2/24綜合專題01空間向量和立體幾何題型1空間向量及線性運(yùn)算題型9利用空間向量求線線角題型2空間向量共面定理的推論及應(yīng)用題型10利用空間向量求線面角（重點(diǎn)）題型3空間向量數(shù)量積應(yīng)用（重點(diǎn)）題型11利用空間向量求面面角（重點(diǎn)）題型4空間向量基本定理及其應(yīng)用題型12利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離（重點(diǎn)）題型5空間向量的坐標(biāo)表示（?？键c(diǎn)）題型13利用空間向量求面到面的距離（重點(diǎn)）題型6空間位置關(guān)系的向量證明題型14利用空間向量求點(diǎn)到直線或異面直線之間的距離題型7利用空間向量證明平行和垂直題型15空間線段點(diǎn)的存在性問題（難點(diǎn)）題型8異面直線夾角的向量求法（重點(diǎn)）題型一空間向量及其線性運(yùn)算（共3小題）1．（24-25高二下·福建漳州·期中）如圖在平行六面體中，、相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量加減運(yùn)算的幾何表示【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則，，進(jìn)而可得答案.【詳解】由已知得，，.故故選：A2．（24-25高二上·上海寶山·期中）如圖，已知正方體中，點(diǎn)為上底面的中心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示、空間向量加減運(yùn)算的幾何表示【分析】根據(jù)和可求關(guān)于的線性表示，由此可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B.3．（24-25高三上·安徽·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)含邊界，且平面，則（

）A．若，則平面B．點(diǎn)G到直線的距離為C．若，則D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示、證明線面平行、證明線面垂直、求線面角【分析】分別取棱，，，的中點(diǎn)M，N，P，Q作出圖形，確定平面，及點(diǎn)G的軌跡．對于A，由條件得點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)P，根據(jù)線面平行的性質(zhì)判定即可；對于B，由，可得點(diǎn)G到的距離即為與間的距離，求解即可判斷；對于C，連，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)G，求解即可得出；對于D，設(shè)面，根據(jù)對稱性可知，為的中點(diǎn)，由已知得為直線與平面所成的角，即可求解判斷.【詳解】分別取棱，，，的中點(diǎn)M，N，P，Q，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵平面，∴平面，根據(jù)條件平面，可得平面即為平面，于是點(diǎn)G的軌跡即為線段對于A，若，則點(diǎn)G在上，又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)P，連，∵，∴為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，∵點(diǎn)F，Q分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∴正六邊形的邊長為，設(shè)正六邊形的中心，則均是邊長為的正三角形，∵,∴，即與間的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)G到的距離即為與間的距離，所以點(diǎn)G到的距離為，所以B錯(cuò)誤；對于C，連，交點(diǎn)為，∵，則點(diǎn)G在上，又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為與的交點(diǎn)，∵分別為的中點(diǎn)，則，此時(shí)，于是滿足，所以C正確；對于D，設(shè)平面，根據(jù)對稱性可知，為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴為直線與平面所成的角，又，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，故選：ACD.題型二空間向量共面定理的推論及應(yīng)用（共4小題）1．（24-25高二上·貴州貴陽·期中）若，，是空間一組不共面的向量，則下列可以作為基底的一組向量為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以，，是共面向量；B選項(xiàng)，，所以，，是共面向量；C選項(xiàng)，，所以，，是共面向量；D選項(xiàng)，令，顯然無解，故不是共面向量.故選：D2．（24-25高二下·江蘇淮安·期中）已知空間向量，，，若向量共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）.A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共面的性質(zhì)來求解的值.若三個(gè)向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，然后根據(jù)向量相等的性質(zhì)列出方程組，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，共面，所以存在?shí)數(shù)，使得.則可得.由，可列出方程組.由可得，將其代入中，得到.去括號(hào)得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，解得.將代入，可得.將，代入，可得.故選：B.3．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐的所有棱長均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、空間共面向量定理的推論及應(yīng)用【分析】由題意作圖，根據(jù)空間向量的共面定理，求得參數(shù)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由共面，則，解得，所以.故選：B.4．（24-25高二上·山東·期中）下列說法中正確的是（

）A．是共線的充分不必要條件B．若共線，則C．三點(diǎn)不共線，對空間中任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件【答案】ACD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、判定空間向量共面、判斷命題的充分不必要條件、空間向量共線的判定【分析】由向量數(shù)量積運(yùn)算律及共線判定，結(jié)合充分必要性定義判斷A，利用共線，則直線AB，CD可能重合判斷B，利用四點(diǎn)共面的結(jié)論判斷C，由向量線性運(yùn)算及共線判定，結(jié)合充分必要性定義判斷D.【詳解】對于A：由，此時(shí)，共線，充分性成立，若，同向共線，且，則，顯然不成立，必要性不成立，所以“”是“共線”的充分不必要條件，故A正確；對于B：若共線，則直線AB，CD可能重合，故B錯(cuò)誤；對于C：由，且，根據(jù)空間向量共面的推論知四點(diǎn)共面，故C正確；對于D：（不共線），若，則，所以，即，所以三點(diǎn)共線，反之也成立，所以是三點(diǎn)共線的充要條件，（本選項(xiàng)也可用三點(diǎn)共線的推論）故D正確.故選：ACD題型三空間向量數(shù)量積應(yīng)用（共3小題）1．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、空間向量數(shù)量積的概念辨析【分析】由投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】空間向量在向量方向上的投影向量為，因?yàn)闉閱挝幌蛄?，，，所以，所以，故選：B2．（24-25高二下·江蘇南京·期中）正方體的棱長為，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值【分析】建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間向量及向量模長公式計(jì)算求解得出球的方程，再應(yīng)用三角換元結(jié)合值域計(jì)算求解.【詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)，，因?yàn)椋?，化簡得：，表示以為球心，半徑為的?設(shè)，，，所以的取值范圍為，向量，故的范圍為.故選：C.3．（24-25高一下·江西宜春·期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面B．已知兩個(gè)向量，，且，則C．若，且，，則D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用、空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、null【分析】利用空間中四點(diǎn)共面的推論可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若、、、四點(diǎn)共面，則存在、，使得，即，所以，且，因?yàn)閷臻g中任意一點(diǎn)有，且，故、、、四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，已知兩個(gè)向量，，且，設(shè)，即，則，解得，故，B對；對于C選項(xiàng)，若，且，，則，C對；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，D對.故選：BCD.題型四空間向量基本定理及其應(yīng)用（共3小題）1．（24-25高二下·甘肅金昌·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理及其應(yīng)用、用空間基底表示向量【分析】連接，根據(jù)空間向量法線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槿庵堑酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵运倪呅螢殚L方形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，又，又，，不共面，所以，所以．故選：D．2．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若、、、四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理及其應(yīng)用、空間向量共面求參數(shù)【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空間向量的減法可得出，設(shè)，利用空間向量的線性運(yùn)算得出，進(jìn)而可得出關(guān)于、、的方程組，解出的值，即可得出的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)椤ⅰⅰ⑺狞c(diǎn)共面，且、不共線，則存在、，使得，即，所以，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)?、、不共面，所以，解得，所以，又因?yàn)?，故，故選：C.3．（24-25高二上·新疆烏魯木齊·期中）正方體，點(diǎn)E是上底面的中心，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理及其應(yīng)用、用空間基底表示向量【分析】根據(jù)空間向量對應(yīng)線段的關(guān)系，結(jié)合加減、數(shù)乘的幾何意義用表示求出參數(shù)，即可得答案.【詳解】由，所以，故.故選：D題型五空間向量的坐標(biāo)表示（共3小題）1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)表示【分析】由投影向量的定義可求得結(jié)果.【詳解】向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故選：C.2．（24-25高二上·天津·期中）已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】利用空間向量的坐標(biāo)進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算即可.【詳解】由，，可得：，故選：A.3．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）已知空間中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，．則的最小值為（

）A．2 B．4 C．3 D．6【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量模長的坐標(biāo)表示【分析】首先表示出，再由向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空間向量，，若與的夾角是銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】應(yīng)用夾角是銳角的向量關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，若與的夾角是銳角，則且不成立，所以或.故選：C.5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知空間三點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為C．向量與向量夾角為D．以為鄰邊的平行四邊形面積為【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】求空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)、三角形面積公式及其應(yīng)用、null、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】對于A，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解判斷即可；對于B，由四邊形為平行四邊形，可得，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示列出方程組求解判斷即可；對于C，直接根據(jù)空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解判斷即可；對于D，結(jié)合三角形的面積公式求解判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，由，設(shè)，則，所以，解得，即，故B錯(cuò)誤；對于C，由，，則，，，所以，所以向量與向量夾角為，故C錯(cuò)誤；對于D，由C知，，，，所以以為鄰邊的平行四邊形面積為：，故D正確.故選：D.6．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①；②；③與垂直．(1)求向量的坐標(biāo)；(2)若向量與向量共線，求向量與夾角的余弦值．【答案】(1)或；(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量模長的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】（1）首先設(shè)，再根據(jù)條件列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，確定向量，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則由題可知，解得或，所以或．（2）因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以．又，，所以，，所以，且，，所以與夾角的余弦值為．題型六空間位置關(guān)系的向量證明（共6小題）5．（23-24高二下·湖南衡陽·期中）在棱長為2的正方體中，下列說法正確的是（

）A．平面與平面的距離為 B．三棱錐外接球的表面積為C． D．直線BC與平面所成的角為【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、平行平面距離的向量求法、空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法【分析】D選項(xiàng)，作出輔助線，由線面垂直得到⊥，故⊥平面，直線與平面所成的角為，且，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B選項(xiàng)，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，從而求出外接球半徑，得到外接球表面積；A選項(xiàng)，先證明出平面平面，利用點(diǎn)到平面距離向量公式得到答案.【詳解】D選項(xiàng)，如圖1，連接，與相交于O點(diǎn)，

因?yàn)椤推矫?，且平面，所以⊥，又因?yàn)椤?，，平面，所以⊥平面，即直線與平面所成的角為，且，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖2，連接，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，則，所以⊥平面，又因?yàn)槠矫?，則⊥，故C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)其外接球的半徑為R，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，如圖3，因?yàn)椋矫?，平面?/p>

所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，且，則兩平面間的距離，故A正確.故選：A13．（24-25高二下·浙江溫州·期中）在四棱錐中，面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．點(diǎn)到平面的距離為C．三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為D．與面交于點(diǎn)則【答案】ABD【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、空間位置關(guān)系的向量證明、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量的數(shù)量積可得A正確；求出平面的法向量，再由空間點(diǎn)到平面的距離公式可得B正確；由幾何關(guān)系找到各外接球圓心位置求出半徑可得C錯(cuò)誤；設(shè)，求出平面的法向量，再由可得D正確.【詳解】因?yàn)槊嫠砸詾樵c(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，對于A，，，所以，即，故A正確；對于B，設(shè)平面的法向量為，由可得，令，可得，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對于C，因?yàn)槊妫匀忮F的外接球的球心為中點(diǎn)，又，所以其外接球半徑為；因?yàn)椋?，，所以，又面所以三棱錐的外接球的球心為的中點(diǎn)，，所以其外接球半徑為，所以外接球半徑之比為，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，，由可得，令，則，因?yàn)?，解得，所以，故D正確.故選：ABD18．（24-25高二上·重慶·期中）已知棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．C．與的距離是 D．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為【答案】ACD【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法、空間位置關(guān)系的向量證明、立體幾何中的軌跡問題、證明線面平行【分析】利用線面平行判定定理即可判斷A正確，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得B錯(cuò)誤，利用異面直線間的距離的向量求法計(jì)算可得C正確，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡即可得其長度為，可得D正確.【詳解】根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，易知，易知；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，可得法向量，由平面可得，即可得；因此可得即為，即點(diǎn)在直線上，對于A，由正方體性質(zhì)可得，又平面，平面，所以平面，即A正確；對于B，又，可得，顯然，即B錯(cuò)誤；對于C，又，，設(shè)與都垂直的向量為，可得，令，可得，即，又，所以與的距離為，即C正確；對于D，由點(diǎn)在直線上且為上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)連接交于點(diǎn)，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，易知;所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為，所以D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正方體性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量表示求得點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在位置，即可得出異面直線間的距離以及軌跡長度.題型七利用空間向量證明平行和垂直（共6小題）1．（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、證明線面平行、空間線段點(diǎn)的存在性問題、線面平行的性質(zhì)【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí).2．（24-25高二上·福建廈門·期中）如圖，在正方體中，棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：：(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】（1）通過建系，寫出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即得證；（2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面.【詳解】（1）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，

由，

可得，得證.（2）設(shè)平面的法向量為，因，

則，令，可得，

因，故得，

又平面，所以，平面.3．（24-25高三上·山東青島·期中）如圖，在三棱錐中，為在平面內(nèi)的射影點(diǎn)，已知，，，，.(1)請以、為基底表示，并證明.(2)求證平面.【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示、空間位置關(guān)系的向量證明、空間向量加減運(yùn)算的幾何表示、證明線面垂直【分析】（1）平面中：延長到，使；延長到，使，可得點(diǎn)為的重心，利用向量的運(yùn)算可用、表示，利用數(shù)量積運(yùn)算可證明；（2）由條件可證得平面，得；利用向量的運(yùn)算求得，，進(jìn)而得，利用勾股定理證得，然后利用線面垂直的判定定理證得結(jié)論．【詳解】（1）如圖：平面中：延長到，使；延長到，使.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)為的重心.所以，所以.又因?yàn)?，?因?yàn)?所以.（2）如圖：因?yàn)槠矫?，平面，所以；又，，平面，，所以平面，又平面，所?又因?yàn)椋?，所以；在中，，，所?又，所以，所以.在中，，，所以.在中，，，，因?yàn)?，所?又，平面，，所以平面.4．（24-25高二下·四川瀘州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)Q為棱PC上一點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量【分析】（1）在四棱錐中由勾股定理計(jì)算可證明，，結(jié)合線面垂直判定定理可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面和平面的法向量，設(shè)，再利用二面角的余弦值解方程可得.【詳解】（1）在四棱錐中，由，，，，得，，則，，又，且，平面，所以平面．（2）由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，可得，，，設(shè)（），則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，由，解得，令，，得，由二面角的余弦值為，得，即，整理得，解得，所以．5．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為棱上的一點(diǎn).

(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面平面；(2)當(dāng)平面和平面所成的角的余弦值為時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）先證明平面，再證明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可；（2）以為原點(diǎn)，設(shè)，再分別求平面和平面的法向量為，再通過即可求出.【詳解】（1）因平面，平面，則，又因底面為正方形，則，因，平面，則平面，又平面，則，因，為的中點(diǎn)，則，因平面，則平面，

因平面，則平面平面.（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可設(shè)，則，則，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量，則，，令，則，，因平面和平面所成的角的余弦值為，則，得，

則.

6．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.(1)取線段中點(diǎn)，連接，證明：平面；(2)求到平面的距離；(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、面面垂直證線面垂直、點(diǎn)到平面距離的向量求法、已知面面角求其他量【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證出四邊形為平行四邊形，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距離的向量公式即可求解.（3）求得平面的法向量以及，利用向量夾角公式即可求解．【詳解】（1）在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，且，，得，，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，，由為等邊三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，由，得四邊形是平行四邊形，于是，而，則，直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，又，所以到平面的距離.（3）令，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，于是，化簡得，又，解得，即，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，.題型八異面直線夾角的向量求法（共3小題）1．（25-26高二上·全國·期中）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，平面的法向量可以為D．三棱錐體積的取值范圍為【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求平面的法向量、點(diǎn)到平面距離的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)使得，利用向量數(shù)量積為0求出可判斷A；假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，由向量夾角公式計(jì)算可判斷B；求出平面的法向量可判斷C；對于D，方法一

利用向量法求出點(diǎn)到平面距離，再求三棱錐的體積可判斷D；方法二

利用等體積可判斷D．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．對于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)?，，所以，解得，不合題意，故A錯(cuò)誤；對于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?，所以，解得，不符合，則不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，故B正確；對于C，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，，又，，所以，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，故C正確；對于D，方法一

因?yàn)椋?，所以，，則，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，設(shè)，則，則點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積為，因?yàn)椋?，故D正確．方法二設(shè)，則，因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離，所以，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BCD.2．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法、異面直線夾角的向量求法【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法求出點(diǎn)到直線的距離；（2）求出直線與的方向向量，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以為正三角形，所?又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為，軸，在面內(nèi)過作的平行線作為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，所以，，，則點(diǎn)到直線的距離.（2）因?yàn)?，．所以．所以異面直線與BD所成角的余弦值為．3．（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】平行平面距離的向量求法、異面直線夾角的向量求法【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)向量夾角公式計(jì)算即可；（2）利用向量法求線面距離作答即可.【詳解】（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，，顯然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以直線FC到平面的距離是.題型九利用空間向量求線線角（共3小題）1．（24-25高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】首先將異面直線的方向向量運(yùn)用向量的線性運(yùn)算表示出來，然后計(jì)算它們的數(shù)量積和向量的模，最后利用異面直線夾角的余弦公式求得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，.所以.因?yàn)椋?，，，所以?所以.根據(jù)勾股定理可得，，所以異面直線所成角的余弦值為：.2．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法求出點(diǎn)到直線的距離；（2）求出直線與的方向向量，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以為正三角形，所?又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為，軸，在面內(nèi)過作的平行線作為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，所以，，，則點(diǎn)到直線的距離.（2）因?yàn)椋裕援惷嬷本€與BD所成角的余弦值為．3．（24-25高二下·江蘇淮安·期中）如圖，在直三棱柱中，AB⊥AC，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB、的中點(diǎn)．(1)求直線與直線AF的夾角的余弦值；(2)求點(diǎn)F到平面的距離．【答案】(1)(2)．【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與直線AF的夾角的余弦值；（2）求得平面的法向量，利用空間向量法可求得點(diǎn)F到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)閬A平面ABC，AB⊥AC，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，所以，，，，所以，直線與直線AF的夾角的余弦值為．（2）易知，，，設(shè)平面的法向量為，則，取x=2，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，且，所以，點(diǎn)F到平面的距離為．題型十利用空間向量求線面角（共3小題）1．（2025·重慶·一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點(diǎn)在棱上，且直線與所成的角為．(1)證明：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法、已知線線角求其他量【分析】（1）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)直線與的交點(diǎn)求得，即可得結(jié)果；（2）求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則．設(shè)，則，可得，由題意可得，整理可得，解得，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（2）由（1）可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．2．（24-25高二上·上海靜安·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)分別為的中點(diǎn)．(1)證明：直線平面；(2)求直線PB與平面所成的角的正切值．【答案】(1)證明見解析；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、證明線面平行、線面角的向量求法【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，F(xiàn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面；（2）求出直線PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直線PB與平面所成角的正切值.【詳解】（1）取AD中點(diǎn)O，連接，在四棱錐中，，則，由，則，有，又平面底面，平面底面，平面，∴平面，平面，則，又分別為的中點(diǎn)，底面是邊長為a的正方形，則，所以兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，取平面PAD的法向量為，所以，且平面，所以平面；（2）由（1）知：，取平面的法向量，設(shè)直線PB與平面所成的角為θ，則，∴，故，∴直線PB與平面所成的角的正切值為．3．（24-25高三下·云南·期中）如圖，在六面體中，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)若平面，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、線面角的向量求法【分析】（1）設(shè)，中點(diǎn)分別為，，由面面平行性質(zhì)定理證明，再證明，，由此證明，由平行的傳遞性證明，再由線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，中點(diǎn)分別為，，連接，；由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，又是的中點(diǎn)，則，由于，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，可得又，所以．

所以確定平面，又平面平面，平面平面，所以，由于是的中位線，則，所以，而平面，平面，所以平面．（2）在中，因?yàn)椋?，，所以，則．由于平面，所以以為原點(diǎn)，、、分別軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，所以，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．題型十一利用空間向量求面面角（共3小題）1．（24-25高二下·天津·期中）在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，四邊形是矩形，平面，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在直線上存在動(dòng)點(diǎn)P，使得直線與平面所成角的余弦值為求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、線面角的向量求法、面面角的向量求法【分析】（1）通過線線平行證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解夾角問題；（3）設(shè)，利用線面角的余弦值求出正弦值，利用空間向量建立等式求出，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解．【詳解】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接四邊形是菱形，是矩形，所以且，且，則且，四邊形是平行四邊形，則是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）連接，由四邊形是菱形，，為正三角形，又是的中點(diǎn)，得，即，平面，、平面，，，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，得，，平面的一個(gè)法向量為，令，得，，，得，平面與平面所成角的余弦值為；（3）設(shè)，且，由（2）知平面的法向量為，設(shè)直線與平面的所成角為，則，所以，解得或，或．2．（24-25高二下·北京延慶·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).(3).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、線面角的向量求法、面面角的向量求法【分析】（1）只需證明，然后結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，由公式即可求解；（3）容易知道是平面的一個(gè)法向量，由公式結(jié)合二面角是鈍角即可求解.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接.因?yàn)樵谌庵?，四邊形是平行四邊形，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所?又，所以，，兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.所以，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.于是.因?yàn)樗?直線與平面所成角的正弦值為.（3）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量.所以.由題設(shè)，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.3．（25-26高二上·全國·期中）如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，為的中點(diǎn)，，且二面角的平面角為60°，則．

【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】已知面面角求其他量【分析】以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的平面角為60°建立方程求解即可．【詳解】因?yàn)榈酌?，，底面，所以，，又為直角，所以兩兩垂直．以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，．設(shè)為平面的法向量，則令，得．易知，平面的一個(gè)法向量為．由題意，二面角的平面角為60°，則，解得．故答案為：.

題型十二利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離（共3小題）1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】求平面的法向量、點(diǎn)到平面距離的向量求法、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長的坐標(biāo)表示【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，因?yàn)槲挥诘耐瑐?cè)，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，根據(jù)求解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，所以A與到平面的距離，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：C.2．（24-25高二下·福建龍巖·期中）如圖，在四棱柱中，底面是菱形，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】連接，設(shè)，連接，證明平面，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】連接，設(shè)，連接，由，得，所以，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又因?yàn)?，且，在平面?nèi)，所以平面，在中，，，所以，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：C.3．（24-25高三上·四川·期中）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，且，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，E為中點(diǎn)，作交于F．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q．使得，若存在，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、點(diǎn)到平面距離的向量求法、空間線段點(diǎn)的存在性問題、面面角的向量求法【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得面，進(jìn)而有，且，最后根據(jù)線面垂直的判定，面面垂直的判定及性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值；（3）問題化為判斷以為直徑的球體與平面是否存在交線，結(jié)合點(diǎn)面距離判斷中點(diǎn)與面的距離與的大小，即可判斷.【詳解】（1）由側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，又底面是直角梯形，，故，所以面，面，則，由側(cè)面是正三角形，E為中點(diǎn)，則，而且都在面內(nèi)，則面，面，所以面面，而，面面，面，所以平面.（2）依題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，令是面的一個(gè)法向量，則，令，則，令是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面的夾角的余弦值.（3）由，即，故點(diǎn)在以為直徑的球體與平面的交線上，又，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由（1）（2）知，是面的一個(gè)法向量，所以到面的距離，所以以為直徑的球體與平面不相交，故不存在使.題型十三利用空間向量求面到面的距離（共2小題）1．（23-24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】平行平面距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以直線到平面的距離為.故選：D.2．（24-25高二上·四川自貢·階段練習(xí)）在棱長為的正方體中，求(1)直線與平面所成的角；(2)求平面與平面的距離；(3)求三棱錐外接球的表面積；【答案】(1)(2)(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、平行平面距離的向量求法、線面角的向量求法【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求得線面角；（2）先證平面平面，將面到面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求出點(diǎn)到面的距離即可；（3）根據(jù)補(bǔ)形法確定三棱錐的外接球即為正方體的外接球，求出正方體外接球半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）建立如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意有：，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則有，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則有，又因?yàn)?，所以?）連接、、、、、，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；同理可證平面，又，平面，所以平面平面；因?yàn)?，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，令，可得，則為平面的一個(gè)法向量，所以平面與平面的距離.（3）根據(jù)補(bǔ)形法可知三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.題型十四利用空間向量求點(diǎn)到直線或異面直線之間的距離（共4小題）1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】由空間中點(diǎn)到直線的距離的向量求法求解即可.【詳解】依題意，得，．因此在上得投影長為，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：B．2．（24-25高二下·甘肅平?jīng)觥て谥校┱睦忮F中，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的正投影，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則異面直線與的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法【分析】連接，，可得且交于，再由面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉檎睦忮F且是在底面內(nèi)的正投影，所以面，連接，，則且交于.因?yàn)槊?，所以?所以以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，，，，，所以，.設(shè)異面直線與的公垂線方向向量為，則有，即，取.又因?yàn)?，所以異面直線與的距離.所以異面直線與的距離為.故選：B3．（24-25高二上·廣東廣州·期中）如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分別是AC，BF上的動(dòng)點(diǎn)，且，則MN的最小值是【答案】/0.5【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】連接，如下圖，

由題意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，則，∴向量與向量夾角為，且，，設(shè)，，，則，且由題意，∴，，∴，令，，圖象開口向上，且對稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即最小值為，∴的最小值是.故答案為：.4．（24-25高二上·遼寧·期中）在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)，，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長度的最小值為.【答案】/【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】連接，，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與，都垂直的向量為，利用即可求.【詳解】

連接，，設(shè)，由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)與，都垂直的向量為，則，即，令，則，，所以為與，都垂直的一個(gè)向量，則線段的長度的最小值為.故答案為：題型十五空間線段點(diǎn)的存在性問題（共4小題）1．（24-25高二下·廣東深圳·期中）圖1是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)、分別在、上，且．將沿折起到的位置，連接、，如圖2，若．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、已知線面角求其他量、空間線段點(diǎn)的存在性問題【分析】（1）利用勾股定理可證得，，利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面所成的角為，以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）翻折前，是邊長為的等邊三角形，因?yàn)椋?，．由余弦定理得．因?yàn)椋?，折疊后有．在四棱錐中，連接，如下圖所示：在中，，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）翻折前，翻折后，則有，又平面，以為原點(diǎn)，以點(diǎn)、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，易知，，，所以.因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，解得.所以，滿足，符合題意.所以在線段上存在點(diǎn)P，使直線與平面所成的角為，此時(shí).2．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使