陜西省西安市第25中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是（）A.?x∈（﹣∞，0），2x+sinx≥0B.?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0C.?x0∈（0，+∞），D.?x0∈（﹣∞，0），2．某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.33．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個(gè)不同平面.設(shè)有兩個(gè)命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.4．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.25．如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.86．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴廣交會(huì)的四個(gè)不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.12．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．設(shè)函數(shù)，，若存在，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15．給定點(diǎn)、、與點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離______.16．中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿三進(jìn)一，用來記錄每年進(jìn)的錢數(shù).由圖可得，這位古人一年的收入的錢數(shù)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍18．（12分）設(shè)p：關(guān)于x的不等式有解，q：.（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明20．（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若AB是過拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系是什么？先給出你的判斷結(jié)論，再給出你的證明，并作出必要的圖形21．（12分）如圖，在長方體中，底面是正方形，O是的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可【詳解】命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是“?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0”故選：B2、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.3、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷2個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真值表判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個(gè)不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：4、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C5、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.6、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C7、B【解析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.8、B【解析】先按要求分為四組，再四個(gè)不同地方，四個(gè)組進(jìn)行全排列.【詳解】兩個(gè)組各2人，兩個(gè)組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個(gè)不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B9、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因?yàn)?，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C10、D【解析】由拋物線的焦點(diǎn)可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因?yàn)椋獾霉蔬x：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B12、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【詳解】解：因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解析】由不等式分離參數(shù)，令，則求即可【詳解】由，得，令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故由于存在，成立，則故答案為：15、【解析】先求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.16、25【解析】將原問題轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制計(jì)算，即可求解【詳解】解：由題意可得，從左到右的數(shù)字依次為221，即古人一年的收入的錢數(shù)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，即得雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而易求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得的取值范圍，設(shè)，由韋達(dá)定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設(shè)雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得①設(shè)則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應(yīng)注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍18、（1）（2）【解析】根據(jù)題意，解出p和q里面m的范圍即可求解﹒其中有解，則≥0﹒【小問1詳解】p為真命題時(shí)，，解得，所以m的取值范圍是；【小問2詳解】q為真命題時(shí)，即，解得，所以q為假命題時(shí)，或，由(1)知，p為假時(shí)，因?yàn)闉榧倜}，為真命題，所以p，q為一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，且“或”，解得；當(dāng)p假q真時(shí)，，解得；綜上：m的取值范圍是19、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而令，再結(jié)合（1）得，研究函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而得時(shí)，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】證明：因?yàn)闀r(shí)，證明，只需證明，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，20、（1）；（2）相切，證明過程、圖形見解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵搾佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以有，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；小問2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因?yàn)锳B是過拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的方程為：，則有，設(shè)，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，可得的坐標(biāo)，再求數(shù)量積可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐標(biāo)，由線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】在長方體中，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)