在棱長為的正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，且在方向上的投影向量為，則的值為（

）A． B． C． D．14．（24-25高二上·海南·期中）已知是空間中的三個單位向量，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．15．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面體的棱長為1，動點在平面上運(yùn)動，且滿足，則的值為（

）A． B． C．0 D．216．已知向量，在向量上的投影向量為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．17．（24-25高二上·湖北武漢·期末）在三棱錐中，，，，中點為，點為棱上的動點，當(dāng)取最小值時，線段的長度為（

）A． B． C． D．18．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，為棱上的動點（不包含端點），則與所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．19．（24-25高二上·廣東東莞·月考）（多選題）下列哪個條件可以作為四點共面的充分條件（

）A． B．C． D．20．（23-24高二上·陜西西安·月考）（多選題）如圖，在四面體中，兩兩垂直，，則（

）A．向量在向量上的投影向量為B．向量在向量上的投影向量為C．向量D．向量21．（24-25高二下·上海·期中）已知四點共面，且任意三點不共線，為平面外任意一點，若，則．22．（24-25高二上·青海西寧·月考）平行四邊形的兩個頂點的的坐標(biāo)為，對角線的交點為，則線段的中點為，頂點的坐標(biāo)為，的大小為.23．（24-25高二上·四川南充·期中）設(shè)，是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)．24．（24-25高二下·福建龍巖·期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為.25．（24-25高二上·廣西來賓·月考）已知點、