第23頁（共23頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理一．選擇題（共8小題）1．給一些書編號(hào)，準(zhǔn)備用3個(gè)字符，其中首字符用A，B，后兩個(gè)字符用a，b，c（允許重復(fù)），則不同編號(hào)的書共有（）A．8本 B．9本 C．12本 D．18本2．5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為（）A．C52 B．25 C．52 D．3．用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（）A．72 B．96 C．120 D．1444．有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是（）A．12 B．64 C．81 D．2565．某學(xué)校組織高二學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐研學(xué)活動(dòng)，研學(xué)路線有成都、南京、西安共3條．學(xué)校安排3名男教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各1名，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．36 B．72 C．108 D．2166．用1，2，3組成三位數(shù)，數(shù)字i最多用i次，其中i＝1，2，3，則滿足條件的三位數(shù)個(gè)數(shù)是（）A．15個(gè) B．18個(gè) C．19個(gè) D．27個(gè)7．我們稱各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，例如107和224，則所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A．66個(gè) B．55個(gè) C．36個(gè) D．28個(gè)8．用3種不同的顏色對圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂法有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．將4本不同的書分給3個(gè)人，則共有24種分配方法 B．將2個(gè)a，3個(gè)b，1個(gè)c排成一排，則共有60種排法 C．將6個(gè)參加數(shù)學(xué)競賽的名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，則共有10種方法 D．從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，如果3人中必須既要有男生又有女生，則共有C4（多選）10．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù)，則（）A．可組成360個(gè)四位數(shù) B．可組成216個(gè)是5的倍數(shù)的五位數(shù) C．可組成270個(gè)比1325大的四位數(shù) D．若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)為2301（多選）11．由數(shù)字0，1，2，3組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．可以組成18個(gè)不同的數(shù) B．可以組成12個(gè)偶數(shù) C．可以組成8個(gè)奇數(shù) D．若數(shù)字1和2相鄰，則可組成8個(gè)不同的數(shù)（多選）12．用0到6這7個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．A63+2A6C．A73-A三．填空題（共4小題）13．1800有個(gè)不同的正因數(shù)．14．若正整數(shù)a＝bc（b，c都是整數(shù)），則稱b和c為a的因數(shù)，74×135×376的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為．15．如圖，現(xiàn)要用6種不同的顏色對某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法．16．已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有種（用數(shù)字作答）．四．解答題（共4小題）17．（1）6名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，且女生不站兩端，有多少種不同的站法？（2）某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報(bào)展示活動(dòng)，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？（3）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？18．從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：（1）組成的三位數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù)．19．從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．（1）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？20．對于集合A，B，定義運(yùn)算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B兩式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)．（1）設(shè)A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；（2）對于有限集A，B，C，證明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使該式取等號(hào)的B的數(shù)量；（用含A，C的式子表示）（3）若有限集A，B，C滿足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，則稱有序三元組（A，B，C）為“聯(lián)合對”，定義I＝{1，2，?，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C?I}．①設(shè)m∈I，求滿足|AΔC|＝m的“聯(lián)合對”（A，B，C）?u的數(shù)量；（用含m的式子表示）②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求u中“聯(lián)合對”的數(shù)量．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DBCCACCC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCBCDACDABC一．選擇題（共8小題）1．給一些書編號(hào)，準(zhǔn)備用3個(gè)字符，其中首字符用A，B，后兩個(gè)字符用a，b，c（允許重復(fù)），則不同編號(hào)的書共有（）A．8本 B．9本 C．12本 D．18本【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】計(jì)算題．【答案】D【分析】首先確定首字符，不重復(fù)，然后再確定第二和第三個(gè)字符，允許重復(fù)，最后利用分布乘法原理求值．【解答】解：分兩步：第一步：選定首字符，有2種可能；第二步：選后兩個(gè)字符，又分兩小步：第二字符，有3種可能，第三個(gè)字符，也有3種可能，所以利用乘法原理，最終就有2×3×3＝18種不同的組合情況，也就是說可以編18本書．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步乘法原理，解答的關(guān)鍵是明確首字符不重復(fù)，后兩個(gè)字符允許重復(fù)，是基礎(chǔ)題也是易錯(cuò)題．2．5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為（）A．C52 B．25 C．52 D．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；排列組合．【答案】B【分析】直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得答案．【解答】解：不妨設(shè)5名同學(xué)分別是A，B，C，D，E，對于A同學(xué)來說，第二天可能出現(xiàn)的不同情況有去和不去2種，同樣對于B，C，D，E都是2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為2×2×2×2×2＝25（種）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．3．用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（）A．72 B．96 C．120 D．144【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)分類相加計(jì)數(shù)原理，先分四種顏色都用和只有三種顏色兩種情況，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將涂色過程分成若干步，每一步確定一個(gè)區(qū)域的顏色，再根據(jù)相鄰區(qū)域不同色的條件，確定每一步的涂色方案數(shù)，最后將各步方法數(shù)相乘得到總的涂色方案數(shù)．【解答】解：設(shè)四種顏色分別為1、2、3、4，（1）四種顏色只用其中的三種顏色：即當(dāng)A，C同色，B，D同色，E，F(xiàn)同色，共有4×3×2＝24種不同的涂法．（2）四種顏色都用：先涂區(qū)域B，有4種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色1，再涂區(qū)域C，有3種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色2，再涂區(qū)域E，有2種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色3，若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D，F(xiàn)填涂顏色1、3或4、3，若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D，F(xiàn)填涂顏色1、4或4、3，共4種不同的填涂方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有4×3×2×4＝96種不同的涂法；綜上所述，根據(jù)分類相加計(jì)數(shù)原理可得，共有24+96＝120種不同涂法．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．4．有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是（）A．12 B．64 C．81 D．256【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由分步乘法計(jì)算可得．【解答】解：有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，由題意可得每個(gè)信號(hào)燈有三種情況，各自獨(dú)立，所以一共有34＝81種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．5．某學(xué)校組織高二學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐研學(xué)活動(dòng)，研學(xué)路線有成都、南京、西安共3條．學(xué)校安排3名男教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各1名，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．36 B．72 C．108 D．216【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)全排列即可求解．【解答】解：學(xué)校安排3名男教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各1名，每條路線安排一男一女，故總的分配方法有A3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．6．用1，2，3組成三位數(shù)，數(shù)字i最多用i次，其中i＝1，2，3，則滿足條件的三位數(shù)個(gè)數(shù)是（）A．15個(gè) B．18個(gè) C．19個(gè) D．27個(gè)【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】分三個(gè)不同數(shù)字各出現(xiàn)一次，一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)兩次，一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)三次，三種情況討論即可．【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：①當(dāng)三個(gè)不同數(shù)字各出現(xiàn)一次時(shí)，有A33②當(dāng)一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)兩次，其他兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)一次時(shí)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字只能是2或3，則有C21③當(dāng)一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)三次，則僅有數(shù)字3符合條件，則有1個(gè)滿足條件的三位數(shù)；綜上所述，滿足條件的三位數(shù)共有6+12+1＝19個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意數(shù)字可以重復(fù)，屬于基礎(chǔ)題．7．我們稱各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，例如107和224，則所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A．66個(gè) B．55個(gè) C．36個(gè) D．28個(gè)【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】分類討論；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】按照首位數(shù)字為1～8進(jìn)行分類，相加得到答案．【解答】解：當(dāng)首位數(shù)字為8時(shí)，后兩位相加為0，“幸運(yùn)數(shù)”是800，共1個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為7時(shí)，后兩位相加為1，“幸運(yùn)數(shù)”分別是701，710，共2個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為6時(shí)，后兩位相加為2，“幸運(yùn)數(shù)”分別是602，620，611，共3個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為5時(shí)，后兩位相加為3，“幸運(yùn)數(shù)”分別是503，530，512，521，共4個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為4時(shí)，后兩位相加為4，“幸運(yùn)數(shù)”分別是404，440，413，431，422，共5個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為3時(shí)，后兩位相加為5，“幸運(yùn)數(shù)”分別是305，350，314，341，323，332，共6個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為2時(shí)，后兩位相加為6，“幸運(yùn)數(shù)”分別是206，260，215，251，224，242，233，共7個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字為1時(shí)，后兩位相加為7，“幸運(yùn)數(shù)”分別是116，161，125，152，134，143，107，170，共8個(gè)；所以所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有1+2+3+4+5+6+7+8＝36個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．用3種不同的顏色對圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂法有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：用3種不同的顏色對圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同，先涂區(qū)域1，有3種涂法；再涂區(qū)域2，有2種涂法．故不同的涂法有3×2＝6種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．將4本不同的書分給3個(gè)人，則共有24種分配方法 B．將2個(gè)a，3個(gè)b，1個(gè)c排成一排，則共有60種排法 C．將6個(gè)參加數(shù)學(xué)競賽的名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，則共有10種方法 D．從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，如果3人中必須既要有男生又有女生，則共有C4【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理判斷A，根據(jù)順序一定問題，列式判斷B，根據(jù)隔板法，列式判斷C，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，或是無序問題，判斷D．【解答】解：對于A，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有34＝81種分配方法，故A錯(cuò)誤；對于B，將2個(gè)a，3個(gè)b，1個(gè)c排成一排，共有A66A對于C，將6個(gè)名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，采用隔板法，共有C52=10對于D，如果3人中必須既要有男生又有女生，共有C42C31+故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）10．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù)，則（）A．可組成360個(gè)四位數(shù) B．可組成216個(gè)是5的倍數(shù)的五位數(shù) C．可組成270個(gè)比1325大的四位數(shù) D．若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)為2301【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】對是否包含0進(jìn)行分類討論即可求解A，B選項(xiàng)；而對于C，D選項(xiàng)，我們需要對四位數(shù)的開頭若干位進(jìn)行分類討論，從而得到比某個(gè)特定數(shù)大或比某個(gè)特定數(shù)小的選取方式個(gè)數(shù)．【解答】解：當(dāng)組成四位數(shù)時(shí)，我們要做的是從這6個(gè)數(shù)中取4個(gè)．選取以后，不包含0的取法有C54=5種，此時(shí)有4!包含0的取法有C53=10種，此時(shí)要保證首位不為0，故只有4!﹣3!＝24﹣6所以總共能組成的四位數(shù)有5?24+10?18＝300個(gè)，A錯(cuò)誤；當(dāng)組成5的倍數(shù)的五位數(shù)時(shí)，我們需要組成末位是0或5的五位數(shù)．如果末位數(shù)是0，則剩下四位可以任意從1，2，3，4，5中選擇并任意排列，此時(shí)有C54如果末位數(shù)是5，則剩下四位可以任意從0，1，2，3，4中選擇，但排列時(shí)0不能排在首位．而不包含0和包含0的選擇方式各有C44=1種和C43=4種，故此時(shí)有1?4!+4?（4!﹣所以總共能組成5的倍數(shù)的五位數(shù)有120+96＝216個(gè)，B正確；當(dāng)組成比1325大的四位數(shù)時(shí)，以2，3，4，5開頭的有4?C5以14，15開頭的有2?C4以134，135開頭的有2?C3所以總共能組成比1325大的四位數(shù)有240+24+6＝270個(gè)，C正確；當(dāng)組成比2301小的四位數(shù)時(shí)，以1開頭的有1?C53?3!=1?10?6=60個(gè)，以20，所以總共能組成比2301小的四位數(shù)有60+24＝84個(gè)，從而2301是從小到大排列的第85個(gè)數(shù)，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，排列組合的簡單應(yīng)用，是中檔題．（多選）11．由數(shù)字0，1，2，3組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．可以組成18個(gè)不同的數(shù) B．可以組成12個(gè)偶數(shù) C．可以組成8個(gè)奇數(shù) D．若數(shù)字1和2相鄰，則可組成8個(gè)不同的數(shù)【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對應(yīng)思想；分析法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】先排千位，再排其它三位，即可判斷A；分步分類計(jì)數(shù)求出奇數(shù)個(gè)數(shù)，即可得偶數(shù)個(gè)數(shù)，即可判斷BC；分千位為3，千位百位為1和2，兩種情況求個(gè)數(shù)，結(jié)合排列，組合數(shù)，求出四位數(shù)的個(gè)數(shù)，即可判斷D．【解答】解：A：千位的選法有C31種，其它三位任意排有故組成不同的數(shù)有C31?AC：奇數(shù)個(gè)數(shù)：先把1或3安排到個(gè)位有C21種，則千位有C21種，其它數(shù)位有A22B：由AC知：偶數(shù)有18﹣8＝10個(gè)，錯(cuò)誤；D：當(dāng)千位為3，將1和2全排有A22種，作為整體與0全排列有A22當(dāng)千位，百位為l和2，有A22種，再將0和3全排列有A22所以可以組成8個(gè)不同的數(shù)，正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．用0到6這7個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．A63+2A6C．A73-A【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對應(yīng)思想；分析法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)最高位不能為0，利用間接法、分步、分類法計(jì)算可得．【解答】解：用0到6這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，若不考慮最高位是否為0，則有A73個(gè)，又最高位不能為0，故當(dāng)最高位為0時(shí)有A故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有A73-A首先排最高位，有A61種，再排十位、個(gè)位，有故共有A61A6若選到的數(shù)字沒有0，則有A63若選到的數(shù)字有0，先排0，有2種方法，再從其余6個(gè)數(shù)字選2個(gè)排到其余位置，故有2A62綜上可得共有A63+2A62個(gè)故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．1800有36個(gè)不同的正因數(shù)．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】36．【分析】根據(jù)題意，1800＝23×32×52，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意1800＝23×32×52，每一個(gè)正因數(shù)都可表示為2a其中0≤a1≤3，0≤a2≤2，0≤a3≤2，且a1，a2，a3均為非負(fù)整數(shù)，對a3有3種可能選法，即0，1，2，對a2有3種可能選法，即0，1，2，對a1有4種可能選法，即0，1，2，3，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，1800的正因數(shù)有4×3×3＝36個(gè)．故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．14．若正整數(shù)a＝bc（b，c都是整數(shù)），則稱b和c為a的因數(shù)，74×135×376的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為210．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】210．【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算得解．【解答】解：已知若正整數(shù)a＝bc（b，c都是整數(shù)），則稱b和c為a的因數(shù)，正整數(shù)74×135×376的正因數(shù)形如7r×13s×37t，其中r∈{0，1，2，3，4}，s∈{0，1，2，3，4，5}，t∈∈{0，1，2，3，4，5，6}，因此依次確定r，s，t的值即得一個(gè)確定的正因數(shù)，確定r，s，t分別有5種、6種、7種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為5×6×7＝210．故答案為：210．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．15．如圖，現(xiàn)要用6種不同的顏色對某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有480種不同的著色方法．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】480．【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：由題意可知，先給I地區(qū)涂色有6種，再給Ⅱ地區(qū)涂色有5種，再給Ⅲ地區(qū)涂色有4種，再給Ⅳ地區(qū)涂色有4種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法共有6×5×4×4＝480種．故答案為：480．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有144種（用數(shù)字作答）．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】144．【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合優(yōu)先特殊元素或特殊位置來解決問題．【解答】解：已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，第一步，優(yōu)先排丙，只能排第四、五、六名，共有3種；第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2種；第三步，剩下四個(gè)人排剩下四個(gè)位置，共有A4利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得：總共可能的排名情況有：3×2×24＝144種．故答案為：144．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（1）6名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，且女生不站兩端，有多少種不同的站法？（2）某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報(bào)展示活動(dòng)，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？（3）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）144；（2）140；（3）378．【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4名男生全排列，②將2名看成一個(gè)整體，安排在男生中間的3個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算“在10人中任選4人”的選法，排除其中“甲乙都沒有參加”的情況，即可得答案；（3）根據(jù)題意，分取出的數(shù)字有0與沒有0兩種情況討論，先將數(shù)字取出再進(jìn)行排列，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4名男生全排列，有A44②將2名看成一個(gè)整體，安排在男生中間的3個(gè)空位中，有A22則有24×6＝144種排法；（2）根據(jù)題意，在10人中任選4人，有C104若甲乙都沒有參加，有C84則有C104（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①若取出的數(shù)字有0，則有C31②若取出的數(shù)字沒有0，則有C32綜上可得一共有162+216＝378個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：（1）組成的三位數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；分類加法計(jì)數(shù)原理；分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）30．（2）36．【分析】（1）組成三位數(shù)的偶數(shù)，需要分個(gè)位是0和個(gè)位不是0兩種情況討論；（2）組成大于200的三位數(shù)，百位數(shù)字只能是2、3、4，進(jìn)而求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為0時(shí)，個(gè)位數(shù)字只能從2、4中選一個(gè)，有2種選法；百位數(shù)字不能為0，所以百位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，有3種選法；十位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有3種選法．根據(jù)乘法原理，此時(shí)組成的偶數(shù)個(gè)數(shù)為2×3×3＝18．當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，百位數(shù)字可以從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有4種選法；十位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法．根據(jù)乘法原理，此時(shí)組成的偶數(shù)個(gè)數(shù)為4×3＝12個(gè)．將兩種情況的個(gè)數(shù)相加，得到組成的三位數(shù)是偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為12+18＝30個(gè)．（2）百位數(shù)字可以從2、3、4這3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法；十位數(shù)字可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有4種選法；個(gè)位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法．根據(jù)乘法原理，組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題．19．從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．（1）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）100；（2）48；（3）30．【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；（3）根據(jù)組成三位偶數(shù)，末位數(shù)字可分兩類，末位數(shù)字是0或者不是0，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：（1）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×5×5＝100（個(gè)）．（2）三位數(shù)的首位不能為0，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二位可以排0，除首位排的數(shù)字共有4種方法，第三位除前兩位排的數(shù)字共有3種方法，因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×4×3＝48（個(gè)）．（3）偶數(shù)末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類：一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12（種）排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18（種）排法．因此有12+18＝30（種）排法．即可以排成30個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．對于集合A，B，定義運(yùn)算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B兩式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)．（1）設(shè)A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；（2）對于有限集A，B，C，證明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使該式取等號(hào)的B的數(shù)量；（用含A，C的式子表示）（3）若有限集A，B，C滿足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，則稱有序三元組（A，B，C）為“聯(lián)合對”，定義I＝{1，2，?，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C?I}．①設(shè)m∈I，求滿足|AΔC|＝m的“聯(lián)合對”（A，B，C）?u的數(shù)量；（用含m的式子表示）②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求u中“聯(lián)合對”的數(shù)量．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；二項(xiàng)式定理；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)新定義，對區(qū)間逐一分析即可得解；（2）利用韋恩圖及新定義，求出不等式等號(hào)成立的條件，利用集合的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求子集個(gè)數(shù)；（3）①分別求出（A，C），B取法的種數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解②結(jié)合（2）及（3）①的結(jié)果，利用二項(xiàng)式定理求解．【解答】解：（1）當(dāng)x?[﹣1，2]，x?A，x?B，故x?AΔB；當(dāng)x∈（1，2]，x?A，x∈B，故x∈AΔB；當(dāng)x∈[0，1]，x∈A，x∈B，故x?AΔB；當(dāng)x∈[﹣1，0），x∈A，x?B，故x∈AΔB；所以AΔB＝[﹣1，0）∪（1，2]．（2）如圖，畫出Venn圖，將A∪B∪C劃分成7個(gè)集合S1，?，S7，根據(jù)題干已知新定義，得|AΔB|＝|S1|+|S4|+|S5|+|S6|，|AΔC|＝|S1|+|S2|+|S6|+|S7|，|BΔC|＝|S2|+|S5|+|S4|+|S7|，所以|AΔB|+|BΔC|﹣|AΔC|＝2|S4|+2|S5|≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)S5＝S4＝?時(shí)取等號(hào)，S5＝?等價(jià)于B?（A∪C），S4＝?等價(jià)于（A∩C）?B，所以當(dāng)且僅當(dāng)（A∩C）?B?（A∪C）取等號(hào)．令B＝（A∩C）∪D，其中集合D與A∩C無交集，因?yàn)锳ΔC＝（A∪C）（A∩C），所以有??D?（A∪C）（A∩C）＝AΔC，所以D為AΔC的某一子集，有2|AΔC|種，因此使上式取等的B有2|AΔC|個(gè)．（3）①令X＝AΔC?u，有|X|＝m，所以X有Cn對于每一個(gè)x，可知X中每一個(gè)元素x有兩種情形：x?A，x∈C或x∈A，x?C．且I中每一個(gè)元素x有兩種情形：x?A，x∈C或x∈A，x?C．所以?x∈I，x共有兩種選擇，所以這樣的（A，C）有2|I|＝2n種，對于每一個(gè)（A，C），根據(jù)第二問可知B有2|AΔC|＝2m種取法．所以由乘法原理，這樣的“聯(lián)合對”（A，B，C）有Cnm②由①知，u中“聯(lián)合對”的數(shù)量為m=0所以u(píng)中“聯(lián)合對”（A，B，C）的數(shù)量為6n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合新定義問題，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．分類加法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：（1）完成一件事的n類方案相互獨(dú)立；（2）同一類方案中的各種方法相對獨(dú)立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；4．注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）A.30種B.35種C.42種D.48種分析：兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2門，B類選修課選1門，寫出組合數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．解答：可分以下2種情況：①A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C3②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C3∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的選法共有C31C4故選A．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．本題也可以從排列的對立面來考慮，寫出所有的減去不合題意的，可以這樣解：C733．分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事需要分成兩個(gè)步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個(gè)步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：完成一件事的n個(gè)步驟相互依存，必須依次完成n個(gè)步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】