2026屆內蒙古自治區(qū)包頭市高二上數(shù)學期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知呈線性相關的變量x與y的部分數(shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.72．定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項和為（）A. B.3C. D.63．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.4．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.45．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，定點，M為拋物線上一點，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.67．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上一點且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.8．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.69．實數(shù)m變化時，方程表示的曲線不可以是（）A.直線 B.圓C橢圓 D.雙曲線10．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75C.155 D.31511．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.1012．已知點在拋物線的準線上，則該拋物線的焦點坐標是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______14．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設各層球數(shù)構成一個數(shù)列，其中，，，則______15．雙曲線的離心率為__________16．已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)R)（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項和19．（12分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度20．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.21．（12分）2021年國務院政府工作報告中指出，扎實做好碳達峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優(yōu)化產業(yè)結構和能源結構.汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，若現(xiàn)對CO2排放量超過130g/km的MI型新車進行懲罰(視為排放量超標)，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品牌車CO2排放量的均值為乙＝120g/km.（1）求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；（2）若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性好，求x的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，為的導函數(shù)（1）求的定義域和導函數(shù)；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)回歸直線過樣本點的中心進行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.2、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C3、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據(jù)幾何意義結合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結合思想.4、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C5、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因為直線在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B6、B【解析】作出圖象，過點M作準線的垂線，垂足為H，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點M作準線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉化為|MA|+|MH|的最小值，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B7、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因為在上單調遞減，所以當時函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A8、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數(shù)，且，所以.當且僅當，即時取等號.故選：D9、B【解析】根據(jù)的取值分類討論說明【詳解】時方程化為，為直線，時，方程化為，為橢圓，時，方程化為，為雙曲線，而，因此曲線不可能是圓故選：B10、C【解析】構造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項和公式計算可得結果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題.11、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C12、C【解析】首先表示出拋物線的準線，根據(jù)點在拋物線的準線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點.【詳解】解：拋物線的準線為因為在拋物線的準線上故其焦點為故選：【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：214、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1515、【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為16、【解析】分析：應用換元法，令，，不等式恒成立，轉化為在恒成立，確定關系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調遞增，，解得，即實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質等知識，考查了復合函數(shù)問題求解的換元法三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】(1)根據(jù)切點處的導數(shù)等于切線斜率，切點在曲線上可得切線方程；(2)求導，分類討論可得.【小問1詳解】當時，，，，則，所以在處的切線方程為【小問2詳解】，，當時，，函數(shù)在R上單調遞增；當時，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增當時，的單調遞增區(qū)間為，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關系，利用求解出數(shù)列的首項，然后當時，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項公式，帶入到中，再使用錯位相減法進行求和，根據(jù)最后計算的結果與比較即可完成證明.【小問1詳解】由題意得，當時，，∴，當時，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點，且與直線相切點到直線的距離等于由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準線的拋物線，依題意，設點的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設聯(lián)立，得，則，所以，線段的長度為【點睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標準方程；（2）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結合線面垂直的判定定理來證得結論成立.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設，由于四邊形是等腰梯形，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設是的中點，設，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面法向量為，則，故可設，由圖可知，二面角為鈍角，設二面角為，，則.21、（1），600（2）【解析】用平均數(shù)及方差公式計算即可.用平均值得、之間的關系，再由，解不等式可得解.【小問1詳解】甲類品牌汽車的排放量的平均值，甲類品牌汽車的排放量的方差.【小問2詳解】由題意知乙類品牌汽車的排放量的平均值＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙類品牌汽車的排放量的方差，因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車的排放量穩(wěn)定性好，所以，解得.22、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及商的導數(shù)公式即可求出函數(shù)的導函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，