2025年大學(xué)二年級線性代數(shù)上學(xué)期沖刺押題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.設(shè)向量α=(1,2,-1),β=(2,k,1),若α與β線性相關(guān)，則k的值為：(A)-4(B)-2(C)2(D)42.已知矩陣A=[a_{ij}]是一個3階矩陣，且|A|=3，則矩陣B=-2A的行列式|B|等于：(A)-6(B)-2(C)6(D)23.設(shè)向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(k,1,5)。若α?,α?,α?線性無關(guān)，則k的取值范圍是：(A)k≠2(B)k≠-2(C)k≠2且k≠-2(D)任意實(shí)數(shù)4.對矩陣A進(jìn)行兩次初等行變換：首先交換第一行與第二行，然后第三行減去第二行的2倍，所得到的矩陣記為B。若|A|=-1，則|B|等于：(A)-1(B)1(C)-2(D)25.設(shè)A是一個m×n矩陣，B是一個n×s矩陣。若AB是可逆矩陣，則下列條件中不一定成立的是：(A)m=n且n=s(B)A是可逆矩陣(C)B是可逆矩陣(D)m≥n且n≥s6.齊次線性方程組x?+x?+x?=0有非零解，則其系數(shù)矩陣的秩r(A)必滿足：(A)r(A)=0(B)r(A)=1(C)r(A)=2(D)r(A)<37.設(shè)A是n階方陣，且存在非零向量x使得Ax=0，則必有：(A)A是零矩陣(B)A是可逆矩陣(C)|A|=0(D)A的行向量組線性相關(guān)8.已知非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化為[I|c]，其中I是n階單位矩陣，則該方程組：(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)解的情況無法確定9.設(shè)A是n階矩陣，且A2=A，則稱A為冪等矩陣。若A是冪等矩陣，則|A|的可能值為：(A)只能是0(B)只能是1(C)0或1(D)任意非負(fù)實(shí)數(shù)10.設(shè)n階矩陣A可逆，α是A的特征向量，對應(yīng)的特征值為λ，則α也是矩陣A?1的特征向量，對應(yīng)的特征值為：(A)λ(B)1/λ(C)λ2(D)-λ二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）11.設(shè)向量組α?=(1,2,3),α?=(0,1,1),α?=(t,1,5)。若向量組α?,α?,α?線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)t的值為________。12.行列式|A|的所有元素按其原有位置不變，各元素分別乘以自己的代數(shù)余子式后相加，所得的和等于________。13.設(shè)A是3階矩陣，且|A|=2。若將A的第一列乘以2，第二列減去第一列，得到矩陣B，則行列式|B|=________。14.非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是________。15.設(shè)矩陣A=[12;34]，矩陣B=[56;78]，則矩陣X滿足AX=B的解為________（請寫出X的具體元素形式）。三、計算題（每小題8分，共32分。）16.計算行列式|A|，其中A=[12-1;213;0-11]。17.設(shè)向量組α?=(1,0,2),α?=(-1,1,1),α?=(2,1,t)。求向量組α?,α?,α?的秩，并判斷當(dāng)t取何值時，該向量組線性無關(guān)。18.用初等行變換求矩陣A=[123;210;1-1-1]的逆矩陣A?1（若存在）。19.設(shè)矩陣A=[12;24]。求矩陣A的特征值和對應(yīng)的特征向量。四、證明題（每小題10分，共20分。）20.證明：如果一個向量組含有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。21.設(shè)A是n階方陣，且滿足A2-2A-3I=0。證明：矩陣A可逆，并求A?1。---五、綜合應(yīng)用題（每小題10分，共20分。）22.求解線性方程組：x?+2x?+x?=1,2x?+x?+x?=2,x?+x?-x?=-1。23.設(shè)向量空間V={x=(x?,x?,x?)∈R3|x?+2x?+x?=0}。求向量空間V的維數(shù)和一個基。---試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.C5.B6.D7.C8.B9.C10.B二、填空題11.512.|A|13.-414.秩(A)=秩(A|b)15.X=[-4-2;53]三、計算題16.解：|A|=1(1*1-3*(-1))-2(2*1-3*0)+(-1)(2*(-1)-1*0)=1(1+3)-2(2-0)-1(-2-0)=4-4+2=2。17.解：構(gòu)造矩陣(α?α?α?)=[(102;-111;21t)]。進(jìn)行初等行變換化為行階梯形：(102;-111;21t)→(102;013;01t-4)→(102;013;00t-7)。秩=3當(dāng)且僅當(dāng)t≠7。當(dāng)t≠7時，向量組線性無關(guān)；當(dāng)t=7時，向量組線性相關(guān)。18.解：構(gòu)造矩陣(AI)=[(123100;210010;1-1-1001)]。進(jìn)行初等行變換將A部分化為I：(123100;210010;1-1-1001)→(-1-2-3-100;210010;1-1-1001)→(-10-3-1-20;0120-10;10-30-11)→(103120;0120-10;000131)→(100-543;010-452;000131)。得到A?1=[-543;-452;131]。19.解：|λI-A|=|λ-1-2;-2λ-4|=(λ-1)(λ-4)-(-2)(-2)=λ2-5λ=λ(λ-5)。特征值為λ?=0,λ?=5。當(dāng)λ?=0時，(0I-A)x=0→[-1-2;-2-4]x=0→x?+2x?=0。解得x=k(-2,1)?，k為任意非零常數(shù)。對應(yīng)特征向量為(-2,1)?。當(dāng)λ?=5時，(5I-A)x=0→[4-2;-21]x=0→2x?-x?=0。解得x=l(1,2)?，l為任意非零常數(shù)。對應(yīng)特征向量為(1,2)?。四、證明題20.證明：設(shè)該向量組為α?,α?,...,α?，且α?=(0,0,...,0)。取非零向量β=(1,0,0,...,0)，則存在不全為零的數(shù)1,0,...,0使得1*α?+0*α?+...+0*α?=0。由線性相關(guān)定義知，α?,α?,...,α?線性相關(guān)。21.證明：由A2-2A-3I=0得A2-2A+I=4I，即(A-I)2=4I。設(shè)μ=A-I，則μ2=4I，兩邊取行列式得|μ|2=|4I|=4?。所以|μ|=±2??。由于|μ|=|A-I|=|A|-|I|=|A|-1，故|A|-1=±2??。這意味著|A|≠0，因此A可逆。由(A-I)2=4I可得(A-I)(A-I-2I)=0，即(A-I)(A-3I)=0。若A-3I不可逆，則其零空間僅包含零向量，從而(A-I)x=0的解只有x=0。這與(A-I)2=4I矛盾，因?yàn)榇嬖诜橇憬鈞?使得(A-I)x?=2x?。因此，A-3I必須可逆。由(A-I)x=2x可得A(x-3x)=2x，即A(3x-x)=x。由于A-3I可逆，令x=(A-3I)?1(3x?-x?)=(A-3I)?1(2x?)，則A?1=(A-3I)?1(2x?)。由于x?是(A-I)x=2x的非零解，存在非零x?滿足此條件，故A?1=(A-3I)?1(2x?)/x?。這表明A?1存在且為(A-3I)?1(2/x?)。五、綜合應(yīng)用題22.解：寫出增廣矩陣(A|b)=[(1211;2112;11-1-1)]。進(jìn)行初等行變換化為行階梯形：(1211;2112;11-1-1)→(-1-2-1-1;2112;11-1-1)→(0133;2112;11-1-1)→(0133;0-3-5-4;11-1-1)→(0133;015/34/3;11-1-1)→(00-4/35/3-5;015/34/3;10-4/3-7/3)→(001-5/415/4;015/34/3;10-4/3-7/3)→(001-5/415/4;0001/35/12;1001/31/12)。得到x?=-5/4,x?=5/12,x?=1/12。即解為(1/12,5/12,-5/4)?。23.解：設(shè)x=(x?,x?,x?)∈V，則x?+2x?+x?=0。取x?=t,x?=s(t,s∈R)，則x?=-2t-s。令t=1,s=0，得x?=-2,x?=1,x?=0，即α=(