5/5專題03橢圓（3知識&11題型&2易錯）【清單01】橢圓的定義1、橢圓的定義（1）定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．（2）橢圓定義的集合語言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0．（3）對定義的理解：①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在．2、橢圓的焦點三角形（1）定義：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F(xiàn)2構成的△PF1F2叫做焦點三角形．（2）常用結論：若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當r1＝r2，即點P為短軸端點時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)．【清單02】橢圓的標準方程與幾何性質焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程范圍，，對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點軸長長軸長：；短軸長：頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點且垂直于焦點軸的橢圓的弦長通徑的大?。骸厩鍐?3】直線與橢圓的位置關系1、位置關系的判斷直線與橢圓的位置關系：聯(lián)立消去y得一個關于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：．【題型一】橢圓定義的理解及簡單應用1、求方程：通過對題設條件分析、轉化后，能夠明確動點滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程；2、求最值：抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉化或變形，借助三角形性質求最值．【例1】（24-25高二上·天津·期末）橢圓上一點到一個焦點的距離等于3，則點到另一個焦點的距離是.【答案】【解析】橢圓，則，設點到另一個焦點的距離為，則，解得，即點到另一個焦點的距離是.【變式1-1】（24-25高二上·江蘇邗江·月考）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當時，取到最大值.故選：D.【變式1-2】（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的標準方程為()，并且焦距為6，則實數(shù)的值為____________．【答案】4或【解析】因為2c＝6，所以c＝3，（1）當焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知，解得（2）當焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知，解得綜上，解得或．【變式1-3】（25-26高二上·寧夏羅平·月考）方程表示的曲線為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不表示任何圖形【答案】D【解析】由題可得：方程左邊的幾何意義是點到點，點的距離之和，即，因為，所以，所以滿足點的軌跡不存在，即方程不表示任何圖形．故選：D.【題型二】與橢圓有關的軌跡問題與橢圓有關的軌跡問題，核心是根據(jù)已知條件（如距離關系、角度關系、位置約束等），推導滿足橢圓定義或符合橢圓方程特征的動點軌跡．解題的關鍵在于“轉化條件”——將幾何約束轉化為代數(shù)方程，或直接匹配橢圓的定義．【例2】（24-25高二下·海南?？凇て谥校┰趫A上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡方程（當點經(jīng)過圓與軸的交點時，規(guī)定點與點重合）為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設點、，則，由中點的坐標公式可得，所以，，因為點在圓上，則，則，整理可得.因此，軌跡的方程為.故選：A.【變式2-1】（24-25高二上·山東·期中）已知在中，點，點，若，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則所以，又因為，所以，化簡得到，整理得到，所以點的軌跡方程為.故選：D.【變式2-2】（24-25高二上·重慶江北·期中）已知圓和，若動圓與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓心、半徑分別為，由可知圓內含于圓內，設動圓半徑為，由題意，兩式相加可得，故點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，所以，所以橢圓方程為．故選：A.【變式2-3】（24-25高二上·云南麗江·月考）已知動點P到定點的距離和它到直線l：的距離的比是常數(shù)，則點P的軌跡方程為．【答案】【解析】設動點，由點P與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，得，即，整理得：，點P的軌跡方程為.【題型三】橢圓的焦點三角形問題橢圓的焦點三角形的求解思路：（1）關于橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義，利用這個關系式便可求出結果，因此回歸定義式求解橢圓的焦點三角形的常用方法；（2）在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經(jīng)常利用定義結合正弦定理、余弦定理及勾股定理來解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個整體等．【例3】（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知點、是橢圓:的左、右焦點，若過焦點的直線交橢圓于A，B兩點，則的周長為（

）A．4 B．9 C． D．12【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程可得，則，由橢圓的定義得，，，所以的周長為.故選：D.【變式3-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）是橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，，，，，在中，，，故選．【變式3-2】（24-25高二上·廣西玉林·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上一點，若，則的面積為(

)A．3 B．5 C． D．【答案】A【解析】由橢圓的定義可知，，且，因為，所以，又，故，所以.故選：A.【變式3-3】（24-25高二上·浙江·期中）已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上一點，，則的內切圓半徑為.【答案】【解析】因為分別為橢圓的左右焦點，為該橢圓上一點，所以，則由余弦定理得,，，即，所以，故的面積，設的內切圓半徑為，則，解得,.【題型四】橢圓中距離和差的最值問題橢圓中“距離和的最值”主要分為“橢圓上一點到兩定點的距離和”和“橢圓內一點到橢圓上一點與焦點的距離和”，核心解法“利用橢圓定義轉化為兩點間距離”（幾何法），避免代數(shù)硬算．橢圓中“距離差的最值”主要是“橢圓上一點到兩個定點的距離差”和“橢圓上一點到兩焦點的距離差”，核心解法是“三角形三邊關系”（幾何法），注意橢圓的封閉性導致距離差的范圍有限制．【例4】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為圓上一點，則的最小值為（

）A．－5 B．－4 C．－3 D．－2【答案】B【解析】在橢圓中，，，則，則，則橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為1，由橢圓的定義可得，所以，再由圓外的點到圓上動點的最小值為到圓心的距離減去半徑，所以有，利用當且僅當、、三點共線且在線段上時，取最小值，所以有故的最小值為－4.故選：B．【變式4-1】（24-25高二上·河南·期中）設為橢圓上一動點，分別為橢圓的左?右焦點，，則的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】B【解析】如圖，連接,因，則，由圖知，當三點共線，且點在之間時，的值最小，最小值為,此時，的最小值為.故選：B.【變式4-2】（24-25高二上·重慶渝中·期中）已知動點在橢圓上，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，為一個焦點，另一焦點為，且；因為，所以在橢圓外部，所以，即求的最小值；由于，當三點共線時取等號；所以的最大值為；故選：D.【變式4-3】（23-24高二上·天津濱海新·期中）已知橢圓的左焦點為是上一點，是圓上一點，則的最大值為.【答案】11【解析】如圖：由橢圓可知，，在橢圓中，又因為圓心為，所以當三點共線時（如圖），最大，此時.【題型五】橢圓標準方程形式與求解（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點在那個坐標軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標準方程．（2）求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為；（3）當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為，將點的坐標代入，解方程組求得系數(shù)．【例5】（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，由題有，所以，故選：A.【變式5-1】（24-25高二下·遼寧·開學考試）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由方程表示橢圓，可得，解得，因為，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.故選：B.【變式5-2】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經(jīng)過點，則它的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.故選：B.【變式5-3】（24-25高二上·陜西西安·期中）求滿足下列條件的曲線的標準方程：(1)過三點、、的圓；(2)過兩點、的橢圓．【答案】(1)；(2).【解析】（1）設圓的方程為，由題可得，解得，所以圓的一般方程為，化為標準方程得.（2）設橢圓方程為，由題可得，解得，所以所求橢圓標準方程為.【題型六】求橢圓離心率的值或范圍1、求橢圓離心率的3種方法（1）直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．（2）構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解．（3）通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．2、求橢圓離心率范圍的2種方法（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質，設P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關系，適用于題設條件有明顯的幾何關系；（2）直接法：根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關系，直接轉化為含有a，b，c的不等關系式，適用于題設條件直接有不等關系．【例6】（24-25高二上·河南信陽·期中）已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為.【答案】【解析】設橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.【變式6-1】（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知，是橢圓上兩點，，分別在的左、右焦點，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，由橢圓的定義可得：，所以，因為，所以，所以，所以，化簡可得：，解得：，所以，又因為，所以，所以.故選：D.【變式6-2】（24-25高二上·安徽·期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，且橢圓上存在點P，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓的定義得，又，所以，又，當且僅當點在橢圓下頂點時等號成立，所以，即，則，即，即橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.【變式6-3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以點在以為直徑的圓上，即，由題意可知，圓在橢圓內部，故，所以，所以.故選：C.【題型七】直線與橢圓的位置關系判斷通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，將幾何位置關系轉化為方程解的個數(shù)問題．1、求解步驟：先明確直線與橢圓的方程，再聯(lián)立方程消元得到一元二次方程，最后通過判別式判斷；2、特殊情況：若直線過定點，可先判斷定點的位置．【例7】（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知橢圓，直線，則與的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上選項都不對【答案】A【解析】由消去y并整理得：，顯然，因此方程組有兩個不同的解，所以與相交.故選：A【變式7-1】（24-25高二上·天津·期中）直線與橢圓（）的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】因為直線過點，而為橢圓的右端點和上端點，故直線與橢圓相交.故選：C.【變式7-2】（23-24高二上·陜西西安·期末）若直線與圓相離，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（

）A．0或1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點在橢圓的內部，所以過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是2.故選：D.【變式7-3】（24-25高二上·北京·月考）直線與曲線的公共點的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】當時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知有個公共點.故選：B【題型八】根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)將“位置關系”轉化為“代數(shù)條件”（如判別式符號、交點坐標特征、切線公式約束等），再通過解方程或不等式求解參數(shù)范圍．【例8】（2025·河北·模擬預測）已知橢圓C：與直線相切，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立方程消去y后整理為，有，整理可得，由，有，可得．故選:B．【變式8-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程的特點，可得且，可排除BC，當時，點在橢圓內部，所以直線與橢圓必有公共點.故選：D【變式8-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直線與橢圓有兩個不同的交點，則m的范圍是．【答案】【解析】由得，，∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴，解得，∴m的范圍是.【變式8-3】（24-25高二上·四川綿陽·期中）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線與橢圓C有交點，求m的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由題意，則，又，則，則，所以C的標準方程為.（2）聯(lián)立與，有，整理得，由題意，，則，則.【題型九】橢圓的中點弦問題1、根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點、，其中中點為，則有．3、共線法：利用中點坐標公式，如果弦的中點為，設其一交點為，則另一交點為，則．【例9】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率為1的直線與橢圓交于兩點，則弦的中點坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，兩式相減得：（*），設弦的中點坐標為，則，因直線的斜率為1，即，分別代入上式（*），整理得：.將選項逐一代入檢驗知，A，D滿足，但是，點在橢圓外，不合要求.故選：A.【變式9-1】（24-25高二上·河南南陽·期中）橢圓上的兩點A，B關于直線對稱，則弦的中點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則其中點坐標為，則，兩式相減可得，即，因為A，B關于直線對稱，則，又，所以，即，所以，且點在直線上，則，解得，所以.故選：A【變式9-2】（24-25高二上·四川自貢·期末）已知橢圓過點的直線與橢圓交于、兩點，為線段的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設點、，由題意可得，若的斜率不存在時，則線段的中點在軸上，不合乎題意，由題意可得，兩式相減得，即0，所以所以，即直線的斜率為.故選：A.【變式9-3】（24-25高二下·上?！て谥校┤魴E圓的一條弦的中點為，則直線的斜截式方程為．【答案】【解析】設，，依題意，點，在橢圓上，所以，兩式相減得，，即，變形得，因為的中點為，所以，，設直線的斜率為，所以，所以直線的方程為，化為斜截式方程為.【題型十】直線與橢圓相交弦長問題設，根據(jù)兩點距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．【例10】（24-25高二上·浙江·期中）直線被橢圓截得的弦長為.【答案】【解析】由，得，解得或，則或，所以直線被橢圓截得的弦長為.【變式10-1】（24-25高二上·山西晉中·期中）經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點，則線段的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】在中，，，所以，即，故左焦點為，而，故直線的方程為，聯(lián)立得，，設，，由韋達定理得，，則由弦長公式得．故選：B．【變式10-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知為橢圓：上一點，且點到兩焦點距離之和為，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線被橢圓截得的線段長為，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題可得，則，又由得，則，所以橢圓的方程為.（2）設直線與橢圓交于，兩點，聯(lián)立方程組，消得到，則，由于，又，則，整理得到，解得，又時，，所以滿足題意.【變式10-3】（24-25高三下·湖南株洲·期中）設橢圓經(jīng)過點，其離心率.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點，求的面積.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，其離心率，所以，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由得，，，設，則，所以.因為點到的距離為，所以.【題型十一】橢圓的綜合應用【例11】（24-25高二上·山東濟南·期中）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與橢圓交于兩點，且點在第一象限，點分別為橢圓的右頂點和上頂點，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可得：，解得，由橢圓過點，得，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可設，因點在第一象限，則，設，，點，到直線的距離分別為，，由，消可得，，當時，，所以，，所以，，，直線的一般式方程：，所以，，所以，所以，當時，有最大值為.【變式11-1】（24-25高二下·北京順義·期中）在橢圓中，過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C．橢圓的上頂點為A，直線AB和直線AC分別交x軸于點M，N．(1)求橢圓E的長軸長及離心率；(2)證明：M，N兩點橫坐標之和為．【答案】(1)長軸長為6，離心率為；(2)證明見解析【解析】（1）由橢圓方程得，，；所以，所以，；所以橢圓長軸長為6，離心率為．（2）設點，，，，設直線，聯(lián)立方程，消去y可得：則；；橢圓上頂點A坐標為，所以直線；直線；將，分別代入直線AB、AC解得；；所以所以將、代入解得，得證．【變式11-2】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知橢圓的右頂點為，上頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的右焦點為，點為橢圓上不同于頂點的一點，若直線，與軸相交，交點分別為，，且，求點的橫坐標.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可得，，所以橢圓的方程為；（2）如圖

法一：設，其中且，因為直線，與軸相交，所以直線，斜率都存在，直線方程為，令，得，直線方程為，令，得，所以，又因為，所以，代入中，可得，整理得，即，所以或，又因為，，所以，所以點的橫坐標為；法二：由題意直線斜率存在，且不為0，設直線的方程為，令，得，由，得，易知，設，其中且，則，所以，即，直線的方程為，令，得，所以，所以（舍）或，代入中，得，滿足，，所以點的橫坐標為.【變式11-3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）設橢圓過兩點，為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）因為橢圓過兩點，將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯(lián)立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意.當切線的斜率不存在時，則，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意.【易錯一】忽略直線斜率不存在致錯點撥：設直線為時，默認斜率存在，需單獨討論斜率不存在的直線（）是否滿足條件，否則會漏解．【典例】（24-25高二上·遼寧·期中）設圓的圓心為A，直線l過點，F(xiàn)是圓A上的任意一點，線段BF的垂直平分線與AF交于E點.(1)求出點E的軌跡方程；(2)設點E的軌跡為曲線，直線l交曲線于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）圓的標準方程為，得，