賭徒謬誤與貝葉斯公式人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)7.1.3廣西壯族自治區(qū)藤縣中學(xué)鄭福強(qiáng)目錄CONTENTS01情境沖突02公式推導(dǎo)03計(jì)算破解04觀念升華05總結(jié)反思情境沖突01硬幣連拋九次皆正面第十次一定反面嗎？一個(gè)典型的“賭徒謬誤”情境：堅(jiān)信連續(xù)出現(xiàn)同一結(jié)果后，下一次會(huì)出現(xiàn)相反結(jié)果。每次拋擲都是獨(dú)立事件，前九次結(jié)果不會(huì)影響第十次。工廠連抽九件皆合格第十件一定合格嗎？情境遷移：表面相似，本質(zhì)大不同。這里我們要推斷的是一個(gè)未知的、不獨(dú)立的系統(tǒng)參數(shù)——工廠的整體合格率。連續(xù)九件合格是一個(gè)強(qiáng)有力的證據(jù)，它應(yīng)該更新我們對(duì)工廠質(zhì)量的信心。這正是貝葉斯思維的用武之地。兩個(gè)情境的差異本質(zhì)關(guān)鍵在于我們面對(duì)的是什么類型的問(wèn)題。賭徒謬誤(硬幣問(wèn)題)靜態(tài)頻率概率是已知且固定的(50%)。每次拋擲是獨(dú)立事件，歷史結(jié)果無(wú)法改變下一次的概率。貝葉斯思維(工廠問(wèn)題)動(dòng)態(tài)信念合格率是一個(gè)未知參數(shù)。每次抽檢結(jié)果都是相關(guān)證據(jù)，可以用來(lái)更新我們對(duì)合格率的信念。公式推導(dǎo)02回顧：條件概率與乘法公式為推導(dǎo)貝葉斯公式做準(zhǔn)備，我們先回顧兩個(gè)核心概念。條件概率事件A在事件B已發(fā)生條件下的概率?！朔ü接蓷l件概率公式變形得到，用于求聯(lián)合概率。探究：由果溯因的推理利用乘法公式，我們可以嘗試“由果溯因”，計(jì)算我們真正關(guān)心的概率。工廠合格率先驗(yàn)概率P(A)×在合格率為90%時(shí)，抽到9件合格品的概率(似然)P(B|A)=聯(lián)合概率P(A∩B)我們想知道的是P(A|B)(后驗(yàn)概率)，即在觀察到B發(fā)生后，對(duì)A的信念更新。構(gòu)建：完整的貝葉斯公式為了得到P(A|B)，我們需要對(duì)聯(lián)合概率P(A∩B)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即除以P(B)。==其中，P(B)可以通過(guò)全概率公式展開(kāi)，完成對(duì)證據(jù)的窮盡考慮。計(jì)算破解03應(yīng)用：為工廠問(wèn)題賦值計(jì)算將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。先驗(yàn)概率P(A)基于歷史數(shù)據(jù)，假設(shè)工廠合格率為90%。似然P(B|A)在合格率為90%時(shí)，連續(xù)抽中9件合格品的概率是0.9^9。證據(jù)P(B)連續(xù)抽中9件合格品的總概率，需用全概率公式計(jì)算。計(jì)算：見(jiàn)證信念的更新先驗(yàn)信念90%(對(duì)工廠合格率的初始信心)貝葉斯公式后驗(yàn)信念99%(觀察到強(qiáng)證據(jù)后的更新信心)計(jì)算結(jié)果清晰地表明，連續(xù)9件合格品這個(gè)強(qiáng)有力的證據(jù)，極大地增強(qiáng)了我們對(duì)該工廠質(zhì)量的信心。結(jié)果解讀后驗(yàn)概率(99%)遠(yuǎn)高于先驗(yàn)概率(90%)，這是一個(gè)顯著的信心提升。決策建議基于貝葉斯推斷，我們可以做出更理性的決策：有充分理由相信該批次產(chǎn)品質(zhì)量上乘。可以更有信心地采購(gòu)或使用該批次產(chǎn)品。貝葉斯公式成功地將證據(jù)轉(zhuǎn)化為了決策依據(jù)。觀念升華04核心思想：動(dòng)態(tài)更新信念貝葉斯思維的核心在于，概率并非一成不變，而是隨證據(jù)演化的信念度量。初始信念(先驗(yàn)概率)新證據(jù)(數(shù)據(jù)/觀察)更新信念(后驗(yàn)概率)這是一種在不確定性中進(jìn)行理性判斷的強(qiáng)大思維方式。劃清界限：兩種思維的本質(zhì)區(qū)別賭徒謬誤錯(cuò)誤地認(rèn)為獨(dú)立隨機(jī)事件的概率會(huì)因歷史結(jié)果而改變。邏輯對(duì)象：?jiǎn)未问录慕Y(jié)果錯(cuò)誤根源：否認(rèn)事件的獨(dú)立性貝葉斯思維合理地用新證據(jù)去更新對(duì)一個(gè)未知系統(tǒng)參數(shù)的信念。邏輯對(duì)象：系統(tǒng)參數(shù)本身核心優(yōu)勢(shì)：利用證據(jù)進(jìn)行科學(xué)推斷遷移應(yīng)用：貝葉斯思維無(wú)處不在這種基于證據(jù)更新認(rèn)知的思維方式，在現(xiàn)代生活和科技中有著廣泛應(yīng)用。醫(yī)學(xué)診斷根據(jù)癥狀（證據(jù)）更新對(duì)疾?。僭O(shè)）的懷疑程度。垃圾郵件過(guò)濾根據(jù)郵件內(nèi)容（證據(jù)）更新其為垃圾郵件（假設(shè)）的概率。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估根據(jù)新信息（證據(jù)）動(dòng)態(tài)調(diào)整對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)（假設(shè)）的評(píng)估。學(xué)會(huì)用貝葉斯思維去思考，能幫助我們成為更理性的決策者?？偨Y(jié)反思05回顧：貝葉斯公式的結(jié)構(gòu)先驗(yàn)概率P(A)在觀察數(shù)據(jù)前，對(duì)假設(shè)的信念。似然P(B|A)在假設(shè)成立時(shí)，觀察到該數(shù)據(jù)的概率。后驗(yàn)概率P(A|B)在觀察數(shù)據(jù)后，對(duì)假設(shè)的更新信念。分享與反思：本節(jié)課的最大收獲“原來(lái)概率不是固定的，而是可以隨著證據(jù)更新的！”“貝葉斯公式讓我明白了如何用數(shù)學(xué)來(lái)量化并更新我們的認(rèn)知?！薄皩W(xué)會(huì)了區(qū)分‘賭徒謬誤’和真正的科學(xué)推斷?！蓖卣谷蝿?wù)運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)，完成一個(gè)小調(diào)查：假設(shè)你網(wǎng)購(gòu)了一款新產(chǎn)品，想看看用戶評(píng)價(jià)。如果前5條評(píng)價(jià)都是好評(píng)，你對(duì)該產(chǎn)品是“優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的信心