北師大版·九年級(jí)下冊(cè)1.1銳角三角函數(shù)第一章

直角三角形的邊角關(guān)系第一課時(shí)：正切函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用1.理解概念本質(zhì)：深入理解正切函數(shù)的定義，明確其在直角三角形中“銳角對(duì)邊與鄰邊的比值”這一核心屬性；2.掌握性質(zhì)與關(guān)聯(lián)：熟練掌握正切函數(shù)的關(guān)鍵性質(zhì)，能結(jié)合坡度與坡角的關(guān)系，快速建立正切值與實(shí)際場(chǎng)景中“陡緩程度”的聯(lián)系，準(zhǔn)確進(jìn)行相關(guān)屬性的辨析與應(yīng)用；3.培養(yǎng)應(yīng)用與轉(zhuǎn)化能力：通過(guò)分析梯子傾斜、山坡坡度等實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確運(yùn)用正切定義及性質(zhì)求解實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模與推理計(jì)算能力。學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)學(xué)習(xí)過(guò)程010302目錄1正切函數(shù)的定義與性質(zhì)3題型訓(xùn)練2坡度與坡角的應(yīng)用情境引入在生活中，我們常常遇到陡坡，你知道怎么對(duì)比陡坡的陡峭程度嗎？互動(dòng)新授

1.正切函數(shù)的定義：∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊互動(dòng)新授正切值是由什么決定的？與直角三角形的邊長(zhǎng)是否有關(guān)？1.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求tanA2.將Rt△ABC的各邊長(zhǎng)度擴(kuò)大2倍，得到Rt△A'B'C'，求tanA'

正切值與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，僅由銳角的度數(shù)決定互動(dòng)新授①無(wú)單位性：正切值是“對(duì)邊長(zhǎng)度”與“鄰邊長(zhǎng)度”的比值，長(zhǎng)度單位在比值中抵消，因此無(wú)單位。2.正切函數(shù)的性質(zhì)：例1.某樓梯的踏步高度（對(duì)邊）為15cm，踏步寬度（鄰邊）為30cm，求樓梯坡面與地面夾角的正切值0.5長(zhǎng)度單位在比值中抵消，結(jié)果無(wú)單位互動(dòng)新授②對(duì)應(yīng)性：對(duì)于每一個(gè)確定的銳角α（0°<α<90°），都有唯一確定的正切值tanα與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于每一個(gè)確定的正切值t（t>0），都有唯一確定的銳角α與之對(duì)應(yīng)。例2.已知tanα=1，tanβ=1，且α、β均為銳角，判斷α與β的關(guān)系α=β正切值唯一對(duì)應(yīng)銳角互動(dòng)新授③取值范圍：當(dāng)α接近0°時(shí)，對(duì)邊接近0，tanα接近0（但不為0）?當(dāng)α接近90°時(shí)，鄰邊接近0，tanα接近+∞（無(wú)最大值）?數(shù)軸表示：0+∞-∞取值范圍互動(dòng)新授④增減性：當(dāng)銳角α在0°<α<90°范圍內(nèi)時(shí)，α越大，tanα的值越大；正切函數(shù)在0°<α<90°上單調(diào)遞增。例3.比較tan35°與tan45°的大小tan35°<tan45°因35°<45°，正切單調(diào)遞增互動(dòng)新授性質(zhì)類別具體內(nèi)容關(guān)鍵應(yīng)用場(chǎng)景無(wú)單位性正切值是直角三角形中銳角對(duì)邊與鄰邊的長(zhǎng)度比值，單位在計(jì)算中抵消，故無(wú)單位計(jì)算樓梯、坡面的正切值時(shí)，無(wú)需統(tǒng)一單位，直接輸出數(shù)值與銳角的一一對(duì)應(yīng)性①每個(gè)確定的銳角α（0°<α<90°），對(duì)應(yīng)唯一確定的正切值tanα；②每個(gè)確定的正切值t（t>0），對(duì)應(yīng)唯一確定的銳角α已知tanα=tanβ（α、β為銳角），可直接推出α=β；已知tanα的值，能唯一確定銳角α的度數(shù)取值范圍tanα>0（α為銳角），且無(wú)最大值（α接近90°時(shí)，tanα接近+∞），無(wú)最小值（α接近0°時(shí)，tanα接近0）判斷正切值合理性；求解含正切的不等式增減性在0°<α<90°范圍內(nèi)，銳角α越大，tanα的值越大（正切函數(shù)單調(diào)遞增）比較兩個(gè)銳角的正切值大小，已知tanα>tanβ，推出α>β學(xué)習(xí)過(guò)程010302目錄1正切函數(shù)的定義與性質(zhì)3題型訓(xùn)練2坡度與坡角的應(yīng)用互動(dòng)新授

3.坡度與坡角：h（高度）l（水平寬度）坡度是坡角的正切值互動(dòng)新授

4.陡緩程度與正切的關(guān)系：通過(guò)比較正切值，可快速判斷陡緩程度學(xué)習(xí)過(guò)程010302目錄1正切函數(shù)的定義與性質(zhì)3題型訓(xùn)練2坡度與坡角的應(yīng)用典例解析

本題考查了銳角三角函數(shù)中正切函數(shù)的定義，掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵D【分析】

本題需要根據(jù)正切函數(shù)的定義，在直角三角形中求出tanA的值。正切函數(shù)的定義是對(duì)邊與鄰邊的比值，所以要先確定∠A的對(duì)邊和鄰邊。典例解析例2.有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tana)是:__________

本題考查了坡度的定義，掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵

【分析】本題需要根據(jù)坡度的定義：坡度是坡面的垂直高度和水平方向的距離的比值，即tana，利用已知的水平前進(jìn)距離和升高高度來(lái)計(jì)算坡度。100m60m典例解析C例3.如圖，梯子與地面所成的銳角為∠BAC，對(duì)于∠BAC的正切值與梯子傾斜程度的關(guān)系，下列敘述正確的是()A.tan∠BAC的值越大，梯子越緩

B.tan∠BAC的值越小，梯子越陡C.tan∠BAC的值越大，梯子越陡

D.梯子的陡緩程度與∠BAC無(wú)關(guān)典例解析

本題考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，掌握正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)隨角度增大而增大的性質(zhì)以及正切值與梯子傾斜程度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！痉治觥?/p>

本題需要根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，分析tan∠BAC的值與梯子傾斜程度的關(guān)系。正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)，函數(shù)值隨角度的增大而增大，而角度越大，梯子越陡。典例解析例4.有一涼亭位于高度為500m的山頂上，一車從山腳A處直線行駛到山頂B點(diǎn)的時(shí)間為15min，已知車的平均速度為40km/h，則山的坡度約為_(kāi)____________(精確到0.01).0.05典例解析

本題考查了坡度的計(jì)算以及勾股定理的應(yīng)用，掌握坡度的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵?！痉治觥?/p>

本題需要先根據(jù)速度和時(shí)間求出車行駛的路程，再利用勾股定理求出水平距離AC，最后根據(jù)坡度的定義計(jì)算出山的坡度。典例解析

本題考查了銳角三角函數(shù)中正切函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，掌握正切函數(shù)的定義和勾股定理解題的關(guān)鍵。

【分析】本題需要利用正切函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)度，再通過(guò)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，最后根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tan∠B的值。課堂小結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用無(wú)單位性在