16.3.1平方差公式第十六章

整式的乘法人教版八年級上冊學(xué)習(xí)目標(biāo)理解平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，能利用平方差公式進行簡單的計算和推理.一在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象地研究問題的方法，在驗證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合思想.二1復(fù)習(xí)引入目錄3典例分析5歸納總結(jié)4鞏固練習(xí)6感受中考7小結(jié)梳理8布置作業(yè)2合作探究復(fù)習(xí)引入問題1

多項式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)為例：(a+b)(p+q)(a+b)(a+q)一項相同一項相反(a+b)(p?b)一項相同一項相反(a+b)(a?b)兩項相同(a+b)(a+b)(a+b)(?a?b)兩項相反復(fù)習(xí)引入問題2

如何計算多項式乘以多項式？

一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.合作探究探究計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x+1)(x?1）=

；（2）（m+2)(m?2）=

；（3）（2x+1)(2x?1）=

.

答

都是形如a+b的多項式與形如a?b的多項式相乘.x2?1m2?44x2?1追問1三個等式的左側(cè)有什么共同特征？追問2三個等式的右側(cè)有什么共同特征？答

都是相同項的平方(a2)減去相反項的平方(b2).你能用符號語言描述這個規(guī)律嗎？(a+b)(a?b)=a2?b2.合作探究

證明

(a+b)(a?b)=a2?ab+ab?b2=a2?b2.問題3

你能證明(a+b)(a?b)=a2?b2嗎？多項式乘以多項式合并同類項文字語言

兩個數(shù)(式子)的和與這兩個數(shù)(式子)的差的積，等于這兩個

數(shù)(式子)的平方差．你能用文字語言描述這個規(guī)律嗎？合作探究（乘法的）平

方

差

公

式

文字語言

兩個數(shù)(式子)的和與這兩個數(shù)(式子)的差的積，等于這兩個數(shù)(式子)的平方差．(a+b)(a?b)=a2?b2.合作探究思考

你能根據(jù)圖中圖形的面積說明平方差公式嗎？a+ba?b紅色區(qū)域的面積

(a+b)(a?b)合作探究思考

你能根據(jù)圖中圖形的面積說明平方差公式嗎？ab紅色區(qū)域的面積

(a+b)(a?b)(a+b)(a?b)=a2?b2.

a2?b2

典例分析例1

運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x?2)；(2)（?x+2y)(?x?2y).

(3x+2)(3x?2)=()2?()2.

(a+b)(a?b)=

a2?b2.3x2

典例分析例1

運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x?2)；(2)（?x+2y)(?x?2y).

(?x+2y)(?x?2y)=()2?()2.

(a+b)(a?b)=

a2?b2.?x2y典例分析例1

運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x?2)；(2)（?x+2y)(?x?2y).

解(1)原式=(3x)2?22=9x2?4；

(2)原式=(?x)2

?(2y)2=x2

?4y2.典例分析

解

(1)原式=(x2?1)(x2+1)=x4?1；(2)原式=y2?22?(y2+4y?5)=y2?4?y2?4y+5=?4y+1；(3)原式=(100+2)(100?2)=1002?22=10000?4=9996.例2

計算：

(1)(x?1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y?2)?(y?1)(y+5)；(3)102×98.典例分析方法總結(jié)

應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項相同，另一項相反；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是數(shù)字，也可以是單項式或多項式．鞏固練習(xí)1.

口答：

（1）(?a+b)(a+b)=_________.

（2）(a?b)(b+a)=_________.

（3）(?a?b)(?a+b)=_________.

（4）(a?b)(?a?b)=_________.a2?b2a2?b2b2?a2b2?a2鞏固練習(xí)2.

下面的計算是否正確?如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(x+2)(x?2)=x2?2；(2)(?a?2)(a?2)=a2?4；

(3)(x+2y)(?x?2y)=x2?4y2；(4)(3a+4b)(3a?4b)=9a2?4b2.不正確不正確不正確原式=x2?4原式=4?a2原式=?x2?4xy?4y2不正確原式=9a2?16b23.

計算：

(1)(a+3b)(a?3b)；(2)(3+2a)(?3+2a)；(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy?1)；(4)(3x+4)(3x?4)?(2x+3)(3x?2).鞏固練習(xí)解

（1）原式=(a)2

?(3b)2=a2

?9b2.

（2）原式=(2a)2

?(3)2=4a2

?9.鞏固練習(xí)

（3）原式=(xy+1)(xy?1)(x2y2+1)=(x2y2?1)(x2y2+1)=x4y4?1.3.

計算：

(1)(a+3b)(a?3b)；(2)(3+2a)(?3+2a)；(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy?1)；(4)(3x+4)(3x?4)?(2x+3)(3x?2).乘法交換律多次使用平方差公式鞏固練習(xí)

（4）原式=(9x2?16)?(6x2?4x+9x?6)=9x2?16?6x2+4x?9x+6=3x2?5x?10.3.

計算：

(1)(a+3b)(a?3b)；(2)(3+2a)(?3+2a)；(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy?1)；(4)(3x+4)(3x?4)?(2x+3)(3x?2).此處需要添括號解

（1）原式=(50+1)(50?1)

=502

?12=2500?1=2499.

鞏固練習(xí)兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差

鞏固練習(xí)兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差歸納總結(jié)整式的乘法公式——平方差公式符號語言(a+b)(a?b)=

.文字語言

兩個數(shù)(式子)的

與這兩個數(shù)(式子)的

的

，等于這兩個數(shù)(式子)的

．注意事項公式中的a和b可以是

，也可以是

或

．a(chǎn)2?b2和差平方差積數(shù)字單項式多項式感受中考1.(2025·黑龍江)下列運算正確的是()A.a4·a3=a6B.2a+3b=6abC.(?2a2b3)3=?8a6b9D.(?a+b)(a+b)=a2?b2C感受中考2.(2022·內(nèi)蒙古赤峰)已知(x+2)(x?2)?2x=1，則2x2?4x+3的值為()A.13B.8C.?3D.5A感受中考3.(2025·甘肅蘭州)計算:(a+2)(a?2)+a(3?a).解

原式=a2?4+3a?a2