第2課時(shí)角的平分線(2)知識(shí)點(diǎn)1

角平分線的判定交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？想一想角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴PD=PE.幾何語言：猜想:這個(gè)結(jié)論正確嗎？已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.猜想證明BADOPE證明：作射線OP，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE

∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.PAOBCDE定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.（第4題圖）

提升題

拓展題

【提出問題】

【數(shù)學(xué)感悟】

【學(xué)以致用】

探究點(diǎn)3三角形三條角平分線的關(guān)系典例分析例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A

解：方法一探究點(diǎn)3三角形三條角平分線的關(guān)系典例分析例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A

解：方法二213465

拓展提升解：連接OC，過點(diǎn)O作OE⊥AB，過點(diǎn)O作ON⊥BCMENABCPOD1.如圖，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4.若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC且AP，BD交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O是△ABC三角平分線交點(diǎn)∵OE⊥AB,ON⊥BC,OM⊥AC∴OE＝ON＝OM＝4

2.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長(zhǎng)即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.拓展提升∟NM拓展提升變式如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC.求證：AE平分∠DAB.（提示：過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F.）【教材P53習(xí)題14.3第8題】證明：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F.∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°，∴EF=CE.∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴EF=BE.又EF⊥AD，∠B=90°，∴AE平分∠DAB.F

∟4.

如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE＝BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等.求證：AD平分∠BAC.

證明：如圖，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.

∵△DCE的面積與△DBF的面積相等，

∵CE＝BF，∴DN＝DM.

∴AD平分∠BAC.

角平分線的判定定理內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的_______上作用判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上相關(guān)結(jié)論三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離_____

平分線相等7.如圖，AD

是△ABC

的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF

與AD

相交于點(diǎn)G.AD

與EF

垂直嗎？證明你的結(jié)論.拓廣探索【教材P53習(xí)題14.3第7題】解：AD⊥EF.證明：∵AD

是△ABC

的角平分線，∴∠EAD=∠FAD.又DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°.在Rt△ADE

和Rt△ADF

中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE=AF.在△AEG

和△AFG

中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，

AG=AG，∴△AEG≌△AFG（SAS）.∴∠AGE=∠AGF.∵∠AGE+∠AGF=180°，∴∠AGE=∠AGF=90°，∴AD⊥EF.8.如圖，∠B=∠C=90°，E

是BC

的中點(diǎn)，DE

平分∠ADC.求證：AE

平分∠DAB.（提示：過點(diǎn)E

作EF⊥AD，垂足為F.）【教材P53習(xí)題14.3第8題】證明：如圖，過點(diǎn)E

作EF