阿壩市重點中學2025年數學高二第一學期期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點，P是雙曲線上一點，且，則（）A.2 B.6C.8 D.102．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.3．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°4．設等比數列的前項和為，若，則的值是（）A. B.C. D.45．已知為虛數單位，復數是純虛數，則（）A. B.4C.3 D.26．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.7．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數m的最大值為2021C.“”是“函數在內有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為98．經過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.9．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.10．已知定義在上的函數滿足下列三個條件：①當時，；②的圖象關于軸對稱；③，都有.則、、的大小關系是（）A. B.C. D.11．拋物線上的一點到其焦點的距離等于（）A. B.C. D.12．已知空間三點，，在一條直線上，則實數的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為______15．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________16．寫出直線一個方向向量______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式：.18．（12分）已知橢圓C對稱中心在原點，對稱軸為坐標軸，且，兩點（1）求橢圓C的方程；（2）設M、N分別為橢圓與x軸負半軸、y軸負半軸的交點，P為橢圓上在第一象限內一點，直線PM與y軸交于點S，直線PN與x軸交于點T，求證：四邊形MSTN的面積為定值19．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，（1）求三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角函數表示）20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點E，連接EP并延長交橢圓于另一點F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程21．（12分）已知橢圓經過點，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程22．（10分）等差數列中，首項，且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C2、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.3、A【解析】按照斜率公式計算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線過，設直線斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.4、B【解析】根據題意，由等比數列的性質可知成等比數列，從而可得，即可求出的結果.【詳解】解：已知等比數列的前項和為，，由等比數列的性質得：成等比數列，且公比不為-1即成等比數列，，，.故選：B.5、C【解析】化簡復數得，由其為純虛數求參數a，進而求的模即可.【詳解】由純虛數，∴，解得：，則，故選：C6、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D7、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數在內有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數在內有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數在內有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C8、A【解析】根據點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A9、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質判斷命題的真假，進而確定它們所構成的復合命題的真假即可.【詳解】由，當且僅當時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C10、A【解析】推導出函數為偶函數，結合已知條件可得出，，，利用導數可知函數在上為減函數，由此可得出、、的大小關系.【詳解】因為函數的圖象關于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當時，，，當且僅當時，等號成立，且不恒為零，故函數在上為減函數，因為，則，故.故選：A.11、C【解析】由點的坐標求得參數，再由焦半徑公式得結論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C12、C【解析】根據三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應用余弦定理有，再由三角形內角性質及同角三角函數平方關系求，根據基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：14、【解析】由雙曲線方程寫出漸近線，根據相切關系，結合點線距離公式求參數a，即可確定實軸長.【詳解】由題設，漸近線方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關系知：，可得，又，即，所以雙曲線的實軸長為.故答案為：15、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：216、【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個方向向量可以寫為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）由題設可得，進而可知在恒成立，即可求參數范圍.（2）題設不等式等價于，討論的大小并根據一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當時，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實數的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當時，不等式解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為.綜上，當時﹐不等式的解集為；當時，不等式的解集為﹔當時，不等式的解集為.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設橢圓方程為，利用待定系數法求得的值，即可得出答案；（2）設，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標，再根據即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設，，，，P點坐標滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.19、（1）；（2）【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S側，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S；（2）連接BC1，確定∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求結論【詳解】（1）在△ABC中，因為AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2所以S＝2S△ABC+S側＝4+（2+2+4）×4＝24+12（2）連接BC1，因為AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角）在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，所以∠BA1C1＝arccos，即異面直線A1B與AC所成角的大小為arccos【點睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關鍵是正確作出線線角，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關系，短軸求出，結合關系式解出，可得橢圓的標準方程；（2）設，，過EF的方程為，聯立直線與橢圓方程得韋達定理，結合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯立韋達定理可求，進而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設，，則，都不為和0設直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因為，所以，等式兩邊平方得①又因為，在橢圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此時）所以直線EF的方程為21、（1）（2）【解析】(1)將點M、N的坐標代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設l的方程為：，，根據直